吴享平
I
（福建省厦门第一中学 361000）
1 .“疑惑”的分析与解答
文［1 ］的问题213有如下一道题：
题目：直线I过抛物线y2 =2px（p .0）的焦点F,且交抛物线于P, Q两点，由P, Q 分别向准线引垂线 PR, QS,垂足分别为 R, S,如果PF =a, QF =b,M为RS的中点, 则MF等于 ________
问题提出者给出了两种解法：解法1所得结果为丨
MF|= ... ab ；解法2得到结果为
由于得到了两个不同结果， 从而对以上两种解法和题目产生了疑惑， 3:
笔者再给出如下的解法
解法3:（如图1所示）抛物线 y2 = 2 px（ p 0）的焦点F（-,0），准线丨：X二-卫，设
2 2
直线 PQ 的方程为：ty =x - — ,P（x「yj, Q（x2, y2），则
2
［x =ty 亠—
联立 y2
2 px 消去 x 得 y2 -2pty -p2 =0 ,
由此可得忙邙，于是\"（-号上）,
.| FM |二.p2 p2t2 二 p、-1 t2 （*），又由
(图1)
|PQ(y
Zm2](1+t2)=2p(1+t2)=小得応彳雰…(**),
将（**）式代入（*）式得|FM |=』卫£严.所得结果与解法1、解法2所得结果都不相 同，难道真是解法或题目有问题吗？
事实上，题目本身并没有问题（当然，再加上条件 a b_2p会更严密些），解法1、 解法2以及笔者的解法3所得结果都是正确的（因为他们是等价的） 弦有如下一个性质：
2
，由于抛抛物线的焦点
y =2px（p - 0），若存在过焦点F的弦PQ,使得丨FP | = a, | FQ | 性质：对于抛物线
2ab
=b （ a+b z2p ）,贝 U p =上.
a +b
证明1:（如图2所示）不妨设 a_b，准线丨与x轴交于点N , 1）当a . b时过Q作QG//1分别交x轴与直线PR于E,G两 点，则:QEF与 QGP相似，由相似比可得| EF |=ba 一力
（
yG
P
2ab 于是 p =|FN | = b |EF
2ab
知a = b = p, . p
；
a +b 2）当a=b时，由抛物线定义
综上述1） ,2）知结论成立.
S
E. （图
a +b
显然成立。
2）
证明2:以F为极点，射线 FX为极轴（单位长不变）建立极坐标系，则抛物线的极坐
2ab
=2= p 二
a b
p由题设中的a,b唯一确定，即
由以上性质知，抛物线的焦参数
2ab a b
2ab
将2ab代入（1）式得
a +b
FM|= { J * 2 p（a + - -bp）4
『（「办
ab
.
2ab
同样，将p
代入解法3的结果得
|FM h ^ = ab.
p（b）
因此，题目、解法1、
a +b
解法2以及笔者的解法3都是正确的。 2 .圆锥曲线焦点弦的共性探究
受证明2的启发，我们不难得到三种圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的 焦点所内分成的两条焦半径的一个共同性质：
定理：如果圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）
C的焦点弦被该焦点所内分成的两条
焦半径长分别为a和b, p为该圆锥曲线 C的焦点F到其对应准线丨的距离，e为该圆锥曲
11
丄,丄,丄成等差数列（或称 —是与的等差中项） 线C的离心率，那么
焦点弦被该
a ep b ep a b
2 a b ep
证明：以该圆锥曲线C的焦点F为极点，Fx为极轴 （如图3所示）建立极坐标系，则圆锥曲线的极坐标方程为：
（图
标方程为：:
p
，设直线 PQ的倾斜角为:- ，于是 |FP|=a
1 -COS）
p
1 - COSOt
p
£-COS：.
1 FQ|=b =
p
—一,由此可得
1 -cos（，亠很）1 COS:-
±=1 8S-两式相加得 .b '
ep 1 -ecosv
，设直线 PQ的倾斜角为〉，于是 |FP|=a =
ep
ep 1
,I FQ|=b
」
两式相加得
ep 1 -ecos（二 :）
1 ecos:
,由此可得
-ecos-a. i ep
1
ep ep 一 1 1
2
a b a b ep
2
1
.（双曲线时，由焦点F内分PQ，满足 cos ）。
e
亠
—- 1 e
由于圆锥曲线的通径（即 与圆锥曲线的焦点所在的对称轴垂直的焦点弦 由此可得如下推论。
）长为2ep，
推论：对于确定的圆锥曲线 C,其焦点弦被该焦点所内分成的两条焦半径长的倒数和 为定值，这个定值为通径长的倒数的
4倍。
C的一条通过焦点 F的
定理2:如果线段 AB是圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）
焦点弦，焦点F分有向线段 AB的定比分点的比值为 ，，直线AB与圆锥曲线C的焦点F 所在的对称轴的夹角为
[0,—]）,p为该圆锥曲线 C的焦点F到其对应准线I的距离,
2
1 1 _ ?
e为该圆锥曲线的离心率，则 cos'=—・| |且|AB
e 1+丸
eo（1 + 7 ）2 2|九|
2
证明：以该圆锥曲线C的焦点F为极点，Fx为极轴（如图4所示）建立极坐标系，设直线AB的倾斜角为ot（J =日或n -0 ）,设A、B点的 极坐标分别为（匚「）,（匚二•〉），则匚
1 - ecos='
_ ep ； 1 - ecos
-■'
：
B
ep
1 e cos 王
，由于 '
B
l
1 ecos- 1 -ecos-
I：vI=2ep|
cos：
1
_ 2
1 1 —人，
=|COS： I I I.且 I AB I =
e 1 +人
（图
\"re^
鯉 L…•②（无论F是内分有向线段 AB ,还是外分有向线 2|' I
段AB （A,B在双曲线不同支）①、②两式均成立）
1 1 … eo1 ep（1 V 亠；） ）2
更加有趣的是：将 cos （
=——|— I与|AB^-p- -两式中的■都用一替换代入,
e i 2「|
化简后表达式不变。因此无论 设
，是F分AB的比值，还是F分BA的比值，公式:
焦点F到圆锥曲线的相应准线的距离为 p，则圆锥曲线的极坐标方程为:
cos …1 I — | 与 I ABHep1 -均成立• e 1+扎 2|
九|
3 .定理的应用
例1. （ 2010年高考全国卷n理科）已知椭圆
（
B两点，若AF = 3FB，则k=
2 2
C：$ -y2 =1(a b 0)的离心率为
a b
右焦点F且斜率为k（k . 0）的直线与C相交于A，
（A）1
（ B）、、2
（ C）3
（ D）2
，过
解:由定理2得cos-」•［上！匚空丨口匸-^，又由斜率k>0,. k=tanv - . 2, e 1 +几 3
3 .正确选项为（B ）。
例2. （2010年高考全国卷（?）理科）已知F是椭圆C的一 个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆 C于点D, 且BF =2FD，则椭圆C的离心率为 ________________ 。
1+3
c
解：如图，设.BFO - v ,在Rt BF 中可得cos
e , a
又由定理2得 COST- •|匕2| =丄,.e 1 e = — e 1 +2 3e 3e
1
3
A,B两点，若弦长
例3.过双曲线C：x2 - y2 =1的右焦点F作直线I与该双曲线相交于
9
|AB|= 9 且 AF 二■ FB，则，
17题）设F1,F2分别为椭圆
解：；双曲线C: X2 - y2
2
于(i)2 2| ' |
—
9 2
=1的2,^ —，由定理得；
0
\\ 2
w 2疋+4 丸 一9 | k |+2 = 0 u
一
13 3 17
—-
或■
2 ? 5 2=0一 2 ・ 13「2=0
0
2
共四个值.
4
例4.（2011年浙江高考理科
2
V 3
--- ► ---- *
y2 =1的左，右焦点，点A , B在椭圆上。若F1^5F2B,
则点A的坐标是
解:如图，延长AF1交椭圆于点B1 ,由椭圆的对称性得 F1B1 =「F2B , - AR二5RB ,
4
设直线Ah与轴的夹角为-该椭圆的-子；；，由定理得co- T 诜1
x
2
二亠若在此，通过数形结合，发现A为短轴端点，就可很快获得结果；否则，记
3
| F1A | = a,| F1B1 | = b 则 a = 5b，又由定理1得 一■ — = 2飞
3 = a ~
a a
AXi,yi)则人=| FiA|cos…2 = ° . A为短轴两端点)
2 2
3 即丨 F1A1)〔.= 二点A的坐标为(Q ± • 3，设
= 1(a b °)的左焦点为F,过点
例5. (2°1°年高考辽宁卷理科)设椭圆 C
二 工
a b
F的直线丨与椭圆C相交于A, B两点，直线丨的倾斜角为60o,AF =2FB. (?)求椭圆C
15
的离心率；(H)如果 AB =—，求椭圆C的方程。
4
解: (?)由定理2得cos60°二 |^-| ,解得离心率e = - ； (n)由|AB|=空 L e 1 +2 3得 Ub2 9
12
_ 2
4 3
2 a2 _2c2 zz5c
3 a c
解得a = 3, c = 2, b = ,5 , 所求椭圆方程
20|
= 2px(p 0)的焦点F的一条焦点弦，被焦点 F所分成的两条焦
例6 •已知过抛物线
1°
半径长分别记为丄和
3
解：(1)由定理1得
5(1)求此抛物线的方程；(2)求这条焦点弦所在直线的方程。
,
2 2
卫•丄亠 p =4，于是所求抛物线方程为 y2 =8x ； 1° 5 P
二|丄又直线的斜率k5Z6,
3 1
(2)
1° 3
；，= 5 / 由定理2得 COS)-|
3 2
2』6(x-2). y = ±
5
).焦点弦所在直线方程为 F(2,°
例7•通过抛物线y2=4x的焦点F的任意一条焦点弦，被焦点F所分成的两条焦半径长 分别记为m,n。(i )求m,n的取值范围；(ii)求2m+n的最小值.
解：(i )设P(x1，yj是抛物线y2=4x上的任意一点，由抛物线定义知丨 PF|=1+X1
Xi
V
— _0,. |PF |_1 , m,n [1, ：：) ; (ii) e=1,p =2，由定理1得 4
2 i
.u =2m n =(2m n)(丄 丄)_ (2 1)2 =3 2 2.当且仅当 m = 1
m n
(此时 m,n・[1, •：：))时取到等号，.(2m n)min = 3 • 2•、. 2 .
2 2
2
例8.已知通过椭圆C:
=1左焦点F的n条直线|n （ n = N* ）,且与该椭圆相
25
9
n
「i 「n 丄
a bi
an
（I）求u= 的取值范围; CM ,
(II )若 Sn 八(W
i4
bn
求Sn。
交所得到的焦点弦被焦点
F所分成的两条焦半径长分别记为
an,bn（ n・N*）,
1 an 10 9
1 bn
2
10
4 5
1
[a
-C,a c] =[1,9]，记 X , y 则 X y
an
9 4 1 bn ,n),
解：(丨)；a = 5, b = 3. c = 4 , . e= , p=，由定理1得
ep 9
又 an,bn
1
( X, V [ ,1]),
9
u二色二乂，由数形结合得
bn X
-<^19 ； (II) •丄 丄=®(i =1,2,
n
Sn八(
i 4
cn 曽廿罟晋2\" ai
ai
bi
9
9
参考文献：
[1 ]汪仁林• “争鸣”问题213数学通讯[J].2012（2）下半月（教师）
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