2021年九年级数学期中考试试卷(含答案)

一、选择题(每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．)1．抛物线y=(x-1)2+2的顶点是( ) A．(1，-2)

B．(1，2)

C．(-1，2)

D．(-1，-2)

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3

5，则cosB等于( )

A．

3

4

B．

3C．

34

5

D．

45

3．如图，在△ABC中，DE∥BC，且AE=3cm，EC=5cm，DE=6cm，则BC等于( )

A．10cmB．16cmC．12cm

D．185

cm

4．将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4？答：( ) A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位 D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位

5．如右图，⊙O的半径OA等于5，半径OC⊥AB于点D，若OD=3，则弦AB的长为( )

A．10B．8C．6D．4

6．下列说法正确的个数有( )

①平分弦的直径垂直于弦；

②三点确定一个圆；

③等腰三角形的外心一定在它的内部；④同圆中等弦对等弧 A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

7．如右图，在△ABC中，AB=AC，∠4=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中与△

的三角形(不包括△ABC)的个数有( )

ABC相似

A．0个B．1个C．2个D．3个

8．已知b＜0时，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于( )．．．．

A．-2B．-1C．1D．2

二、填空题(每小题4分，本题共16分)

9．已知关于x的一元二次方程(k-1)2x2+(2k+1)+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为__________．10．如右图，⊙O的直径为26cm，弦AB长为24cm，且OP⊥AB于P点，则tan∠ADP的值为__________．

MC11．己知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值

AM

是__________．

12．已知：抛物线y=ax2+bx+c与y交于C点，顶点为M，直线CM的解析式为y=-x+3并且线段CM的长为32，

则抛物线的解析式为____________________．

三、解答题(每小题6分，本题共18分)

3

13．计算：4cos45°-(-3)·()1-(π-3)0-3·tan30°．

2

2

14．解方程：3x2-2x-2=0．

15．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

(1)填空：∠ABC=__________°，BC=__________； (2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．四、解答题(每小题5分，本题共10分)

16．已知：如图，直线AC与圆O交于点B、C，直线AD过圆心O，若圆O的半径是5，且∠DAC=30°，AD=13，

求弦BC的长。

17．如图，在大圆中有一个小圆O，现有直尺和圆规． (1)简要说明确定大圆的圆心O′的步骤；

(2)作直线l，使其将两圆的面积均二等分。

五、解答题(本题满分6分)

318．如图，矩形ABCD，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AD=10cm，且tan∠EFC=，

4

(1)求证：△AFB∽△FEC；

(2)求折痕AE的长．

六、解答题(本题满分8分)

13

19．已知二次函数yx2x．

22

(1)用配方法将函数解析式化为y=a(x-h)2+k的形式；

(2)当x为何值时，函数值y=0；

(3)列表描点，在所给坐标系中画出该函数的图象；

3

(4)观察图象，指出使函数值y＞时自变量x的取值范围．

2

七、解答题(第20、21、23每题8分，第22题6分，共30分)

20．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M从D点出发，以1个单位／秒的速度沿DA向终点A

运动，同时动点N从A点出发，以2个单位／秒的速度沿AB向终点B运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NP⊥AB，交AC于点P1连结MP．已知动点运动了x秒．

(1)请直接写出PN的长；(用含x的代数式表示)

(2)试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

(3)在这个运动过程中，△MPA能否为一个等腰三角形．若能，求出所有x的对应值；若不能，请说明

理由．

21．已知：在△ABC中，∠ABC=-90°，点B在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中

点，连接BM，DM．

(1)如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出

你得到的结论；

(2)如图2，若点E在BA延长线上，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明：

(3)若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD

所满足的数量关系．

22．小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：x2-x1=x3-x2=…=x7-x6=d，

再分别算出对应的y值，列出表1：表1：

xy

x11

x23

x37

x413

x521

x631

x743

记m1=y2-y1，m2=y3-y2，m3=y4-y3，m4=y5-y4，…；s1=m2-m1，s2=m3-m2，s3=m4-m3，… (1)判断s1、s2、s3之间关系；

(2)若将函数“y=x2-x+1”改为“y=ax2+bx+c(a≠0)”，列出表2：

表2：

xy

x1y1

x2y2

x3y3

x4y4

x5y5

x6y6

x7y7

其他条件不变，判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；

(3)小明为了通过描点法作出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，列出表3：

表3：

xy

x110

x250

x3110

x4190

x5290

x6420

x7550

由于小明的粗心，表3中有一个y值算错了，请指出算错的y值(直接写答案)

23．如图所示，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点c．

(1)求A、B、C三点的坐标．

(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角

形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理

八、附加题：

1．已知直线y=b(b为实数)与函数y=|x|2-4|x|+3的图像至少有三个公共点，则实数

__________．

b的取值范围

AABBCC1

11k,(k＞)，若△ABC的2．如图，点A1，B1，C1分别在△ABC的边，AB，BC，CA上，且1

ABBCCA2

周长为p，△A1B1C1的周长为p1；求证：p1＜(1-k)p．

北京四中2009-2010学年上学期九年级期中考试数学试卷参考答案

一、选择题

1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．C 8．C二、填空题

122111

29．k＞且k≠1 10． 11．2或 12．yx2x3或yx22x3

53332

三、解答题

226

13．422． 14．x；

6

15．(1)∠ABC=135°，BC=22；

(2)能判断△ABC与△DEF相似(或△ABC∽△DEF)．

∵可求∠ABC=∠DEF=135°，又AB=2，BC=22，DE=2，EF=2，

ABBC

2，∴

DEEF

α△ABC∽△DEF．16．解：作OM⊥BC于点M．

∵AD=13，OD=5，∴AO=8．∵∠DAC=30°，∴OM=4在Rt△OCM中，OM=4，OC=5，∴MC=3∴BC=2MC=6

17．答：(1)任作大圆的两条弦AB、CD，分别作AB和CD的中垂线li与l2，l与l2的交点O′就是大圆的

圆心．

(2)过O，O′作直线EF可等分两圆的面积．18．解：(1)利用两组对应角相等证明

(2)先利用三角函数求得AB=8，BF=6，AF=10；再利用方程求得CF=4，CE=3，EF=5；最后用勾股定理

求得AE=55

1

19．(1)y=-(x-1)2+2 (2)3或-1 (3)图象略 (4)0＜x＜2．

23x

20．解：(1)PN=．

2

(2)过点P作PQ⊥AD交AD于点Q．

可知PQ=AN=2x．依题意，可得AM=3-x．

1139

22∴S=·AM·PQ=·(3-x)·2x=-x+3x=-(x)．

2224

自变量x的取值范围是：0＜x≤2．

39∴当x=时，S有最大值，S最大值=．

24

(3)△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：

①若PM=PA，

3

∵PQ⊥AD，∴MQ=QA=PN=x．

23

又DM+MQ+QA=AD∴4x=3，即x=．

4

②若MP=AM，

5

MQ=AD-AQ-DM=3-x，PQ=2x，MP=MA=3-x．

2

在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2=MQ2+PQ2．

5

∴(3-x)2=(3-x)2+(2x)2．

236

解得x=，x=0(不合题意，舍去)

37

③若AP=AM，

5

由题意可求AP=x，AM=3-x．

256∴x=3-x．解得x=．27

3366综上所述，当x=，或x=，或x=时，△MPA是等腰三角形．

4377

21．解：(1)结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．

(2)在(1)中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD．

证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，

1

∴BM=EC=MC，

2

又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，

1

∴DM=EC=MC．

2

∴BM=DM．∵BM=MC，BM=MC，

∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM．∴∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM =2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD．

即∠BMD=2∠BCD．

证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，

1

∴BM=EC=ME．

2

又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，

1

∴DM=EC=MC，

2

∴BM=DM．∵BM=ME，DM=MC，

∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC．∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD．

∴∠BMD=180°-(∠BMC+∠DME)

=180°-2(∠BEM+∠MCD)=180°-2(90°-∠BCD)=2∠BCD．

即∠BMD=2∠BCD．(3)所画图形如图所示：

图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；图2中∠BCD不存在，有BM=DM；图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．22．解：(1)s1=s2=s3； (2)s1=s2=s3；证明略 (3)420

23．解：(1)令y=0，得x2-1=0解得x=±1

令x=0，得y=-1

∴A(-1，0) B(1，0) C(0，-1)

(2)∵OA=OB=OC=1∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°

∵AP∥CB，∴∠PAB=45°

过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形令OE=a，则PE=a+1∴P(a，a+1)∵点P在抛物线y=x2-1上∴a+1=a##2-1解得a1=2，a2=-1(不合题意，舍去)∴PE=3

1111

∴四边形ACBP的面积S=AB·OC+AB·PE=×2×1+×2×3=4

2222

(3)假设存在

∵∠PAB=∠BAC=45°∴PA⊥AC

∵MG⊥x轴于点G，∴∠MGA=∠PAC=90°在Rt△AOC中，OA=OC=1∴AC=2在Rt△PAE中，AE=PE=3∴AP=32设M点的横坐标为m，则M(m，m2-1)①点M在y轴左侧时，则m＜-1

AGMG

 (i)当△AMG∽△PCA时，有

PACA

∵AG=-m-1，MG=m2-1

m1m21

即

3222

解得m1=-1(舍去) m2=(舍去)

3

AGMG

 (ii)当△MAG∽△PCA时有

CAPA

m1m21

即

232

∴M(-2，3)

解得：m=-1(舍去) m2=-2

②点M在y轴右侧时，则m＞1

AGMG

 (i)当△AMG∽△PCA时有

PACA

∵AG=m+1，MG=m2-1∴

解得m4

1=-1(舍去) m2=

3∴M(473,9

)

(ii)当△MAG∽△PCA时有

AGMG

CAPA

即m1m221

32

解得：m1=-1(舍去) m2=4∴M(4，15)

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似

M点的坐标为(-2，3)，(47

3，9

)，(4，15)

附加题：1．-1＜b≤3

2．如图，过B1作AC的平行线交AB于A2，则有A1B1＜A1A2+B1A2=(1-2p)AB+pAC．同理可得另外两式，三式

相加即得结果．