年上海交通大学自主招生试题解析
福建省厦门市 叶超杰
1.已知解：因为 2.已知比较的大小
时
，若，且，则
，试
，求
解：易知当 则
3.已知方程直线解：因为 而函数
与
相交于
各个实根为，若点均在同侧，求的取值范围
，则
和或两点，则易知
1
4.已知复数满足解：设
情形一：当 解得
情形二：当 因为，且，因为
，求负实数的值 ，则
时，则
时，则
或，所以此时无解
的三个根可以作为三角形的三边长，求，则
，解得
，令
的范围
综上所述：5.若方程解：因为 且
情形一：当
情形二：当 即 解得
，满足题意，则此时
，则只需满足
，综上所述：
2
6.对于解：因为 又 则 所以 所以，若，所以
，求的最小值
时， 时，
时，即
满足：，则
，则
时，，若
，此时
最小，最小值为
7.已知数列解：因为 而
，求的最小值
所以的最小值为 8.设解：由题意可知 则
展开式中奇次幂的项的和为
，求 3
9.已知解：因为求 而
不全为，求最大值
的最大值，不妨设
，则
所以最大值为，当且仅当，时，等号成立
10.已知的面积为，在线段，若
上，在线段上，在线段上，且满足
，求的面积的最大值
解：设 又 而 此时
由三元均值不等式可知 当且仅当11.对定义域内任意的数是凸函数的是（ ）
解：易知选
，则
，所以
时，等号成立 ，若满足，则称
为凸函数，下列函
4
12.已知复数的面积 解：设
情形一：当 而
情形二：当
综上所述：13.实数解：因为 解得 当且仅当14.在满足所对应的点为，若，且满足，求，因为
，则
，则
时，同理可得
的面积为
，求，则
最大值
时，等号成立 中，满足，求 解：
15.数列是的末两位数，求的周期为，而
解：易知数列 所以
5
16.为的外心，到三边 解：因为
的距离分别为，则（ ）
则 所以 同理可得
17.定义平面上两点
，
解：设点
，则折线距离之和
，故选
的折线距离为，若平面上一点
到
的折线距离之和最小，则点坐标为
由绝对值的几何意义可知 此时
，则点坐标为
6
18.已知（ ）
，，则的充要条件是
解：由题意可知当抛物线与圆相切时 整理可得 而 故选
，解得
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