2021年广东省佛山市高考数学一模试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知全集U为实数集，𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥≤0}，𝐵={𝑥|𝑥>1}，则𝐴∩(∁𝑈𝐵)=( )
A. {𝑥|0≤𝑥<1} B. {𝑥|0≤𝑥≤1} C. {𝑥|1≤𝑥<3} D. {𝑥|0≤𝑥≤3}
−
2. 设复数𝑧1，𝑧2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且𝑧1=1+𝑖，则𝑧1⋅𝑧2=( )
A. −2−2𝑖 B. 2−2𝑖 C. −2𝑖 D. −2
3. 若a，b，c为非零实数，则“𝑎>𝑏>𝑐”是“𝑎+𝑏>2𝑐”的( )
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近𝐵)，
⃗⃗⃗ =( ) 则⃗⃗𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵−3⃗𝐴𝐷A. 2⃗⃗⃗⃗⃗
1
1
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+2⃗𝐴𝐷B. 4⃗⃗⃗⃗⃗
11
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+2⃗𝐴𝐷C. 3⃗⃗⃗⃗⃗
11
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵−3⃗𝐴𝐷D. 2⃗⃗⃗⃗⃗
12
5. 随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化
为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5𝐺基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到( )
A. 2022年12月
6. 设𝑎=𝑠𝑖𝑛2，则( )
2𝑎
𝑎 A. 𝑎<2 𝑎<𝑎2<2𝑎 B. log12𝑎<𝑎2<2𝑎 D. log12 7. 函数𝑓(𝑥)=|𝑠𝑖𝑛𝑥|𝑐𝑜𝑠𝑥的导函数𝑓′(𝑥)在[0,𝜋]上的图象大致为( ) A. B. C. D. 第1页，共21页 8. 已知函数𝑓(𝑥)=4𝑥4+2𝑎𝑥2+𝑎𝑥，则下列结论中正确的是( ) 11 A. 存在实数a，使𝑓(𝑥)有最小值且最小值大于0 B. 对任意实数a，𝑓(𝑥)有最小值且最小值大于0 C. 存在正实数a和实数𝑥0，使𝑓(𝑥)在(−∞,𝑥0)上递减，在(𝑥0,+∞)上递增 D. 对任意负实数a，存在实数𝑥0，使𝑓(𝑥)在(−∞,𝑥0)上递减，在(𝑥0,+∞)上递增 二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 2015年以来我国脱贫攻坚成效明显，如图是2015−2019年年末全国农村贫困人口 和贫困发生率(贫困人口占目标调查人口的比重)变化情况(数据来源：国家统计局2019年统计年报)，根据这个发展趋势，2020年底全面脱贫的任务必将完成.根据图表中可得出的正确统计结论有( ) A. 五年来贫困发生率下降了5.1个百分点 B. 五年来农村贫困人口减少超过九成 C. 五年来农村贫困人口减少得越来越快 D. 五年来目标调查人口逐年减少 10. 已知曲线𝑦2=𝑚(𝑥2−𝑎2)，其中m为非零常数且𝑎>0，则下列结论中正确的有( ) A. 当𝑚=−1时，曲线C是一个圆 2 B. 当𝑚=−2时，曲线C的离心率为√2 2 C. 当𝑚=2时，曲线C的渐近线方程为𝑦=±√𝑥 2 D. 当𝑚>−1且𝑚≠0时，曲线C的焦点坐标分别为(−𝑎√1+𝑚,0)和(𝑎√1+𝑚,0) 11. 已知曲线𝑦=sin(𝜔𝑥+4)(𝜔>0)在区间(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心， 则下列结论中正确的是( ) 𝜋 第2页，共21页 √2 A. 存在𝜔，使sin(𝜔+𝜋)>42√2 B. 存在𝜔，使sin(2𝜔+𝜋)= 42 C. 有且仅有一个𝑥0∈(0,1)，使sin(𝜔𝑥0+4)=5 D. 存在𝑥0∈(0,1)，使sin(𝜔𝑥0+4)<0 12. 如图，长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1， 𝐴𝐴1=2，M为𝐵𝐵1的中点，过𝐵1𝑀作长方体的截面𝛼交棱𝐶𝐶1于N，则( ) 𝜋 𝜋4 A. 截面𝛼可能为六边形 B. 存在点N，使得𝐵𝑁⊥截面𝛼 C. 若截面𝛼为平行四边形，则1≤𝐶𝑁≤2 6 D. 当N与C重合时，截面面积为3√4 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数𝑓(𝑥)=−𝑒𝑥+𝑒𝑥2(𝑒是自然对数的底数，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线 方程是______ ． 14. 某高校每年都举行男子校园足球比赛，今年有7支代表队出线进入决赛阶段，其中 的甲、乙两支队伍分别是去年的冠、亚军球队.根据赛制，先用抽签的方式，把7支出线球队随机分成A、B两组分别进行单循环赛，其中A组3支球队、B组4支球队，则甲、乙恰好在同一组的概率为______ ． 15. 已知抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为F，准线l交x轴于点K，过F作倾斜角 为𝛼的直线与C交于A，B两点，若∠𝐴𝐾𝐵=60°，则𝑠𝑖𝑛𝛼= ______ ． 𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=4，𝐶𝐷=1，16. 已知四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点都在球O上，𝐴𝐷=2√6， 𝐴𝐶=5，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，且𝑃𝐴⊥𝑃𝐷，则球O的体积为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 2217. 在①log2𝑎𝑛+1=log2𝑎𝑛+1，②𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2𝑛，③𝑎𝑛+1−𝑎𝑛+1𝑎𝑛=2𝑎𝑛(𝑎𝑛>0) 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． _____，{𝑏𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，𝑏1=2，𝑏3=14，已知{𝑏𝑛−𝑎𝑛}为等差数列，且𝑎1=2，是否存在正整数k，使得𝑆𝑘>2021？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由． 第3页，共21页 ∠𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=2，𝐶𝐷=5，18. 如图，在梯形ABCD中， (1)若𝐴𝐶=2√7，求梯形ABCD的面积； (2)若𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，求tan∠𝐴𝐵𝐷． 19. 如图，直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2𝐴𝐴1=2，M、 N分别为AB、𝐵1𝐶1的中点． (1)求证：𝑀𝑁//平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1； (2)若𝐵1𝑀=3√2，求二面角𝐵1−𝐴1𝑀−𝑁的余弦值． 20. 为了了解空气质量指数(𝐴𝑄𝐼)与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校环保小 组在暑假期间(60天)进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身运动 第4页，共21页 1 2𝜋3 ． …，的人数，并与当天AQI值(从气象部门获取)构成60组成对数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)(𝑖=1,2，60)，其中𝑥𝑖为当天参加户外健身运动的人数，𝑦𝑖为当天的AQI值，并制作了如图散点图． (1)环保小组准备做y与x的线性回归分析，算得y与x的相关系数为𝛾≈−0.58，试分析y与x的线性相关关系？ (2)环保小组还发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析.用直线𝑥=100与𝑦=100将散点图分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(如图)，统计得到各区域的点数分别为5、10、10、35，并初步认定“参加户外健身运动的人数不少于100与AQI值不大于100有关联”，试分析该初步认定的犯错率是否小于1%？ 附：𝐾2=(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)． 𝑃(𝐾2≥𝑘) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2 第5页，共21页 21. 已知椭圆C： 𝑥2𝑎2 + 𝑦2𝑏2 =1(𝑎>𝑏>0)的右焦点为𝐹(1,0)，且过点𝐴(−2,0)． (1)求C的方程； (2)点P、Q分别在C和直线𝑥=4上，𝑂𝑄//𝐴𝑃，M为AP的中点，求证：直线OM与直线QF的交点在某定曲线上． 22. 设𝑎>0且𝑎≠1，函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥−𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥． (1)若𝑓(𝑥)在区间(0,2𝜋)有唯一极值点𝑥0，证明：𝑓(𝑥0)<𝑚𝑖𝑛{2𝑎𝜋,(1−𝑎)𝜋}； (2)若𝑓(𝑥)在区间(0,2𝜋)没有零点，求a的取值范围． 第6页，共21页 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：∵𝐴={𝑥|0≤𝑥≤3}，𝐵={𝑥|𝑥>1}， ∴∁𝑈𝐵={𝑥|𝑥≤1}，𝐴∩(∁𝑈𝐵)={𝑥|0≤𝑥≤1}． 故选：B． 可求出集合A，然后进行补集和交集的运算即可． 本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】C 【解析】解：∵复数𝑧1，𝑧2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且𝑧1=1+𝑖， ∴𝑧2=−1+𝑖， ∴𝑧1⋅𝑧2=(1+𝑖)⋅(−1−𝑖)=−1−𝑖−𝑖−𝑖2=−2𝑖． 故选：C． 根据复数𝑧1，𝑧2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且𝑧1=1+𝑖，得到𝑧2=−1+𝑖，由此能求出𝑧1⋅𝑧2的值． 本题考查复数的积的求法，考查复数的几何意义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． − − 3.【答案】A 【解析】解：∵𝑎>𝑏>𝑐，∴𝑎>𝑐，𝑏>𝑐，则𝑎+𝑏>2𝑐， 即“𝑎>𝑏>𝑐”能推出“𝑎+𝑏>2𝑐”， 但满足𝑎+𝑏>2𝑐，取𝑎=4，𝑏=−1，𝑐=1，不满足𝑎>𝑏>𝑐， 即“𝑎+𝑏>2𝑐”不能推出“𝑎>𝑏>𝑐”， 所以“𝑎>𝑏>𝑐”是“𝑎+𝑏>2𝑐”的充分不必要条件， 故选：A． 根据不等式的基本性质可判定“𝑎>𝑏>𝑐”能推出“𝑎+𝑏>2𝑐”，然后利用列举法判定“𝑎+𝑏>2𝑐”不能推出“𝑎>𝑏>𝑐”，从而可得结论． 本题主要考查了不等式的性质，以及充分条件必要条件的判定，要说明不正确可利用列举法，同时考查了学生的推理能力． 第7页，共21页 4.【答案】D 【解析】解：因为ABCD为平行四边形， ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 所以⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶,⃗𝐴𝐷𝐵𝐶， 22 ⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ =1⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ =1⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ⃗⃗⃗ =⃗𝐸𝐹𝐸𝐶𝐶𝐹𝐷𝐶+⃗⃗𝐶𝐵𝐴𝐵−⃗𝐴𝐷故⃗⃗2323 故选：D． 利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可． 本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及了平行四边形性质的应用以及相等向量的应用，解题的关键是利用中点关系进行转化． 5.【答案】B 【解析】解：每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列， 设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月，则 70+5𝑛+ 𝑛(𝑛−1)2 ×1=500， 化简整理得，𝑛2+9𝑛−860=0， 解得𝑛≈25.17或−34.17(舍负)， 所以预计我国累计开通500万个5G基站需要25个月，也就是到2023年2月， 故选：B． 每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月，结合等差数列的前n项和公式列得关于n的方程，解之即可． 本题考查函数的实际应用，等差数列的前n项和公式，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题． 6.【答案】D 【解析】解：∵𝑎=𝑠𝑖𝑛2，2<2<∴log1𝑎 𝜋3𝜋 √ ，∴<𝑎<1， 42 2√222 =2，且<𝑎2<1，2𝑎>1， 2 11 ∴log1𝑎<𝑎2<2𝑎， 2故选：D． 由𝑎=𝑠𝑖𝑛2，2<2< 𝜋 3𝜋 √ ，可得<𝑎<1，进而判断各式的大小． 42 2第8页，共21页 本题考查了比较大小的问题，涉及到三角函数的范围以及指数和对数的比较大小，属于基础题． 7.【答案】B 【解析】解：当𝑥∈[0,𝜋]时，𝑠𝑖𝑛𝑥≥0，则𝑓(𝑥)=|𝑠𝑖𝑛𝑥|𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥， ∴𝑓′(𝑥)=cos2𝑥−sin2𝑥=𝑐𝑜𝑠2𝑥， 结合余弦函数的图象可知选项B正确， 故选：B． 先根据角的范围去绝对值，然后利用乘积函数的导数公式进行求导得到导函数𝑓′(𝑥)，结合余弦函数的图象可得结论． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 8.【答案】C 【解析】解：对于选项A：假设存在实数a，使𝑓(𝑥)有最小值且最小值大于0， 则0<𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛 但𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛≤𝑓(0)=0，矛盾，故A错误． 对于选项B：假设对任意实数a，𝑓(𝑥)有最小值且最小值大于0， 则𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛>0， 但𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛≤𝑓(0)=0，矛盾，故B错误． 𝑓′(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥+𝑎， 令𝑔(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥+𝑎， 则𝑔′(𝑥)=3𝑥2+𝑎， 对于选项C：若𝑎>0，则𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)单调递增， 当𝑥→−∞时，𝑔(𝑥)→−∞；𝑥→+∞时，𝑔(𝑥)→+∞， 所以存在𝑥0∈(−∞,+∞)，使得𝑔(𝑥0)=0， 所以当𝑥∈(−∞,𝑥0)时，𝑔(𝑥)<0，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减， 当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，𝑔(𝑥)>0，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增，故C正确． 对于选项D：令𝑔′(𝑥)=0，得𝑥1=−√，𝑥2=√， 33 所以在区间(−∞,−√)，(√,+∞)上，𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)单调递增， 33在区间(−√,√)上，𝑔′(𝑥)<0，𝑔(𝑥)单调递减， 33 第9页，共21页 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 不妨取𝑎=−27，则在区间(−∞,−3)，(3,+∞)上，𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)单调递增， 在区间(−3,3)上，𝑔′(𝑥)<0，𝑔(𝑥)单调递减， 3 所以𝑔(𝑥)极大值=𝑔(−3)=(−3)+(−27)×(−3)+(−27)=27， 𝑔(𝑥)极小值=𝑔(3)=33+(−27)×3+(−27)=−81， 𝑥1∈(−3,3)，𝑥2∈(3,+∞)，𝑔(𝑥1)=0，𝑔(𝑥2)=所以存在𝑥0∈(−∞,−3)，使得𝑔(𝑥0)=0，0， 即𝑓′(𝑥0)=0，𝑓′(𝑥1)=0，𝑓′(𝑥2)=0， 所以在(−∞,𝑥0)，(𝑥1,𝑥2)上，𝑔(𝑥)<0，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减， 在(𝑥0,𝑥1)，(𝑥2,+∞)上，𝑔(𝑥)>0，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增，故D错误． 故选：C． 对于选项A：假设正确推出与𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛≤𝑓(0)=0，矛盾，进而可判断A是否正确．对𝑓′(𝑥)=于选项B：假设正确退推出与𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛≤𝑓(0)=0，矛盾，进而可判断B是否正确．𝑥3+𝑎𝑥+𝑎，令𝑔(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥+𝑎，则𝑔′(𝑥)=3𝑥2+𝑎，对于选项C：若𝑎>0，推出𝑔′(𝑥)>0，即𝑔(𝑥)单调递增，当𝑥→−∞时，𝑔(𝑥)→−∞；𝑥→+∞时，𝑔(𝑥)→+∞，得到存在𝑥0∈(−∞,+∞)，使得𝑔(𝑥0)=0，𝑓′(𝑥0)=0，进而可得C是否正确．对于选项D：不妨取𝑎=−27，分析𝑓′(𝑥)的正负，𝑓(𝑥)的单调性，进而可得D是否正确． 本题考查了函数的最值，单调性，解题中需要一定的推理能力与计算能力，属于中档题． 9.【答案】AB 【解析】解：对于A，五年来贫困发生率下降5.7−0.6=5.1个百分点，故A正确； 对于B，(5575−551)÷5575≈90.1%>90%，五年来农村贫困人口减少超过九成，故B正确； 对于C，贫困人口减少的速度应看直线斜率的绝对值的大小， 由图，2018−2019年的斜率绝对值比2017−2018年的斜率绝对值小，故C错误； 对于D，该结论无法得出，故D错误． 故选：AB． 结合条形图和折线图逐个选项判断即可． 本题主要考查条形图和折线图的应用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题． 10.【答案】ABD 第10页，共21页 【解析】解：当𝑚=−1时，曲线𝑦2=𝑚(𝑥2−𝑎2)化为𝑥2+𝑦2=𝑎2(𝑎>0)，是一个圆，故A正确； 当𝑚=−2时，曲线化为故B正确； 当𝑚=2时，曲线化为± √2𝑎𝑥𝑎 𝑥2𝑎 2− 𝑥2 𝑎 2+ 𝑦22𝑎2=1，表示焦点在y轴上的双曲线，离心率为𝑎√=2𝑎√2，2 𝑦22𝑎2=1，表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为𝑦= =±√2𝑥，故C错误； 𝑥2𝑎 2+ 当−1<𝑚<0时，曲线化为𝑎√1+𝑚， 𝑦2−𝑚𝑎2 表示焦点在x轴上的椭圆，=1，𝑐=√𝑎2+𝑚𝑎2= 焦点坐标为(−𝑎√1+𝑚,0)和(𝑎√1+𝑚,0)； 当𝑚>0时，曲线化为𝑎√1+𝑚， 焦点坐标为(−𝑎√1+𝑚,0)和(𝑎√1+𝑚,0)． 综上所述，当𝑚>−1且𝑚≠0时，曲线C的焦点坐标分别为(−𝑎√1+𝑚,0)和(𝑎√1+𝑚,0)，故D正确． 故选：ABD． 在已知，曲线方程中分别取𝑚=−1、−2、2，化简切线方程判断ABC；对m分类变形，求出焦点坐标判断D． 本题考查曲线与方程，考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题． 𝑥2𝑎2 −𝑚𝑎2=1，表示焦点在x轴上的双曲线，𝑐=√𝑎2+𝑚𝑎2= 𝑦2 11.【答案】ABD 【解析】解：∵曲线𝑦=sin(𝜔𝑥+4)(𝜔>0)， ∴对称轴为𝜔𝑥+4=𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，即𝑥=4𝜔+𝜔𝜋(𝑘∈𝑍)， 对称中心对应𝜔𝑥+4=𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，即𝑥=−4𝜔+𝜔𝜋(𝑘∈𝑍)， 在区间(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心， <1𝜔>4 4𝜔 5𝜋≥1 𝜔≤5𝜋 3𝜋5𝜋44 <𝜔≤∴3𝜋，解得，即， 3𝜋44 <1 𝜔>44𝜔 7𝜋 7𝜋 ≥1{4𝜔{𝜔≤4选项A，在范围内存在𝜔使sin( 𝜔+𝜋4 𝜋 𝜋𝜋 𝜋 𝑘 𝜋 𝜋 𝑘 𝜋 )> √2，故选项2 A正确； 第11页，共21页 选项B，2𝜔∈(2, 𝜋 3𝜋5𝜋 2 ]，则2𝜔=2𝜋时成立，故选项B正确； 3𝜋2 选项C，𝜔𝑥+4∈(𝜋,选项D，𝜔𝑥+4∈(𝜋,故选：ABD． 𝜋 ]，这时均为负数，故选项C不正确； 𝜋 3𝜋 ]，存在𝑥0∈(0,1)，使sin(𝜔𝑥0+4)<0，故选项D正确． 2 先求出函数的对称轴与对称中心，结合在区间(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心求出𝜔的范围，然后对选项进行逐一判定即可． 本题主要考查了三角函数的图象与性质，解题的关键是求出𝜔的范围，同时考查了学生分析问题的能力． 12.【答案】CD 【解析】解：长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1，𝐴𝐴1=2，M为𝐵𝐵1的中点，过𝐵1𝑀作长方体的截面𝛼交棱𝐶𝐶1于N， 设𝑁0为𝐶𝐶1的中点，根据点N的位置的变化分析可得， 当1≤𝐶𝑁≤2时，截面𝛼为平行四边形， 当0<𝐶𝑁<1时，截面𝛼为五边形， 当𝐶𝑁=0，即点N与点C重合时，截面𝛼为梯形，故选项A错误，选项C正确； 设𝐵𝑁⊥截面𝛼，因为𝐵1𝑀⊂𝛼，所以𝐵𝑁⊥𝐵1𝑀， 所以N只能与C重合才能使𝐵𝑁⊥𝐵1𝑀， 因为BN不垂直平面𝐵1𝐶𝑄𝑀，故此时不成立，故选项B错误； 因为当N与C重合时，截面𝛼为梯形， 如图(2)所示，过M作𝑀𝑀′垂直于𝐵1𝐶于点𝑀′， 第12页，共21页 设梯形的高为h，𝐵1𝑀′=𝑥， 则由平面几何知识可得ℎ2=(√2)2−𝑥2=(√)2−(√−𝑥)2，解得𝑥= 22所以截面𝛼的面积为×(√5+√)⋅ℎ=× 2 2 2 1 51 3√52552√5，ℎ5 =√5， 6 ×√= 5 63√64 ，故选项D正确． 故选：CD． 利用N点的位置不同得到的截面𝛼的形状判断选项A，C，利用线面垂直的判定定理分析选项B，利用平面几何知识求相应的量结合梯形的面积公式求解截面面积，从而可判断选项D． 本题考查了立体几何知识的综合应用，涉及了几何体截面的研究，解题的关键是根据点N的位置变化而研究截面． 13.【答案】𝑒𝑥−𝑦−𝑒=0 【解析】解：由𝑓(𝑥)=−𝑒𝑥+𝑒𝑥2，得𝑓′(𝑥)=−𝑒𝑥+2𝑒𝑥， ∴𝑓′(1)=−𝑒+2𝑒=𝑒， 又𝑓(1)=0， ∴曲线𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线方程是𝑦−0=𝑒(𝑥−1)， 即𝑒𝑥−𝑦−𝑒=0． 故答案为：𝑒𝑥−𝑦−𝑒=0． 求出原函数的导函数，得到函数在𝑥=1处的导数，再由直线方程的点斜式得答案． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题． 14.【答案】7 【解析】解：有7支代表队出线进入决赛阶段，其中的甲、乙两支队伍分别是去年的冠、亚军球队． 先用抽签的方式，把7支出线球队随机分成A、B两组分别进行单循环赛，其中A组3 第13页，共21页 3 支球队、B组4支球队， 34 基本事件总数𝑛=𝐶7𝐶4=35， 214223甲、乙恰好在同一组包含的基本事件个数𝑚=𝐶2𝐶5𝐶4+𝐶2𝐶5𝐶3=15， 则甲、乙恰好在同一组的概率为𝑃=故答案为：7． 3 𝑚𝑛 = 15 =． 357 3 34214 基本事件总数𝑛=𝐶7𝐶5𝐶4+𝐶4，甲、乙恰好在同一组包含的基本事件个数𝑚=𝐶2223𝐶2𝐶5𝐶3，由此甲、乙恰好在同一组的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 315.【答案】√ 3 【解析】解：抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为𝐹(2,0)，准线𝑥=−2，𝐾(−,0)， 2𝑝 𝑝 𝑝 设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，令𝑦1>𝑦2，𝑙𝐴𝐵：𝑥=𝑚𝑦+， 2 𝑥=𝑚𝑦+2 联立有{，消去x得，𝑦2− 𝑦2=2𝑝𝑥2𝑝𝑥−𝑝2=0， △=4𝑝2𝑚2+4𝑝2>0则{𝑦1+𝑦2=2𝑝𝑚，所以 𝑦1⋅𝑦2=−𝑝2𝑘𝐴𝐾= 𝑝𝑥1+ 2 𝑝 𝑝 𝑦1 ，𝑘𝐵𝐾= 𝑦2𝑥2+ 𝑝2 ， 𝑘 −𝑘𝐵𝐾 𝐴𝐾 则tan∠𝐴𝐾𝐵=tan(∠𝐴𝐾𝐹+∠𝐵𝐾𝐹)=1+𝑘 𝐴𝐾⋅𝑘𝐵𝐾 =√3， 即𝑥1+𝑝−𝑥2+𝑝=√3+√3(𝑥1+𝑝)(𝑥2+𝑝)， 2 2 2 2 𝑦1𝑦2𝑦1𝑦2 化简得𝑝(𝑦1−𝑦2)=√3(𝑚2+1)𝑦1𝑦2+√3𝑝𝑚(𝑦1+𝑦2)+√3𝑝2， 𝑝√4𝑝2𝑚2+4𝑝2=−√3(𝑚2+1)𝑝2+2√3𝑝2𝑚2+√3𝑝2， 消去𝑝2得2√𝑚2+1=−√3(𝑚2+1)+2√3𝑚2+√3，即2√𝑚2+1=√3𝑚2， 所以3𝑚4−4𝑚2−4=0，解得𝑚2=2，即𝑚=±√2， 所以𝑡𝑎𝑛𝛼=√或−√，则1+tan2𝛼=1+2=2=， cos𝛼cos𝛼222 第14页，共21页 2 2 sin2𝛼 1 3 则cos2𝛼=3，sin2𝛼=1−cos2𝛼=3， ∵𝛼∈[0,𝜋)，∴𝑠𝑖𝑛𝛼>0，则𝑠𝑖𝑛𝛼=√． 33 21 设出直线方程，将直线与抛物线联立方程组，表示出直线AK与直线BK的斜率，然后根据tan∠𝐴𝐾𝐵=tan(∠𝐴𝐾𝐹+∠𝐵𝐾𝐹)建立等式，求出直线斜率，最后根据同角三角函数的基本关系即可求出所求． 本题主要考查了抛物线的性质，以及同角三角函数的基本关系，解题的关键是韦达定理的应用，同时考查了学生的计算能力． 16.【答案】 125𝜋6 【解析】解：取AC的中点O，AD中点H，连接OH，OB，OD，PH， ∵𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=4，𝐶𝐷=1，𝐴𝐷=2√6，𝐴𝐶=5， ∴𝐴𝐷2+𝐶𝐷2=𝐴𝐶2，𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝐴𝐶2， 则𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，∴𝑂到A，B，C，D的距离相等， ∵平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝐶𝐷⊥𝐴𝐷， 𝐶𝐷⊂平面ABCD，∴𝐶𝐷⊥平面PAD， ∵𝑂，H分别为AC，AD的中点，∴𝑂𝐻//𝐶𝐷， ∴𝑂𝐻⊥平面PAD，又𝑃𝐴⊥𝑃𝐷，∴𝑂到P、A、D的距离相等． ∴𝑂为四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的外接球的球心，得𝑂𝐷=√𝑂𝐻2+𝐷𝐻2=√()2+(√6)2=， 22∴球O的体积为𝑉=3𝜋𝑅3=3𝜋×(2)3=故答案为： 125𝜋6 4 4 5 1256 1 5 𝜋． ． 由题意画出图形，取AC的中点O，证明O为四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的外接球的球心，求出半径，再由球的体积公式求解． 本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． 17.【答案】解：若选①，由log2𝑎𝑛+1=log2𝑎𝑛+1，可得log2𝑎𝑛+1−log2𝑎𝑛=1， 所以{log2𝑎𝑛}是首项为log2𝑎1=1，公差为1的等差数列， 所以log2𝑎𝑛=1+(𝑛−1)=𝑛，即𝑎𝑛=2𝑛， 又𝑏1=2，𝑏3=14，𝑎1=2，𝑎3=8，所以𝑏1−𝑎1=0，𝑏3−𝑎3=6， 所以等差数列{𝑏𝑛−𝑎𝑛}的公差为𝑑= (𝑏3−𝑎3)−(𝑏1−𝑎1) 3−1 =3， 第15页，共21页 所以𝑏𝑛−𝑎𝑛=𝑏1−𝑎1+(𝑛−1)𝑑=3(𝑛−1)， 所以𝑏𝑛=2𝑛+3(𝑛−1)，𝑆𝑛=(2+22+23+⋯+2𝑛)+3(1+2+3+⋯+𝑛)−3𝑛=2𝑛+1−2+ 3𝑛2−3𝑛 2 ， 由𝑆𝑛>2021，可得𝑛≥10， 即存在正整数k，使得𝑆𝑘>2021，且k的最小值为10． 若选②，由𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2𝑛，可得𝑎2−𝑎1=2，𝑎3−𝑎2=22，𝑎4−𝑎3=23，…，𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=2𝑛−1(𝑛≥2)， 相加可得𝑎𝑛−𝑎1=2+22+23+⋯+2𝑛−1= 2(1−2𝑛−1) 1−2 =2𝑛−2，又𝑎1=2， 所以𝑎𝑛=2𝑛(𝑛≥2)，显然𝑎1=2也满足𝑎𝑛=2𝑛(𝑛≥2)， 故𝑎𝑛=2𝑛． 下同选①． 22， 若选③，由𝑎𝑛+1−𝑎𝑛+1𝑎𝑛=2𝑎𝑛 整理可得(𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛)(𝑎𝑛+1+𝑎𝑛)=0， 又𝑎𝑛>0，所以𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛，即 𝑎𝑛+1𝑎𝑛 =2， 所以{𝑎𝑛}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以𝑎𝑛=2𝑛， 下同选①． 【解析】若选①，由等差数列的定义可得{log2𝑎𝑛}是首项为log2𝑎1=1，公差为1的等差数列，可得𝑎𝑛=2𝑛，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得𝑆𝑛，解不等式可得所求最小值； 若选②，运用累加法和等比数列的求和公式，求得𝑎𝑛=2𝑛，下同选①； 若选③，通过因式分解和等比数列的定义和通项公式，求得𝑎𝑛=2𝑛，下同选①． 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． (1)设𝐵𝐶=𝑥，【答案】解：在△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理可得28=𝑥2+4−2𝑥⋅2⋅(−2)，18. 整理可得：𝑥2+2𝑥−24=0，解得𝑥=4， 所以𝐵𝐶=4，则𝑆△𝐴𝐵𝐶=×2×4×√=2√3， 22因为𝐶𝐷= 5𝐴𝐵2 1 31 ，所以𝑆△𝐴𝐶𝐷= 5𝑆△𝐴𝐵𝐶 2 =5√3， 所以𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝐶𝐷=7√3； 第16页，共21页 (2)设∠𝐴𝐵𝐷=𝛼，则∠𝐵𝐷𝐶=𝛼，∠𝐵𝐴𝐶=2−𝛼，∠𝐷𝐵𝐶=在△𝐴𝐵𝐶中，由正弦定理可得sin(𝛼−𝜋)=sin(𝜋−𝛼)， 6 2 𝜋2𝜋3 −𝛼，∠𝐵𝐶𝐴=𝛼−6， 𝜋 2𝐵𝐶 在△𝐵𝐶𝐷中，由正弦定理可得sin(2𝜋−𝛼)=sin𝛼， 3 5𝐵𝐶 两式相除可得 2𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝛼) 𝜋 5𝑠𝑖𝑛(𝛼−) 6 23 = 𝜋 sin(−𝛼) 2 𝑠𝑖𝑛𝛼 ，展开可得1√3 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼)221√35⋅(𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛼)22 2⋅( =cos𝛼， 𝑠𝑖𝑛𝛼 所以可得5√3sin2𝛼−7𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼−2√3cos2𝛼=0， 即5√3tan2𝛼−7𝑡𝑎𝑛𝛼−2√3=0， 解得𝑡𝑎𝑛𝛼= 2√3 或𝑡𝑎𝑛𝛼3𝜋𝜋 =− √3 ， 5 又因为𝛼∈(6,2)， 所以𝑡𝑎𝑛𝛼= 【解析】(1)在△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理可得BC的值，进而求出△𝐴𝐵𝐶的面积，再由CD的值，可得CD与AB的数量关系，求出△𝐴𝐷𝐶的面积，进而求出梯形ABCD的面积． (2)设∠𝐴𝐵𝐷的角，由题意可得∠𝐵𝐷𝐶，∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐴用∠𝐴𝐵𝐷表示出来的值，在在△𝐴𝐵𝐶中，在△𝐵𝐶𝐷中由正弦定理可得的比例式，两式联立及∠𝐴𝐵𝐷的范围，求出其正切值． 本题考查三角形的正弦定理即余弦定理的应用，及三角形面积公式的应用，属于中档题． 2√3 ，即tan∠𝐴𝐵𝐷3 = 2√3 ． 3 19.【答案】证明：(Ⅰ)取AC的中点O，连接OM，𝑂𝐶1， 在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝑀为AB的中点，O为AC的中点， ∴𝑂𝑀//𝐵𝐶，且𝑂𝑀=2𝐵𝐶， 又N为𝐵1𝐶1 的中点，𝐵𝐶//𝐵1𝐶1，且𝐵𝐶=𝐵1𝐶1， ∴𝐶1𝑁//𝐵𝐶，且𝐶1𝑁=2𝐵𝐶， ∴𝑂𝑀//𝐶1𝑁且𝑂𝑀=𝐶1𝑁，从而四边形𝑂𝑀𝑁𝐶1为平行四边形． ∴𝑀𝑁//𝑂𝐶1， 又𝑀𝑁⊄平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，𝑂𝐶1⊂平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1， ∴𝑀𝑁//平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1； 解：(Ⅱ)在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐵𝐵1⊥𝐴𝐵，𝐵1𝑀=3√2，𝐵𝐵1=4， 2∴𝐵𝑀=√𝐵1𝑀2−𝐵𝐵1=√2，故AB=2√2，𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2，从而𝐴𝐶⊥𝐵𝐶， 11 以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则𝑀(1,1，0)，𝐴1(2,0，4)，𝐵1(0,2，4)，𝑁(0,1，4)， 第17页，共21页 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵1=(−1,1,4)，⃗𝑀𝐴1=(1,−1,4)，𝑀𝑁=(−1,0,4)， 𝑛⃗⃗⃗ 设平面𝑀𝐴1𝐵1 的法向量为⃗1=(𝑥,𝑦,𝑧)， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗𝑀𝐴1=𝑥−𝑦+4𝑧=0𝑛⃗⃗⃗ 则{1，取𝑥=1，得⃗1=(1,1,0)； ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛⃗⃗⃗⃗ 1⋅𝑀𝐵1=−𝑥+𝑦+4𝑧=0𝑛⃗⃗⃗ 设平面𝑀𝐴1𝑁的法向量为⃗2=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛2⋅𝑀𝐴1=𝑥1−𝑦1+4𝑧1=0𝑛⃗⃗⃗ 则{，取𝑧2=1，得⃗2=(4,8,1)． ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑀𝑁=−𝑥+4𝑧=0222 12 ∴cos<⃗𝑛⃗⃗⃗ 𝑛⃗⃗⃗ =1,⃗2>=|𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ | 1 2 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ √=2×9122√2． 3 由图可知，二面角𝐵1−𝐴1𝑀−𝑁为锐二面角， 则二面角𝐵1−𝐴1𝑀−𝑁的余弦值为 【解析】(Ⅰ)取AC的中点O，连接OM，𝑂𝐶1，证明𝑂𝑀//𝐶1𝑁且𝑂𝑀=𝐶1𝑁，从而四边形𝑂𝑀𝑁𝐶1为平行四边形，得到𝑀𝑁//𝑂𝐶1，再由直线与平面平行的判定可得𝑀𝑁//平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1； (Ⅱ)证明𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面𝑀𝐴1𝐵1 与平面𝑀𝐴1𝑁的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角𝐵1−𝐴1𝑀−𝑁的余弦值． 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 2√23 ． 20.【答案】解：(1)由y与x的相关系数为𝛾≈−0.58，所以y与x的线性相关关系是负 相关， 且|𝛾|<0.75，所以线性相关性不强，所以不建议继续做线性回归分析， 得到的回归方程，拟合效果也会不理想，(相关指数𝑅2≈0.3364)； (2)建立2×2列联表如下： 人数<100 人数≥100 总计 5 35 40 2 𝐴𝑄𝐼>100 10 𝐴𝑄𝐼≤100 10 总计 20 15 45 60 =10， 代入公式计算得𝐾= 60×(10×35−10×5)2 15×45×20×40 查表知6.635<10<10.828， 所以犯错误率在0.001与0.1之间， 即该初步认定的犯错率小于1%． 第18页，共21页 【解析】(1)由相关系数𝛾≈−0.58知y与x的线性相关关系以及线性相关性强弱； (2)建立2×2列联表，计算𝐾2的值，对照附表得出结论． 本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了运算求解能力和数据分析的核心素养，是中档题． 21.【答案】解：(1)由题意可知：𝐴(−2,0)为椭圆的左顶点，故𝑎=2， 又𝐹(1,0)为C的右焦点，所以𝑎2−𝑏2=1，于是𝑏2=3， 故椭圆C的方程为： 𝑥24 + 𝑦23 =1； 𝑥0−2𝑦02 (2)证明：设𝑃(𝑥0,𝑦0)(𝑥0≠±2)，则𝑀( 0 直线AP的斜率𝑘=𝑥0+2， ,)， 2 𝑦 又𝑂𝑄//𝐴𝑃，所以直线OQ的方程为𝑦=𝑥0+2𝑥， 令𝑥=4得𝑄(4,𝑥 4𝑦0 0 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()，⃗𝑂𝑀+2 22𝑦0 𝑥0−2𝑦02𝐹𝑄=(3,𝑥,2)，⃗⃗⃗⃗⃗ (∗)， 4𝑦0 0+2 )， 3(𝑥−2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀𝐹𝑄=0+所以⃗ 2 𝑥0+2 2 = 2 2−4)+4𝑦23(𝑥00 2(𝑥0+2) 𝑥𝑦 又P在椭圆C上，所以0+0=1，代入(∗)得： 43 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀𝐹𝑄=0，所以𝑂𝑀⊥𝐹𝑄， 故直线OM与FQ的交点在以OF为直径的圆上，且该圆的方程为：(𝑥−2)2+𝑦2=4， 即直线OM与直线FQ的交点在某定曲线(𝑥−2)2+𝑦2=4上． 【解析】(1)由已知可求出a的值，再由焦点坐标求出c的值，进而求解； (2)设出点P的坐标，则可得M的坐标，由此求出直线OQ的方程，进而求出点Q的坐标，再利用坐标求出向量OM，FQ的坐标运算，利用点P在椭圆上化简向量的坐标运算结果，进而可以求解． 本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题． 1 1 1 1 22.【答案】解：(1)证明：𝑓′(𝑥)=𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑎(𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥)= −2𝑎𝑠𝑖𝑛 𝑎+12 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑎−12 𝑥， 2𝜋 4𝜋 若𝑎>1，则𝑓′(𝑥)在区间(0,2𝜋)至少有𝑥1=𝑎+1，𝑥2=𝑎+1两个变号零点，故0<𝑎<1， 令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥𝑚= 2𝑚𝜋 𝑥𝑛=1−𝑎，𝑥1=𝑎+1∈(0,2𝜋)， 𝑛∈𝑍，，其中m，仅当𝑚=1时，𝑎+1 2𝑛𝜋2𝜋 且在𝑥1的左右两侧，导函数的值由正变负， 第19页，共21页 故0<𝑎<1时，𝑓(𝑥)在区间(0,2𝜋)有唯一极值点𝑥0=𝑎+1， 此时𝑓(𝑥0)=𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥0−𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥0，将𝑥0=𝑎+1代入得： 𝑓(𝑥0)=sin𝑎+1−𝑠𝑠𝑖𝑛𝑎+1=sin𝑎+1+𝑎𝑠𝑖𝑛(2𝜋−𝑎+1)=(1+𝑎)sin𝑎+1， ①当𝑎+1≤2，即0<𝑎≤3时，2𝑎𝜋≤(1−𝑎)𝜋， 由不等式：𝑥>0时，𝑥>𝑠𝑖𝑛𝑥(∗)知： (1+𝑎)sin 2𝑎 2𝑎𝜋𝑎+11 2𝑎 1 1 2𝑎𝜋 2𝜋 2𝑎𝜋 2𝜋 2𝑎𝜋 2𝜋 2𝜋 <(1+𝑎) 1 2𝑎𝜋𝑎+1 =2𝑎𝜋， ②当𝑎+1>2，即当3<𝑎<1时，(1−𝑎)𝜋<2𝑎𝜋， (1+𝑎)sin𝑎+1=(1+𝑎)sin(𝜋−𝑎+1)=(1+𝑎)sin由不等式(∗)知：(1+𝑎)sin (1−𝑎)𝜋𝑎+1 2𝑎𝜋 2𝑎𝜋 (1−𝑎)𝜋𝑎+1 ， <(1+𝑎) (1−𝑎)𝜋𝑎+1 =(1−𝑎)𝜋， 由①②知𝑓(𝑥0)<𝑚𝑖𝑛{2𝑎𝜋,(1−𝑎)𝜋}． (2)①当𝑎>1时，𝑓(𝑎)=sin(𝑎⋅𝑎)−𝑎𝑠𝑖𝑛𝑎=−𝑎𝑠𝑖𝑛𝑎<0，𝑓(2)=sin(故𝑓(𝑎)⋅𝑓(2)<0， 由零点存在性定理知：𝑓(𝑥)在区间(𝑎, 1 𝜋 𝜋 𝜋3𝜋 2 𝜋 3𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 3𝜋 3𝑎𝜋2 )+𝑎>0， )上至少有1个零点， ②当2<𝑎<1时，𝜋<𝑎<2𝜋，2<𝑎𝜋<𝜋，𝜋<2𝑎𝜋<2𝜋， 𝑓()=−𝑎𝑠𝑖𝑛>0，𝑓(𝜋)=𝑠𝑖𝑛𝑎𝜋>0，𝑓(2𝜋)=𝑠𝑖𝑛2𝑎𝜋<0， 𝑎𝑎由零点存在性定理知，𝑓(𝑥)在区间(𝜋,2𝜋)至少有1个零点， ③当0<𝑎≤2时，𝑓′(𝑥)=𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑎(𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥)， 令𝑔(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥，则𝑔′(𝑥)=−𝑎𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥， 在区间(0,𝜋)上，𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥>𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)递增， 在区间(𝜋,2𝜋)上，𝑔′(𝑥)<0，即𝑔(𝑥)递减，即𝑓′(𝑥)递减，𝑓′(𝑥)<𝑓′(2𝜋)<0， 故𝑓(𝑥)在(0,𝑥0)上递增，在(𝑥0,2𝜋)上递减， 又𝑓(0)=0，𝑓(2𝜋)=𝑠𝑖𝑛2𝑎𝜋≥0，即在(𝜋,2𝜋)上，𝑓(𝑥)>0， 故𝑓(𝑥)在区间(0,2𝜋)上没有零点，满足题意， 综上，若𝑓(𝑥)在区间(0,2𝜋)上没有零点， 则正数a的取值范围是(0,2]. 1 1 𝜋 𝜋 第20页，共21页 【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据函数的单调性求出函数的极值点，从而证明结论成立即可； (2)通过讨论a的范围，结论零点存在性定理判断函数的零点个数，从而确定a的范围． 本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用，分类讨论思想，转化思想，考查三角函数的性质，是一道综合题． 第21页，共21页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容