八年级数学同步辅 2009-08-18 21:14:29 阅读278 评论0 字号：大中小 订阅
暑假专题——一元二次方程及分式方程
【试题讲解】
一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）
1、当 a_______时，方程 (a－1) x2＋x－2＝0 是一元二次方程。
2、方程 2x (1＋x)＝3 的一般形式为_______。 3、当 x＝_______时，分式
2
的值等于。
4、方程 2x＝32 的解为_______。 5、方程
－1＝
的解为_______。
6、方程 x2－5x－6＝0 可分解成_______与_______两个一元一次方程。
7、已知 m 是方程 x2－x－
2
＝0 的一个根，则 m2－m＝_______。
2
8、2x＋4x＋10＝2 (x＋_______)＋_______。
9、以 －2 和 3 为根的一元二次方程为_______（写出一个即可）。 10、如果方程 x－3x＋m＝0 的一根为 1，那么方程的另一根为_______。
11、如果方程
－1＝
有增根，那么 m＝_______。
2
12、长 20m、宽 15m 的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的
若四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为_______。
答案：
1、≠1 2、2x2＋2x－3＝0
，
1
3、3 4、x＝±4 5、x＝0 6、x－6＝0，x＋1＝0
7、 8、1，8
9、x2－x－6＝0 10、x＝2 11、－3 12、2.5m
二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） 1、下列方程中是一元二次方程的是（ ）
22
A、x＋3＝5 B、xy＝3 C、x＋＝0 D、2x－1＝0
2、若关于 x 的方程＝1 无解，则 a 的值等于（ ）
A、0 B、1 C、2 D、4
3、方程 2x (x－2)＝3 (x－2) 的根是（ ）
A、x＝ B、x＝2 C、x1＝，x2＝2 D、x＝－
2
4、把方程 x＋3＝4x 配方得（ ）
2222
A、(x－2)＝7 B、(x－2)＝1 C、(x＋2)＝1 D、(x＋2)＝2
5、某车间原计划 x 天内生产零件 50 个，由于采用新技术，每天多生产零件 5 个，
因此提前3 天完成任务，则可列出的方程为（ ）
A、
＝
－5 B、
＝
－5
C、＝－3 D、＝－3
6、把一个小球以 20m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中高度 h (m) 与时间 t (s) 满
足关系：h＝20t－5t2，当 h＝20 时，小球的运动时间为（ ）
A、20s B、2s C、(
2
＋2) s D、(
－2) s
答案：
1、D 2、C 3、C 4、B 5、B 6、B
三、解下列方程：（每题 6 分，共 36 分）
1、x (x＋5)＝24
2、2x＝(2＋
2
2
x
3、x－4x＝5 4、4 (x－1)＝(x＋1)
2
2
5、
6、－1＝答案：
1、解：x1＝3，x2＝－8
2、解：x1＝0，x2＝
3、解：x1＝5，x2＝－1 4、解：x1＝3，x2＝
5、解：x＝－5
6、解：x＝1，增根 ∴原方程无解
四、解答题：（每题 8 分，共 32 分） 1、解关于x的方程
＝1＋x（a≠b）
3
2、方程 x2＋3x＋m＝0 的一个根是另一根的 2 倍，求 m 的值。
3、电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都具有电阻。如图所示，当两个电阻 R1、R2 并联时，总电阻满足
＝
＋
，若R1＝4，R2＝6，求总电阻R。
4、电力局的维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需的材料出发，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是摩托车
的1.5倍，求这两种车的速度。
答案：
1、解：ax－a＝b＋bx
ax－bx＝a＋b (a－b) x＝a＋b
∵a≠b
∴x＝
2、解：设两根为 k、2k，则
解得k1＝0，k2＝－1 当k1＝0时，m＝0 当k2＝－1时，m＝2
∴m＝0或＝2 3、解：
＝＋
4
＝＋
＝
∴R＝
4、解：设摩托车的速度为 x 千米/时
＝＋
x＝40 检验：1.5x＝60
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
1、如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点Ｐ从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果
P、Q分别是从A、B同时出发，求经过几秒时，
①△PBQ的面积等于 8 平方厘米？ ②五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？
2、小明的爸爸下岗后自谋职业，做起了经营水果的生意，一天他先去批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.80元
零售，结果，乙种水果很快售完，甲种水果售出时，出现滞销，他又按原零售价的5
5
折售完剩余的水果。请你帮小明的爸爸算一算这一天卖水果是赔钱了，还是赚钱了（不
考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
6
【试题答案】
1、①2秒或 4 秒
②3秒时，面积最小，最小值为63cm2
2、设甲种水果批发价为 x 元/千克，则乙种水果的批发价为(x＋0.5)元/千克
由题意，得＋10＝
x2－4.5x＋5＝0
∴x1＝2.5 x2＝2 经检验：都是原方程的根
但x＝2.5时，乙种水果的批发价2.5＋0.5＝3元，高于零售价，不合题意舍去
∴x＝2
∴甲：2.8³³(＋³)－100 ＝2.8³45－100＝26
乙：³2.8－150＝18
赚了：26＋18＝44(元)
【励志故事】 富有更多表现在内心里
一次，李嘉诚上车前掏手绢擦脸，带出一块钱的硬币掉到地上。天下着雨，李嘉诚执意要从车下把钱捡起来。后来还是旁边的侍者为他捡回了这一块钱，李嘉诚付给他100块的小费。他说：“那一块钱如果不捡起来，被水冲走可能就浪费了，这100块却不会
被浪费，钱是社会创造的财富，不应被浪费。”
分式及分式方程 等腰三角形
八年级数学同步辅 2009-08-18 21:02:36 阅读71 评论0 字号：大中小 订阅
代数：分式及分式方程 几何：等腰三角形
7
［学习目标］
代数：分式定义；分式有意义与值为0的条件；分式的加减乘除运算，掌握含有字母
系数的一元一次方程，可化为一元一次方程的分式方程的解法。
几何：掌握等腰三角形的性质及判定；掌握线段的垂直平分线的性质及判定
二. 重点、难点：
重点：
代数：分式的概念及运算；可化为一元一次方程的分式方程的解法。 几何：等腰三角形的性质与判定；线段的垂直平分线的性质及判定
难点：
代数：分式计算；分式方程的解法
几何：等腰三角形的判定，线段的垂直平分线的判定
三、知识结构 代数：
1. 分式
8
2. 含有字母系数的一元一次方程
3. 可化为一元一次方程的分式方程
几何：
等腰三角形
线段的垂直平分线
【典型例题】
例1. 求使得下列各式有意义的x的范围及使得下列各式值为零的x值。
（1） （2）
分析：有意义，分母≠0；值为零
9
解：（1）要使有意义，需
即当x≠±1时，分式有意义
要使值为零，需
由①，得x＝0或x＝－1
由②，得x≠±1
∴当值为零。
（2）要使有意义，需
即当x≠±1时，分式有意义
要使值为零，需 由①，得x＝0 由②，得x≠±1
∴当x＝0时，
例2. 化简
值为零。
（1）
（2）
10
解：（1）原式
（2）原式
例3. 解方程
（1）
（2）
解：（1）方程的两边同乘以
∴
检验：当x＝1时，
，得
所以x＝1是增根，原方程无解。 （2）方程两边同乘以abx，得
11
移项，得
∵
∴方程两边同除以
，得
例4. 如图：AB＝AC，∠A＝40°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC。
解：设∠PCA＝x，则∠PBC＝x，设∠PCB＝y
∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠ACB ∴∠PBA＝y
在△ABC中，∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180° ∴∠ACB＋∠ABC＝180°－∠A＝180°－40°＝140°
即2(x＋y)＝140°，∴x＋y＝70°
在△PBC中，∠CPB＝180°－（x＋y）＝180°－70°＝110°
即∠BPC＝110°
例5. 如图，点P是线段AB的中垂线上一点，PC⊥PA，PD⊥PB，AC=BD，求证：
点P在线段CD的中垂线上。
12
证明：∵点P在线段AB的中垂线上
∴PA=PB
在Rt△PAC和Rt△PBD中，
∴Rt△PAC≌Rt△PBD（HL） ∴PC=PD（全等三角形对应边相等）
∴P在线段CD的中垂线上（中垂线定理的逆定理）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 下列各式中是分式的是哪些？
2. 求使得下列各式有意义的条件
① ②
3. 解方程
③
①
②
13
4. 求证：等腰三角形两腰上的高相等。
5. 如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D。
求证：OE是CD的中垂线。
14
【试题答案】
1.
2. ①
，
②x为任意数 ③
3. ① ②
4. 略
5. 提示：只需证ED＝EC
数的开方、二次根式的乘除法 直角三角形
八年级数学同步辅 2009-08-18 20:59:09 阅读589 评论0 字号：大中小 订阅
代数：数的开方、二次根式的乘除法
几何：直角三角形
［学习目标］ 代数：
了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用数学符号表示；
了解开方与乘方互为逆运算，会求某非负数的平方根、算术平方根、立方根；了解无理数与实数的概念，会求简单的二次根式的乘除法运算及进行简单的分母有理化。
几何：
理解掌握勾股定理及逆定理。
二. 重点、难点：
重点：
代数：平方根、算术平方根、立方根的求解，无理数的概念，二次根式的乘除法运算。
几何：勾股定理及逆定理。
15
难点：
代数：平方根、算术平方根的求解，无理数的概念，二次根式乘除法的运算。
几何：勾股定理及逆定理的应用。
［知识结构］
16
【典型例题】
例1. 填空：
（1）64的平方根___________ （2）16的算术平方根___________ （3）
的立方根___________
（4）125的立方根___________
（5） （6） （7）若
的立方根___________ 的平方根___________
，则有___________
（8）的倒数___________
；（4）5；
解：（1）±8；（2）4；（3）
（5）；（6）；（7）；（8）。
17
例2. 指出下列哪些数是有理数，哪些是无理数？
，0.373773777„„
解：有理数：
无理数：
例3. 当x为何实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（4）
（2）
（5）
（3）
（6） （7）
解：（1）；（2）；（3）
；
且
（4）x为任何数；（5） （6）
；（7）x为任意数。
例4. 化简计算：
（1）
（4）
；（2）；（5）
；（3）
（m为正整数）；
；
（6）；（7）
18
（8）；（9）；
（10）
解：（1）
（2）
（3） （4） （5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
19
例5. 如图，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，BD＝12，AD＝13，求：四边形
。
解：在
中，
∴∠ABD＝90°
在△ABD中， 发现
【模拟试题】（答题时间：90分钟）
20
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题3分，
共30分）
1. 3的平方根是（ ）
A.
B.
C. 9 D. ±9
2. 在△ABC中，有一个角为直角的一半，另一个角为平角的，那么△ABC是（ ）
A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
3. 下列各式变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 下列多项式能因式分解的是（ ） A. B.
C.
D.
6. 下面说法中正确的是（ ）
21
A. 无理数包括正无理数、零和负无理数
B. 无理数是用根号表示的数 C. 无理数是有理数开方开不尽的平方根
D. 无理数是无限不循环小数
7. 下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 5，12，13 B. C. 4，7，5 D.
8. 已知
A.
B.
，则x满足（ ）
C.
D.
且
9. 如图，在△ABC中，下列推理错误的个数有（ ）
（1）∵AB＝AC，∠1＝∠2 ∴AD⊥BC，BD＝DC （2）∵AB＝AC，AD⊥BC ∴∠1＝∠2，BD＝DC （3）∵AB＝AC，BD＝DC ∴∠1＝∠2，AD⊥BC （4）∵BD＝DC，AD＝AD ∴AD⊥BC，AB＝AC
22
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10. 如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝
∠3，AC＝AE，则（ ）
A. △ABD≌△AFD B. △AFE≌△ADC C. △AFE≌△DFC D. △ABC≌△ADE
二. 填空题：把答案填在题中的横线上（11～15题每小题2分，16题4分，共14分。） 11. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，则第三边CA长的取值范围是____________。
12. 在公式
中，所有字母都表示正数，已知____________。
13. 若
是完全平方式，则m的值为____________。
，则
14. 已知时，分式无意义，___________。
时，此分式的值为零，则
15. 如图，已知△ABC中，∠B＝90°，∠C＝15°，DE垂直平分AC交BC于点E，
若EC＝8，则BE的长为____________。
16. 如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点（即点P可在ON上运动），∠AON
＝60°。填空：
23
（1）当OP＝_________时，△AOP为等边三角形； （2）当OP＝_________时，△AOP为直角三角形。
三. 化简计算：（每小题3分，共9分）
17.
18.
19. 分母有理化
四. 作图题：（本题4分）
20. 某小区有一块三条马路围成的三角形绿地（如图），准备在其中建一个小亭，供游人小憩。使小亭中心到三条马路的距离相等，试用尺规画出小亭的中心位置（不写作
法，保留做图痕迹，写出结论）。
24
五. 计算题：（每小题5分，共15分）
21.
22. 先化简，再选一个你喜欢的数代入求值。
23. 已知：如图，CF⊥AB于点F，∠A＝46°，∠B∶∠C＝3∶2，求∠EDC的度数。
六. 解下列方程：（每小题5分，共10分）
24.
25.
（x是未知数，且
）
七. 填空并证明：（本题5分）
26. 如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂
足分别是点R、S。若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论： （1）AS＝AR；（2）QP∥AR；（3）△BRP≌△CSP。 正确的是__________________，并证明你的结论。
25
八. 列方程解应用题：（本题6分）
27. 某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过2.9元，若每户每月用水超过
，则每立方米收费
，则超出部分每立方米收取较高的费用。1月份，张
家用水量是李家用水量的，张家当月水费是34.5元，李家当月水费是54.5元。超出的部分每立方米收费多少元？
九. （本题7分）
28. 已知：如图，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的
平分线交AD于点F，交AB于点E，FG∥BC交AB于点G。 （1）观察△AEF，若按边分类，它是哪一类三角形？并证明你的结论？
（2）若AE＝3，AB＝8，求EG的长。
26
【试题答案】
一. 选择题。
1. A 2. A 3. D 4. B 5. D 6. D 7. C 8. B 9. B 10. D
二. 填空题。 11.
12. 13. 7或
14. 6 15.
16. （1）；（2）或
三. 化简计算。
17. 解：原式
18. 解：原式
19. 解：原式
27
四. 作图题。
20. 答：点P为两个角的角平分线的交点，因为三角形三条角平分线的交点到三边距
离相等。
五. 计算题。
21. 解：原式
22. 解：原式
28
即原式 ∵
且
∴选取0，2以外的数均可
令
，则
23. 解：在Rt△BCF中，∠B＋∠C＝90°（直角三角形两锐角互余）
又∠B∶∠C＝3∶2
在△ABD中，
∠ADC＝∠A＋∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
＝46°＋54° ＝100° ∴∠EDC＝100° 六. 解下列方程。
24. 解： 方程两边同乘以
29
，得：
即
检验：当时，
25. 解：
移项，得：
是原方程的根
即
七. 填空并证明： 26. 正确的是：（1）（2） （1）证明：连结AP
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS ∴∠1＝∠2（角平分线的判定定理）
在Rt△APR和Rt△APS中
30
∴AR＝AS（全等三角形对应边相等）
（2）在△APQ中，AQ＝PQ ∴∠2＝∠3（等边对等角）
又∠1＝∠2
∴∠1＝∠3（等量代换）
∴QP∥AR（内错角相等，两直线平行）
八. 列方程解应用题：
27. 解：设超出 如果每月用水
而
则张家、李家用水都超过了
的部分每立方米收费x元
（元）
，则水费应为
张家用水量为：
李家用水量为：
则有
两边同乘以3x解方程，得： 检验：当 ∴
答：超出
时，是原方程的根
的部分每立方米收费4元。
九.
28. 解：（1）△AEF为等腰三角形
31
证明：在Rt△ADC中，∠3＋∠ACD＝90°（直角三角形两锐角互余）
同理，在Rt△ABC中，∠B＋∠ACB＝90°
∴∠B＝∠3（等量代换）
在△BCE中，∠AEF＝∠2＋∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的
和）
在△ACF中，∠AFE＝∠1＋∠3（同上）
＝∠1＋∠B 又∠1＝∠2（角平分线定义） ∴∠AEF＝∠AFE（等量代换） ∴AE＝AF（等角对等边） ∴△AEF为等腰三角形 （2）∵BC⊥AD，FG∥BC
∴FG⊥AD ∴∠AFG＝90° 过点E作EH⊥BC于H
则AE＝HE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
又AE＝AF，∴EH＝AF ∵FG∥BC，∴∠B＝∠4 在Rt△AFG和Rt△EHB中
32
∴AG＝EB（全等三角形对应边相等）
又AE＝3，AB＝8
∴EB＝5 ∴AG＝5
即EG＝2
三角形及三角形全等
知识结构
33
【典型例题】
例1. （1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm，13cm，又知这个三角形的周长
为偶数，求第三边长。
（2）在△ABC中，已知
，
，求
。
分析：（1）考察三边关系的应用；（2）考察三角形内角和定理
解：（1）设第三边为xcm，则
即
周长
即
又L为偶数
的范围是
即第三边长为13cm （2）
34
又
由
得
例2. 已知，在△ABC中，AD是角平分线，
于E，求：
和
，
，
分析：考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质
解：由三角形内角和定理，得
又AD平分
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
在
中
（直角三角形的两个锐角互余）
35
例3. 如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全
等。
已知：在
和
于D，
求证： 证明：在
和
中 中
于D’，且
在
（全等三角形对应边相等） 和
中
例4. 已知，如图AB//CD，BE、CE分别是
AD上，求证：
、
的平分线，点E在
36
证明：
又BE、CE平分
AB//CD
（三角形内角和定理）
在BC上取BF＝BA，连结EF 在
和
中
在
（全等三角形对应角相等）
（等量代换） 和
中
37
（全等三角形对应边相等）
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
一. 填空题
1. 三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，则第三边是_________ 2. 在 3.
中，
中，
，
和
，则
_______
的平分线BD和CE相交于点M，则
＝___________
二. 解答题
1. 如图，AE＝BF，AD＝BC，DF＝CE，求证：AD//CB
2. 证明：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
38
【试题答案】
一. 填空题 1. 6或8 2. 3.
二. 解答题 1. 提示：证
（SSS）
2. 提示：先证出一对锐角对应相等，再证一次直角三角形全等即可
最简二次根式 四边形
知识要点 代数：
1. 最简二次根式的概念
（1）被开方数不含分母（即被开方数是整数或整式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
2. 二次根式的化简
（1）被开方数是整数时，往往把被开方数分解因数，被开方数是整式时，往往把被
开方数因式分解。
（2）被开方数含有分母时，往往进行分母有理化。
注意：在二次根式的化简过程中，进出二次根号的数或式子必须是非负的。
几何： 1. 四边形的相关概念
四边形、边、顶点、角、外角、对角线、凸四边形、凹四边形
2. 四边形的内角和定理
（1）定理证明
（2）定理内容：四边形的内角和等于360°
3. 四边形的外角和定理 （1）定理证明：
39
（2）定理内容：四边形的外角和等于360°
4. 四边形的性质：灵活性
【典型例题】
例1. 判断下列式子哪些是最简二次根式
解：是最简二次根式的：
例2. 化简
（1）
（2）
（3） （4）
（5）
解：（1）注意符号，进出根号的必须非负，由题意
（2）
（3）
（4）
（5）
40
例3. 已知 解：
，求（结果保留三位有效数字）
例4. 如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC，
AB=BC=3cm，求AD的长。
，，
解：
连结AC
（两直线平行，同旁内角互补）
（同上）
为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
，
在Rt△ACD中，
（直角三角形中，30°锐角所对
的直角边等于斜边的一半）
41
例5. 四边形ABCD中，对角线AC平分，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，
求AC的长。
解：过点C作CE、CF分别垂直于AB、AD于E、F
（角平分线上的点到两边的距离相等） 在Rt△ACF和Rt△ACE中，
（全等三角形，对边相等）
设
42
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
1. 化简
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2. 如图所示，已知：AD=CD，BD平分
。
，求证：
43
3. 已知：在四边形ABCD中，
=1：2，求BC和AD的长。
，
44
【试题答案】
1. 化简
（1） （2）
（3） （5） 2. 思路同例5
（4）
（6）
3. 提示：延长BC、AD，交于点P 利用四边形内角和定理求出
再利用30°锐角的直角三角形的性质 求出
预习最简二次根式
二. 重点、难点：
1. 会利用商的算术平方根的性质，化简二次根式。 2. 会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母的有理化。
3. 掌握最简二次根式的定义。
4. 能把所给的二次根式化成最简二次根式。
【典型例题】
一. 商的算术平方根：
[例1] 化简：
（1） （2）
45
解：（1）
（2）
说明：（1）被开方数的分子是非负数，分母是正数。 （2）被开方数如果是带分数，首先化成假分数。
（3）化成算术平方根的商以后，如果分子或分母的被开方数中有开的尽方的
数或式子要开出来，使结果有理化。
二. 分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化，二次根式的除法通常可采用分
母有理化的方法进行，一般地，
如果
[例2] 将下列各分式分母有理化：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6） ，（2）题是，（6）题先
分析：分母有理化要准确找到各分母的有理化因式，如（1）题是，（3）题是乘以
，（4）题是
，（5）题是
，若相乘后分母还有二次根式，需再一次分母有理化。
解：（1）
（2）
（3）
46
（4）
三. 最简二次根式：
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 [例3] 把下列根式化为最简二次根式。
（1） （2） （3）
（4）
解：（1）
（5）
（2）
（3）
47
小结：把一个二次根式化简成最简二次根式，不外乎以下两种情况： （1） 如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平方根的
性质把它写成分式的形式，如果分母可以完全开得尽方，就把它开出来，如果开不尽方，就利用分母有理化来化简，这样被开方数的因数
就是整数，因式就是整式。 （2） 如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或分解因式，然后利用
积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式
子化简。
[例5] 已知
解：原式
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 判断题：
1. （ ） 2. （ ）
3. （ ） 4. （ ）
5. （ ） 6. （ ）
48
二. 选择题：
1. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列二次根式中最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
3. 化根式为最简二次根式得（ ）
A. B.
C. D.
三. 化简题：
1. 2. 3.
4. 5.
四. 将下列各式分母有理化：
1. 2.
3. 4.
5.
49
五. 将下列各式化成最简二次根式：
1. 3.
2. 4.
5. 6.
7. 8.
六. 解答题：
1.
2.
3.
4.
50
【试题答案】
一.
1. × 2. × 3. × 4. √ 5. × 6. √
二.
1. C 2. B 3. C
三.
1. 2. 3.
四.
4. 5.
1. 2. 3.
4. 5. 五.
1. 2. 3. 4.
5. 6.
六.
7. 8.
1. 2. 3. 解答：
51
4. 15
二次根式的加减乘除混合运算 多边形的内角和、平
行四边形及性质
知识要点 代数：
同类二次根式：
分母有理化有三类：
二次根式的除法运算可用分母有理化的知识解决。
几何：
平行四边形的相关概念：
52
平行四边形的性质定理：
【典型例题】
例1. 计算
（1）
（2）
（3）
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
例2. 将下列各式分母有理化
53
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）
（3）
例3. 求下列各式的值（保留3位有效数字）
（1） （2）
解：（1）
（2）
54
例4. 一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1340°，求这个多边形的边数。
解：设这个多边形的边数为n，这一个外角的度数为x
则 而
答：这个多边形的边数为9。
例5. （1）平行四边形的周长为68，两邻边之差为5，求两邻边的长度。 （2）平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，求两短边的距离。
解：（1）设两邻边中较短边为x，则较长边为
，
∴较长边为19.5，较短边为14.5。
（2）
55
由平行四边形的面积
，得
设两短边的距离为d
则
即两短边的距离为12。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2. 填空
（1）若一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形是__________边形。
56
（2）一个多边形每个顶点取一个外角，这些外角中最多有___________个钝角。 （3）平行四边形的对边___________，平行四边形的对角_________，两邻角
________，平行四边形的对角线________________。 （4）在平行四边形ABCD中，
_____________。
，则
57
【试题答案】
1. 计算
（1） （2）
（3）4 （4）
（5） 2. 填空
（6）
（1）6 （2）3 （3）相等、相等、互补、互相平分 （4）24
二次根式的化简 平行四边形性质的应用
知识结构： 代数：
绝对值
相关知识：不等式的一些性质。
几何： 1.
四边形的性质 平行四边形的性质 ①四条边，四个内角 ①四条边，四个内角 相同之处： ②内角和为360° ②内角和为360° ③外角和为360° ③外角和为360° ④两条对角线 ④两条对角线
不同之处： ①对边平行且相等，对角相等，
邻角互补
②对角线互相平分
2. 夹在两条平行线间的平行线段相等
58
已知
误区一：不知或不说明AB∥CD，就判定AB＝CD 误区二：认为夹在两条平行线之间的所有线段都相等 正确认识：由
3. 平行线间的距离
①定义：
两平行线间的距离是一定值，不随位置的不同而不同。
②应用：平行四边形的高
【典型例题】
例1. 计算：
（1）
（2） （3）
59
解：（1）
（2） ∵ ∴
∴
（3）
∵
∴
例2. 求使下列等式成立的a的取值范围。
（1）
（2） （3）
解：（1） （2）
（3）此题较难，首先应判断出
，∴
，∴
然后观察到右边＝4，说明字母a给消去了，同时只有第一项的2减去第二项的－2
才得4，所以
所以，由
60
再由
综合起来有
例3. 化简
（1）
。
（2）
解：（1）
（2）∵
例4. （2004年，泰安中考题）如图1，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC，BD
相交于点O，OE⊥AC于O，则△DCE的周长为（ ）
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
61
解：∵平行四边形ABCD的对角线互相平分
∴AO＝CO 又OE⊥AC
∴OE在线段AC的垂直平分线上
∴AE＝CE
△DCE的周长C＝DE＋EC＋CD
＝DE＋AE＋CD ＝AD＋CD
又∵平行四边形ABCD的对边相等
∴
∴△DCE的周长为8cm，答案选C。
例5. （2004年，陕西）如图：在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝__________cm。
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
又AD是∠ABC的角平分线
∴∠1＝∠2 ∴∠2＝∠3
∴BC＝CF（等角对等边） 又在平行四边形ABCD中，AD＝BC
∴BC＝AD＝7cm ∴CF＝7cm 同理CD＝AB＝4cm
62
∴DF＝CF－CD＝7cm－4cm
＝3cm
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. （2003年，天津）如图1：O为平行四边形ABCD的对角线的交点，EF经过点O且与边AD、BC分别相交于点E、F，若BF＝DE，则图中的全等三角形最多有（ ）
图1
A. 2对 B. 3对 C. 5对 D. 6对
2. （2004，苏州）如图2，在平行四边形ABCD中，∠A＝125°，∠B＝________
度。
图2 3. 计算：
（1） （2）
（3）
4. 化简：
（1）
63
（2）
（3）
64
【试题答案】
1. D 2. 55° 3. 计算：
（1） （2）
（3）
4. 化简
（1） （2）
（3）
用公式解一元二次方程 平行四边形性质、判定的综
合应用
知识要点： 代数： 1. 一元二次方程：
（1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 2. 一元二次方程的一般形式：
3. 直接开平方法 4. 配方法步骤： （1）移项
（2）方程两边同除以二次项的系数a （3）配方：两边加上一次项系数一半的平方
（4）直接开平方求解 5. 公式法步骤： （1）化成一般形式 （2）找出a、b、c
及相关概念。
65
（3）判定
（4）套用公式
几何：
平行四边形的性质： （1）对边
求出解
（2）对角相等，邻角互补 （3）对角线互相平分 平行四边形的判定： 从边的角度（1）（2）（3）
从角的角度（1） 从对角线的角度（1）
【典型例题】
例1. 用直接开平方法解下列方程。
（1） （2） 解：（1） （2）
即
或
例2. 用配方法解下列方程。
66
（1） （2）
解：（1）①移项，得 ②配方，得
即
③直接开平方，得
（2）移项，得
两边同除以3，得
配方，得
即
直接开平方，得
例3. 用公式法解下列一元二次方程。
（1） （2）
解：（1）化成一般形式
找出a、b、c，a＝6，b＝－3，c＝－4
判定
67
套用公式
（2）化成一般形式
找出a、b、c，a＝1，b＝－4，c＝4
判定
套用公式
例4. 平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，求这个平行四边形各角
的度数。
解：在平行四边形ABCD中，AB＝2AD， 在
这个平行四边形各角的度数分别为
例5. 在平行四边形ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，求另一条对
角线x的取值范围。
中，
68
解：在平行四边形ABCD中，设AB＝8，AC＝6，BD＝x
则
在
中
即
例6. 如图，在平行四边形ABCD中，，求
解：设
过点A作
，垂足为F
则
69
又
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 用适当方法解下列方程。
（1） （3）
（2）
（4） （5）
，求平行
2. 从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为
四边形各内角的度数。
3. 已知，如图，平行四边形ABCD的面积为64cm2，E、F分别为AB、AD的中点，
求
的面积。
70
71
【试题答案】
1. （1） （2） （3）
（4） （5） 2. 3.
复习直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；用因式分解法解一元二次方程 知识要点： 代数
1. 复习一元二次方程
一般形式：
特例：
2. 三种解一元二次方程的方法
3. 用因式分解法解一元二次方程 步骤：（1）先化成一元二次方程的一般式。 （2）因式分解（公式法，提取公因式法，十分相乘法）
72
（3）令每一个因式为0，求出根。
几何
【典型例题】
例1. 判断关于x的方程是不是一元二次方程，如果
是，指出其二次项系数，一次项系数及常数项。
解：首先将方程化成一般式
若，即
时，方程变为
元二次方程。
，是一元一次方程，不是一
若，则为一元二次方程，二次项系数为
，常数项为1。
注意：一元二次方程二次项系数≠0。
例2. 用配方法解
，一次项系数为
73
错解：
正确解法：
注意：配方法要先把二次项系数化成1再配方。
例3. 用公式法解一元二次方程
错解：
74
正确解：
注意：公式法先要把方程化成一般式，注意a、b、c的符号。
例4. 用因式分解法解下列方程。 （1） （2）
（1）错解：方程两边同除以
，得：
正确解：
注：同除以、同乘以一个数或因式，首先要保证它不为0。
（2）
75 或
对比：用公式法解较为繁锁。
例5. 如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知
，求EC的长。
，
解：设
∵四边形ABCD是矩形
由题意，知：
在
在
中，
中，
答：EC的长为
例6. 如图：
。
76
已知：菱形ABCD，F是AB上一点，DF交AC于E。
求证：∠AFD＝∠CBE 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴BC＝CD，∠1＝∠2，AB∥CD
∴∠AFD＝∠CDE 在△CBE和△CDE中
∴∠CBE＝∠AFD（等量代换）
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 当k为何值时，关于x的方程
（1）是一元一次方程？求出解。 （2）是一元二次方程？求出解。 2. 用适当方法求下列方程的解。
（1） （2） （3）
77
（4）
3. 矩形对角线长为10cm，面积为
，求两条对角线所夹的锐角。
4. 已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长是多少？
【试题答案】
1. （1）
（2），当且 2. （1）
时，
（2）
（3）
（4）
3. 60° 4.
78
一元二次方程的根的判别式 菱形的判定、正方形的性质
例4. 已知：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，经过AC的中点O的直线垂直于AC，
分别交BC于E，交AD于F。
（1）试判断四边形AECF的形状，并证明你的结论。
（2）求EF的长及四边形AECF的面积。
解：（1）证明：四边形AECF为菱形
∵矩形ABCD ∴AF∥EC，AO＝CO ∴△AOF≌△COE
∴AF＝EC
∴四边形AECF为平行四边形
又AC⊥EF
∴平行四边形AECF为菱形
（2）设
在
，则
，则
中，由勾股定理，得：
在
中，
79
又
例5. 在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，
如果
，求EF＋EG。
解：∵正方形ABCD
∴AC⊥BD 又EG⊥BD ∴AC∥EG 同理，EF∥BD
∴四边形EFOG是平行四边形
∴EF＝OG 又BD平分∠ABC ∴∠1＝45°
在
中，∠1＝45°
∴∠2＝45° ∴BG＝EG
在
中，
80
由勾股定理得：
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. k为何值时，方程
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根。
2. 已知a、b、c是三角形的三边，判别方程
根的情况。
3. 如图：
的
在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于M，EF⊥
BC于F。
求证：四边形AEFM是菱形。
一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系复习 复习矩
形、菱形、正方形
八年级数学同步辅 2009-08-18 20:10:25 阅读442 评论0 字号：大中小 订阅
代数：一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系复习
几何：复习矩形、菱形、正方形
81
二. 重点、难点： 1. 重点：
代数：根的判别式的正用与逆用；韦达定理的应用。
几何：矩形、菱形、正方形的性质及判定。
2. 难点：
代数：根的判别式的逆用；韦达定理的应用。 几何：矩形、菱形、正方形性质的区别及判定。
［知识要点］ 代数：
1. 一元二次方程
的判别式
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
2. 一元二次方程根与系数的关系
（1）韦达定理：
如果
的两个根是
，那么
。
注意：①一元二次方程，
（2）如果方程
；②有两个根
，那么
。
，
的两个根是
。
（3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
。
几何： 1.
82
名称 矩形 对边菱形 边 角 对角线 面积 邻边乘积 4个角都是直角 对角线相等且互相平分 4条边相等 对角相等，邻角对角线垂直且互相平分，每条对角线乘积的互补 对角线平分一组对角 一半 正方形 4条边相等 4个角都是直角 对角线相等，互相垂直平分，边长的平方 每条对角线平分一组对角 2. 判定： 判定矩形的方法：
（1）有一个角是直角的平行四边形。 （2）有3个角是直角的四边形。 （3）对角线相等的平行四边形。
判定菱形的方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形。
（2）四条边都相等的四边形。 （3）对角线互相垂直的平行四边形。
判定正方形的方法：
（1）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。
（2）有一组邻边相等的矩形。 （3）有一个角是直角的菱形。 （4）既是矩形又是菱形的四边形。 3. 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系
83
【典型例题】
例1. 不解方程，判别下列方程根的情况： （1）
解：（1）
即△＞0
∴方程有两个不相等的实数根
（2）
即△＝0
∴方程有两个相等的实数根
例2. （2004，上海）关于x的一元二次方程
根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
，其
；（2）
解：根的判别式
又△＝1
由题意知：
，即或
为一元二次方程
即为
84
即原方程的根为
例3. （2004，广东）已知实数a，b分别满足
的值。
，求
解：由
由
知a、b是方程
得：
的两个根
由韦达定理，得：
即
又
例4. （2004，重庆）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交
对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（ ）
A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°
解：连结FB ∵EF垂直平分AB
∴FA＝FB
85
又△CDF≌△CBF（SAS）
在等腰△FAD中， 又
∴选D
例5. （2004，河北）如图，将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于
________。
解：过点A作AE⊥BC于E ∵矩形A’BCD’变形为平行四边形ABCD
又
即 在
中，∠B＝30°
∴平行四边形ABCD的一个最小内角为30°
86
例6. （2004年，四川）已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF
⊥AB，垂足分别是E，F且BF＝CE。
求证：（1）△ABC是等腰三角形。
（2）当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论。
证明：（1）在
和
中
即△ABC是等腰三角形
（2）若∠A＝90°，则四边形AFDE为矩形（三个角是直角的四边形为矩形）
又由
，设DF＝DE
∴四边形AFDE为正方形（有一组邻边相等的矩形为正方形）
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
1. 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1） （2）
2. 不解方程判断
3. 若方程
87
根的情况。
有两个实根，求正整数k的值。
4. 若关于x的方程
m的值。
的两根之和与两根之积相等，求
5. 在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形
ABCD的面积为__________
。
6. 如图，在正方形ABCD中，截去∠A和∠C后，∠1＋∠2＋∠3＋∠4等于________。
【试题答案】
1. （1）有两个不等的实根；
（2）无实根
2. 提示：
，∴无实根
3. 提示：（1）由△≥0得：k≤2 （2）由k为正整数，得：k＝1或2 （3）由
得：
4. 由韦达定理，得：
5. 128 6. 540°
一元二次方程的应用 梯形
知识要点：
代数：用列一元二次方程的方法解应用题。
（1）解题步骤：审题；设未知量；找关系列方程；解方程；答题。
88
（2）常见题型：面积问题；平均增长率（降低率）问题；数字问题。
几何：
常见的辅助线添加方法：
（1）移动一腰：
89
（2）从同一底的两端作另一底的垂线：
（3）移动一条对角线：
（4）延长两腰交于一点：
添加辅助线的目的：把梯形问题转化成平行四边形问题或三角形问题。
【典型例题】
例1. （2004，广东）
90
某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份
营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均月增长率。
分析：审题：
设3月份到5月份营业额的平均月增长率为x
列等式：
4月份营业额
5月份营业额
即
解：设3月份到5月份营业额月平均增长率为x
则
解之得：
（不符合题意，舍）
答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%。
例2. 利用墙的一边，再用13米的铁丝网围成三边，围成一个面积为20平方米的长
方形，求这个长方形的长和宽。
分析：AD代表墙，则
解：设AB为x，则
，
91
解之得：
当 当
时，时，
，长为8，宽为。
，长为5，宽为4。
答：这个长方形的长、宽为8，
或5，4米。
例3. 一个两位数等于它个位上的数的平方，个位上的数比十位上的数大3，求这个两
位数。
分析：首先要明白怎样用各个位上的数表示这个数，例如：
２８＝２³１０＋８³１ 十位上的数 个位上的数
解：设十位上的数为x，则个位上的数为
∴这个两位数为
又这个两位数等于个位数的平方
整理，得： 解之得：
当 当
时，十位上的数为2，个位上的数为时，十位上的数为3，个位上的数为
答：这个两位数为25或36。
例4. 在梯形ABCD中，上底AD＝4cm，下底BC＝11cm，∠B＝50°，∠C＝65°，
求腰AB的长。
，这个两位数为25。 ，这个两位数为36。
92
分析：过A作AE∥CD交BC于E，即把腰CD移到AE，ADEC即为一个平行四边
形，把要求的AB放到△ABE中来求。
解：过点A作AE∥DC交BC于E 则四边形AECD为平行四边形
在△ABE中，∠B＝50°，∠AEB＝65°
∴AB＝BE＝7cm 即腰AB的长为7cm
例5. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AC⊥BD，AF是高，梯形的面积是32
求梯形的高AF。
，
分析：由等腰梯形可得两腰相等，又AC⊥BD，AF⊥BC
由面积求高，在本题中只知
，并未出现其他线段的值。
过A作AE∥BD，交CB的延长线于E，得平行四边形AEBD及Rt△ECA。
解：过A作AE∥BD交CB的延长线于E
93
则四边形AEBD为平行四边形
∴EB＝AD 又AC⊥BD ∴EA⊥AC
又梯形ABCD为等腰梯形
∴AC＝BD＝AE ∴△EAC为等腰直角三角形
又AF⊥EC，
设
，则
答：梯形的高AF为
cm。
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
1. 长方形的周长为62cm，面积为210
，求长。
2. 一种药品经两次降价，由每盒60元调至52元，平均每次降价的百分率是多少？ 3. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝5，，∠BCD＝45°，∠
CDA＝60°，求DC的长及梯形面积。
94
4. 如图，AB∥CD，∠C＝50°，∠D＝80°，AB＝4，CD＝10，求BD的长。
【试题答案】
1. 长为21 2. ≈6.9%
3. 提示：过A、B向另一底作垂线
4. 提示：延长CA、DB
二次三项式的因式分解 中心对称和中心对称图形
知识结构： 1. 代数
95
96
2. 几何
97
98
梯形专题
知识要点 1. 等腰梯形的性质 （1）两腰相等；
99
（2）在同一底上的两个角相等；
（3）两条对角线相等；
（4）存在两个等腰三角形，△AOD和△BOC；
（5）等腰梯形为轴对称图形，对称轴为上下底中点的连线；
（6）两腰的延长线的交点在对称轴上，两条对角线的交点在对称轴上；
（7）BE、CF均是上下底之差的一半。
2. 梯形的面积
（1）直接求
（2）间接求
100
3. 对角线互相垂直的等腰梯形
△AOD与△BOC均为等腰直角三角形
【典型例题】
例1. 已知等腰梯形的两条对角线互相垂直，上下底分别为3cm和7cm，求梯形的高
和面积。
101
解：（方法一）
过点D作DE∥AC，则BD⊥ED，四边形ACED为平行四边形
∴CE＝AD，DE＝AC 又∵梯形ABCD为等腰梯形 ∴AB＝CD，AC＝BD
△BDE为等腰直角三角形，BE上的高等于BE边上的中线
∴
∴
（方法二）
（方法三）
102
例2. 已知：AD∥BC，DE＝EC，EF⊥AB于点F，AB＝a，EF＝h，求
。
解：过E作GH∥BA分别交BC，AD的延长线于G，H
由E为DC中点，可证△GCE≌△HDE
∴
∴
例3. 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，E、F分别是AD、BC的中点，
证明EF
解：作EG∥AB，EH∥CD，得EH⊥EG
F为GH的中点，EF为斜边中线
103
∴
∴
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
1. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝7，若E为DC的中点，射线AE交BC
的延长线于F点，求BF。 2. 已知AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝15，AC＝20，求梯形ABCD的面积。
【试题答案】
1. BF＝12 2. S梯形ABCD＝150
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；
知识要点 代数：
1. 二元二次方程的一般形式：
——二次项（a、b、c不能同时为零）
104
——一次项
f——常数项
2. 二元二次方程组
或
3. 解二元二次方程组 基本思想：消元降次
基本方法：代入消元，加减消元法
几何：
1. 平行线段等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其
他直线上截得的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
2. 三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
比例线段；平行线分线段成比例定理 知识结构： 1. 比例线段： 2. 比例中的项：
a：b a—比的前项，b—比的后项
——比例的项
105
3. 比例中项：若，则b叫a、c的比例中项。
4. 比的性质： 比的基本性质：
内项之积＝外项之积
比的合比性质：
（注意：在分子上加分母）
比的等比性质：
5. 黄金分割点
若AC是AB、BC的比例中项，点C叫做线段AB的黄金分割点。
6. 平行线分线段成比例定理：
106
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
7. 平行线分线段成比例定理的推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例。
（1） （2） （3）
【典型例题】
例1. 已知，求
（1）（2）
解：（1）由合比性质
（2），
107
例2. 已知，求。
解：令 则
例3. （1）把30cm长的线段进行黄金分割，求较短的线段。
（2）已知。求。
解：若
，C为黄金分割点，则要求的线段为BC
（2）令
约为分别为
。
，
则
108
例4. 如图，
，求。
解：
例5. 如图，E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于O，
交AD于F。
求证：
。
109
分析：要证，只需证
证明：（1）
（2）
由（1）、（2）得
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 已知，在，中，
长为40cm，求
的周长。
，的周
2. 已知
3. 如图，已知：
，求。 ，
，求AC。
110
【试题答案】
1.
的周长为
2. 3.
（合比性质）
相似三角形的性质及相似三角形的复习
知识结构：
（一）相似三角形的判定
（1）
（2）
（2）
111
或
（4）
（5）
，
112
（二）相似三角形的性质
（相似比为k）
（三）补充的相似三角形的性质
（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方 （2）角平分线分三角形所得比的性质
AD平分
（3）射影定理：
113
在
中，CD为斜边AB上的高
【典型例题】
例1. 如图，
的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长
线与BC延长线相交于F，求证：
证明：过点C作CG//FD交AB于G
114
又
，
，
小结：
本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等
的方法：相似、成比例。
例2. 梯形ABCD，AD//BC，
，，AD＝1，BC＝4，求两条对
角线AC：BD为多少？
解：
设
，
，则
115
在 即 同理，在 即
，则中，，
中，，
①
②
，得：，即
小结：这类题属于计算性的证明求解，需要设未知量，列方程。
例3. 如图，在
中，AB＝15，AC＝10，的平分线交BC于D，过D作AB的平行线交AC于E，求DE。
解：
AD平分
，
，
，即
小结：角平分线分三角形所成比的应用。
116
例4. 已知
，
的三边长分别为
，求第三边。
，
的其中两边分别为1，
分析：若
与△DEF相似，则AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边，则
有关系
解：设
1与
与
，其实还有
的第三边为x
，„„
是对应边，x与2是对应边
的第三边为
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 在
中，AB＝5，AC＝2，AD平分于E，则
与
，交BC于D，DE//AC交AB
的周长之比为多少？面积之比为多少？
2. 直角梯形两底分别为a，b（a>b），短腰的长为c，求对角线的交点到短底及短腰
的距离。 3. 平行四边形ABCD的面积为64，E，F分别是AB、AC的中点，则
等于多少？
4. 在
中，AB＝1，AC＝2，
的面积
于D，求AD，CD。
117
【试题答案】
1. 周长之比为5：7；面积之比为25：49
2. 到短底的距离为 3. 8
，到短腰的距离为
4. ， 期末复习
知识结构 代数
118
一元二次方程根与系数的关系——
根的判别式——
可化为一元二次方程的分式方程的解法——
几何：
多边形——
平行四边形——
矩形——
119
菱形——
正方形——
中心对称及中心对称图形——
梯形——
相似三角形——
比例的基本性质——
120
黄金分割：
若
，则C为AB的黄金分割点。
相似三角形的判定：
相似三角形的性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对
应周长的比，都等于相似比。
四. 典型例题 例1. 计算：
（1）
（2）
121
（3）
解：（1）
（2）原式
（3）原式
例2. 化简求值
（1）已知
，化简
（2）当
解：（1）
时，求
（2）
122
例3. 解方程
（1） （2）
（3）
（4）
解：（1）
123
（2）移项，得
或
（3）令 去分母，得
，则原方程变为
，即或
当时，，即
当
时，，即
检验：把
分别代入
无解
中，都不等于0
是原方程的根
，得
（4）方程两边同乘以
即
检验：把
代入124
把
代入
不是原方程的根
是原方程的根
原方程的根为
例4. （1）判断
（2）已知关于x的方程
解：（1）
根的情况。
的一个根是另一根的2倍，求m。
方程有两个不相等的实数根
（2）设方程的一个根为a，则另一根为2a
由韦达定理
例5. （1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少
，求这个多边形的边数。
（2）已知
解：（1）设这个多边形的边数为n，则
，求。
，即这个多边形为7边形
（2）
125
例6. 已知，如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，
FC，若
（1）
与
交AB于F，连结
是否相似？若相似，证明你的结论。
（2）设，是否存在这样的k值，使得
你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由。
？若存在，证明
解：（1）相似
证明：延长FE交CD的延长线于G
在
与
中
在
与
中
126
（2）若
在
中，ED为斜边上的高
由射影定理，得
即
当时，
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 化简计算
（1）
127
（2）
（3）的整数部分为a，小数部分为b，求
2. 解方程
（1） （2）
（3） 3. 若 4. 已知方程
（4）
，求
。
的一个根是2，求另一根及k。
5. 已知：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，BD平分
（1）求证：
（2）若
，求梯形ABCD的周长。
6. 如图，AD//BE//CF，
，求BE。
128
【试题答案】
1. （1）3 （2） （3）
2. （1） （3）
（4）
（2）
3. 1
4.
5. （1）略 （2）10 6. 8（提示：从A、D向CF作垂线）
期末模拟试卷
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题（3分³10＝30分）
1. 计算的结果是（ ）
D.
A. 4 B. 2 C. 2. 已知 A. 3. 若方程
A. 2 B.
B.
，则a、b的比例中项为（ ） C. 的两根为
，则
D. 5
（ ）
C. 3 D.
4. 若C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB＝1，则AC＝（ ）
A. 0.618 B. C. D.
129
5. 方程 A.
C.
的根为（ ） B.
D.
6. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形为平行四边形 B. 对角线互相垂直且互相平分的四边形为菱形
C. 四边相等的四边形为正方形 D. 有一个角是直角的四边形为矩形
7. 一个多边形的每个外角均为30°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 18 B. 13 C. 10 D. 12
8. 某商品连续两次降价10%后的价格为a元，该商品的原价为（ ）
A. B.
C. D.
，则
9. 在△ABC中，D是AC边上的一点，∠DBC＝∠A，
CD的长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
10. 如图，在梯形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，且AD、BC是方程
的两根，则EF为（ ）
130
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
二. 填空题（2分³9＝18分）
1. 如果
是二次根式，则x的范围为_____________。
2. 正方形的对角线具有而菱形的对角线不具有的性质是
__________________________。
3. 请写出一个既是中心对称又是轴对称的图形_____________。
4. 写出 5. 若方程
中的同类二次根式__________________________。 有两个相等的实数根，则k的值为_____________。
_____________
6. 在实数范围内分解因式：
7. 如图，若∠ABD＝∠C，写出相似的三角形__________________。
8. 若，则_____________
9. 如图，AB＝CD，AD∥BC，AC⊥BD，AO＝1，CO＝2，则梯形ABCD的高为
_____________。
131
三. 计算（5分＋7分＝12分）
1. （5分）
2. （7分）
已知，求
四. 解方程（5分＋7分＝12分）
1. （5分）
2. （7分）
的值。
解
五. 解答题（6分＋7分＋7分＋8分＝28分）
1. （6分）如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AE＝BC。
求证：CE＝FE
132
2. （7分）若关于x的方程
积相等，不解方程求m的值。
3. （7分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，CD＝AD＋BC。
求证：DE⊥EC
的两根之和与两根之
4. （8分）已知：如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠A＝90°，点E在
AB上，ED⊥CD于D，且，若，求BC的长。
133
【试题答案】
一. 选择题。
1. B 2. A 3. C 4. D 5. A 6. B 7. D 8. D 9. C 10. C
二. 填空题。
1.
2. 正方形的对角线相等
与
3. 矩形 4.
5. 0或 6.
7. △ABD∽△ACB
8. 9.
三. 计算。
1. 解：原式
2. 解：
134
四. 解方程。
1. 解：
2. 解：令
整理得：
，则原方程定为
当
时，即
135
∴该方程无解
当
时，即
检验：把
五. 解答题。
1. 分别代入
中，均不为0。
是原方程的解。
证明：∵四边形ABCD为矩形
∴BC＝AD 又AE＝BC，∴AE＝AD
∴∠1＝∠ADE
又∠ADE＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°
∴∠2＝∠3
在Rt△DFE和Rt△DCE中
136
∴Rt△DFE≌Rt△DCE
∴CE＝FE
2. 解：方程
令其两根分别为
可化为
，则
又
∴
，即
3. 证明：找出CD的中点F，连结EF
则
又
又
137
4. 解：过D作DF⊥BC于F，则DF∥AB
∴∠1＝∠3 又∠3＋∠2＝90° ∴∠1＋∠2＝90° 又∵∠2＋∠C＝90°
∴∠1＝∠C ∴Rt△AED∽Rt△FCD
设
，则
又
在Rt△DFC中，
138
即
一元二次方程根与系数的关系；四边形
八年级数学同步辅 2009-08-18 19:25:59 阅读255 评论0 字号：大中小 订阅
暑假专题——一元二次方程根与系数的关系；四边形
二. 重点、难点
重点：一元二次方程根与系数的关系；四边形的内角和、外角和定理；多边形的内角
和、外角和定理。
难点：一元二次方程根与系数的关系；四边形内角和、外角和定理的应用；多边形内、
外角和定理的应用。
知识要点： 代数： 1. 韦达定理
一元二次方程
，如果有实数根（即
），设两实数根为x1，x2，则 引申1：
，
139
引申2：由可判断两根符号之间的关系：
若，则x1，x2同号
若，则x1，x2异号，即一正一负
再由可判断两根大小的关系。
2. 由x1，x2两根可构造的一元二次方程
以x1，x2为根的一个一元二次方程为
几何：
。
【典型例题】
例1. （1）若x1，x2是方程
的两个根，求
，
；
（2）若方程的两个根是x1，x2，求。
解：（1）由韦达定理，得
140
（2）把原方程化为一般式
由韦达定理，得
即
例2. （江西2004中考题）
已知关于x的方程
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根？
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的
平方和。 解：（1）
当
时，原方程无实数根
时，原方程无实数根
（2）当时，即，时，原方程有两个实数根
设方程的两根为x1，x2，则两根的平方和为：
141
在
范围内取m＝1，则
例3. （2004海淀中考）
已知，关于x的一元二次方程
若对于任意一个非零的实数a， 解：设原方程的根为
又
的两个实数根之差的平方为m，
总成立，求实数c及m的值。 ，由题意，知
由韦达定理，
要使对于任意一个非零的实数a，总成立，需中的c＝0
这时
即c＝0时，m＝4
例4. （1）如果四边形的四个内角的度数之比为1：2：4：5，求这个四边形各内角的
度数。
（2）一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。 解：（1）根据题意，设这个四边形的四内角分别为x，2x，4x，5x，根据四边形内
角和定理，则
142
该四边形的四个内角分别为30°，60°，120°，150°。
，设这个外角为x，
（2）设这个多边形的边数为n，则其内角和为
则 又
这个多边形的边数为9。
，由题意，知
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
1. 如果方程
的一根为1，求k及另一根。
2. 设方程的两根分别为x1，x2，求①
（
）
；②
3. 求以3，－1为根的方程。
4. 如果两数之和为7，两数之积为12，求这两数。 5. （1）内角和等于外角和的多边形是几边形？
（2）若一个多边形的每一个内角都相等，且内角和为2340°，求每一个外角。 6. 四边形ABCD中，对角线AC平分
，且AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10，
求AC的长。如图：
143
【试题答案】
1. k＝－7，另一根也为－7
2. ① 3.
；②
4. 两数为3，4 5. （1）4；（2）24°
6. 提示：过C向AB、AD的延长线作垂线，AC＝17
平行四边形 知识结构：
144
【典型例题】
例1. 如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，
求该平行四边形的面积。
145
（2004重庆中考）
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝10 又M是BC的中点
∴BM＝5 又∵AD//BC ∴△AOD～△MOB
又
又AO＋MO＝9
同理DO＝8，BO＝4
在△AOD中，AD＝10，AO＝6，DO＝8
（勾股定理逆定理）
146
又
（SSS）
例2. 如图，平行四边形ABCD，O是对角线AC、BD的交点，EF过点O分别交AD、
CB的延长线于点M、N，求证：四边形DMBN是平行四边形。
证明：连结DN、BM ∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO＝DO，AM//CN ∴∠MDO＝∠NBO 在△DOM和△BON中
（ASA）
∴四边形DMBN是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
147
例3. 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF//BC，交AC于点F。如果EF
＝4，求CD。
（2004北京中考）
解：∵E为AB的中点，EF//BC
∴F为AC的中点
又EF＝4
∵四边形ABCD为菱形
∴BC＝CD ∴CD＝8
例4. 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动
点，求DN＋MN的最小值。
（2004黑龙江中考）
148
解：在BC上取点M’，使CM’＝6
连结NM’ ∵DM＝2，DC＝8
∴CM＝6
又四边形ABCD是正方形 ∴AC平分∠BCD，即∠1＝∠2
又两点之间线段最短 ∴连结DM’交AC于N’
即当N在N’处时，DN＋M’N＝DN’＋M’N’＝DM’
DN＋M’N最小
在Rt△DCM’中，
即当N在N’处时，DN＋MN取到最小值10。
（SAS）
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 口述平行四边形、菱形、矩形、正方形性质的异同点。
2. A、B、C、D在同一平面内，①AB//CD；②AB＝CD；③BC//AD；④BC＝AD，在这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有___________。 3. 矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD上一点，若AE＝AB，求∠EBC的度数。
4. 菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：5，周长为8cm，求菱形的高。
5. 已知：在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使AE＝AB，并且作
BC于F，求证：BF＝EC
交
149
【试题答案】
1. 略
2. ①②/①③/③④/②④ 3. 15° 4. 1cm 5. 略
暑假专题——相似形
二. 重点、难点： 1. 重点：
比例线段的基本概念、性质；平行线分线段成比例定理及推论；相似三角形的概念、
判定、性质。 2. 难点：
比例线段基本性质的应用；平行线分线段成比例定理及推论的理解；相似三角形的判
定、性质的应用。
三. 知识要点：
150
151
【典型例题】
例1. 填空：
（1）如果线段
，那么b、a、c的第四比例项
__________。
（2）如果线段
，且
的比例中项为
，那么线段
__________。
（3）如图，如果∠ADE＝∠C，那么AD²AB＝__________。
解：（1）由题意知：
152
即
（2）由题意知：
即
（3）在△ADE和△ACB中，∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A
∴△ADE∽△ACB
例2. （1）已知，则__________，__________。
（2）若，则__________。
解：（1）由比例的合比性质，
153
（2）由
同理，
例3. 已知：如图，AD²AB＝AE²AC。
求证：△FDB∽△FEC
证明：∵AD²AB＝AE²AC
在△AEB和△ADC中
∴△AEB∽△ADC（两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似）
∴∠B＝∠C
154
在△BDF和△CEF中
∠B＝∠C
∠1＝∠2（对顶角相等）
∴△BDF∽△CEF（两角对应相等，两三角形相似）
即△FDB∽△FEC
例4. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BC＝24，AD＝18，矩形EFGH内
接于△ABC，且EH＝2EF，求矩形EFGH的周长。
解：∵EH＝2EF 设EF＝x，则EH＝2x 设AD与EH交于点O ∵矩形EFGH，∴EH∥FG 又∵AD⊥FG，∴AD⊥EH ∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC
又OD＝EF＝x，AO＝AD－OD＝18－x
155
∴矩形EFGH的周长为：
答：矩形EFGH的周长为
。
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
1. 已知
2. 已知
，且
，则x＝___________。
，则
___________。
3. △ABC中，ED∥BC交AB于D，交AC于E，若AD：DB＝2：3，
，则AC＝___________cm。
4. 已知△ABC中，P、Q分别在BC、AC上，且PQ∥AB，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，
则PC＝___________。
5. 如图，BD＝DC，，EF∥AD，则EG：GF＝___________。
156
【试题答案】
1. 3 2. 8 3. 10 4. 12 5. 1：4
梯形、梯形中位线、三角形中位线、平行线等分线段定理及其2个推论
知识结构
157
158
【典型例题】
例1. 已知一个等腰梯形的高是2m，它的中位线长是5m，一个底角是45°，求这个
梯形的面积和上、下底边的长。
159
解：如图，AD、BC分别为上下底，AB＝CD，∠B＝45°
过A、D分别作AE、DF垂直于BC，垂足分别为E、F，则AE、DF均为梯形的高
∴AE＝DF＝2m
在Rt△ABE中，∵∠B＝45° ∴∠BAE＝90°－∠B＝45°
∴BE＝AE＝2m 同理：CF＝2m 设AD＝x，则EF＝x
又中位线长是5m，∴
∴上底AD＝3m，下底
梯形的面积 答：梯形的面积为
，上底为3m，下底为7m。
例2. 如图，在△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且AE＝2CE，BE、CD交于
点F，又知BE＝8，求EF的长。
160
解：过点D作DM∥AC
∵D是AB中点 ∴M为BE中点
又AE＝2CE，即
∴DM＝CE
∴△DMF≌△CEF（AAS）
∴MF＝EF
答：EF的长为2。
例3. （2004北京海淀中考）
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝120°，
求梯形的面积。
，
161
解：∵∠A＝120°，AD∥BC
∴∠ABC＝60° 又BD平分∠ABC ∴∠ABD＝∠CBD＝30°
又AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC＝30°
在△ABD中，∠ABD＝30°，∠ADB＝30°
∴AB＝AD 过点A作AE⊥BD于E
则E为BD中点
在Rt△ABE中，设
，则
由勾股定理，得：
，即AE＝2
在△BCD中，过点D作DF⊥BC于F
∵∠DBF＝30°
162
答：梯形ABCD的面积为
例4. （上海2004中考）
。
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD＝2，BC＝8，求BE的长。
解：∵EF为折痕，B、D重合 ∴EF⊥BD，BO＝DO，BE＝DE 在Rt△BOE中，∠OBE＝45°
∴∠OEB＝45° ∵△BOE≌△DOE ∴∠OED＝45°
∴∠DEB＝∠DEO＋∠OEB＝45°＋45°＝90°
∴DE⊥BC 过点A作AG⊥BC于G 可证△ABG≌△DCE（HL）
163
答：BE的长为5。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠A：∠B＝3：1，则∠A＝_________，∠B＝_________。 2. 三角形的周长为112cm，三角形三条中位线的比为3：5：6，求三条中位线的长。 3. 等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝10，∠DAB＝60°，求梯形的面积。
4. （黑龙江2004中考）
若等腰梯形的三边长分别为3、4、11，则这个等腰梯形的周长为___________。
5. （昆明2004中考）
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，点E是BC边的中点。
求证：AE＝DE
【试题答案】
1. 135°，45° 2. 12cm，20cm，24cm
3.
4. 29 5. 证明略
164
代数：用提公因式法进行因式分解
学习目标：
熟练应用提公因式法进行因式分解
二. 重点与难点：
重点：用提公因式法进行因式分解
难点：寻找公因式
三. 主要知识点
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式
分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2. 公因式：一个多项式中各项都含有的公共的因式。
3. 用提公因式法进行因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多
项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
4. 怎样寻找公因式：观察法
（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数
（2）公因式中的字母取各项的相同字母，且各字母的指数取次数最低的。
四. 典型例题
例1. 把分解因式
分析：先找出公因式，再提公因式 （1）公因式的系数取6和8的最大公约数2
（2）公因式的字母是：ab
所以公因式为2ab
165
解：
例2. 把分解因式
分析：先找出公因式，再提取公因式
容易发现公因式为x，多项式最后一项x可看成
是1。
，提取x之后，剩下的应
解：
注意：
（1）当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因
式后，该项剩下的应是1。
（2）提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数相等。
例3. 把
分析：在这个多项式的两项中，都含有把b+c看成一个整体m，这样原多项式可化为会分解的，最后再把m变回
分解因式
，与前面例题中的不同，这里可
。这样形式的多项式我们是
。这样就完成了对原多项式的因式分解。这种方法称
为换元法，即把一个式子看成一个整体，最后再变回原来的形式。
解：
166
注意：
由这道题，我们可以得出这样一个结论：公因式可以是单项式，也可以是多项
式。如果是多项式，可用换元法处理。
例4. 把
分析：观察该多项式，两项中均含有是2次方，这里把
因式分解
，在第一项中是3次方，第二项中
，对该多项式
看作整体m，原不等式可化为
提取公因式，分解因式后，再把m还原即可。
解：
注意：
（1）公因式可以是多项式的乘方。
（2）在因式分解的最后结果中，通过合并同类项来保证每一个因式是最简的。
例5. 把因式分解
分析：观察此多项式，发现没有明显的公因式。
167
但同时发现可以提取一个负号，
变成相同的形式
原多项式可化为，对这个多项式分解因式即可。
解：
注意：
（1）当一个多项式没有明显的公因式时，可以通过恒等变形，改变位置等方
法寻找公因式。
（2）这题也可以这样做：
因为
比较两种方法的结果，其实是完全一样的，只是负号的位置不同。
五. 小结
在用提公因式法分解因式时，寻找公因式是关键，首先要明确公因式既可以是单项式，也可以是多项式，还可以是多项式的乘方。如果公因式是多项式或多项式的乘
168
方；可用换元法化复杂为简单。为避免漏项，要检查分解因式的最后结果：提公因式后
的因式的项数应与原多项式的项数一致。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 判断题：下列各式从左到右哪些是因式分解？
（1）（ ）
（2）（ ）
（3）（ ）
（4）（ ）
（5）
二. 将下列各式因式分解
（ ）
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
169
（11） （12）
三. 求值
已知：，求代数式
【试题答案】 一. 判断题
（1）√ （2）× （3）× （4）× （5）√ 提示：因式分解是和差化积，积化和差的是乘法分配律，不是因式分解。
二. 将下列各式因式分解
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
或
170
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
171
三. 求值
分析：代数式中有3个未知数，要求此式的值需知
a、b、c的值。而分析已知条件
所以把a、b、c的值代入求值是行不通的。
但，我们发现
把b+c看成一个整体，上式即可求解
这类题的思路可概括为：当没有足够的条件直接代入求值，可通过因式分解整
体换元来求。
解：
172
代数：用公式法分解因式 几何：关于三角形的一些概念
内容概要：
［代数］用公式法分解因式
1. 平方差公式：
（1）公式特点：左边是平方差的形式，右边是两数和与差的乘积。 （2）符号含义：公式中的符号a、b可以是：任何数、单项式、多项式。 （3）应用公式的条件：多项式可以写成两部分的平方差的形式，即
2. 完全平方公式：
。
（1）公式特点：左边是一个三项式，两个数的平方和加上（或减去）这两数的积的
2倍，右边是这两个数和（或差）的平方。
（2）符号含义：公式中符号a、b可以是：任何数、单项式、多项式。 （3）应用公式的条件：多项式可以写成三部分，符合以下条件：
3. 解题步骤：
（1）观察多项式，如果能提公因式，先提公因式。
（2）观察多项式，只有使多项式符合公式特点，才能利用公式因式分解。
173
（3）在因式分解的结果中，保证每一个因式都不能再分解。
［几何］
1. 三角形基本概念：三角形、边、角、顶点
2. 三角形的三条重要线段： （1）三角形的角平分线
（2）三角形的中线
174
（3）三角形的高 ①锐角三角形
②直角三角形
③钝角三角形
【典型例题】
例1. 将分解因式。
175
分析：式中没有明显的平方差结构，但提取公因式x后，剩下的因式就可以用平方差
公式。
解：
——等价变形
——合并同类项
小结：先提取公因式，再利用平方差公式。
例2. 将
分解因式。
，
分析：该多项式有三部分，但没有明显的完全平方结构。如果提取公因式
就可用完全平方式了。
解：
小结：提公因式与完全平方公式混合使用分解因式。
176
例3. 将
分解因式。
分析：该多项式有三项，二项平方和
，
的积的2倍，符合完全平方差公式。 解：
，另一项是
——要保证因式不可再分解
小结：平方差公式、完全平方差公式混合使用。
例4.
分析：该多项式有二项，符合平方差公式的结构，由平方差公式得
，则
式，可再用完全平方式把因式分解到最简。
都是完全平方
解：
——完全平方式
177
小结：平方差公式、完全平方公式混合使用。
例5. 计算：
分析：这道题可直接计算，但比较繁琐。仔细观察，该式有两项，且是两项的平方差，
所以可用平方差公式因式分解，再计算。
解：
——平方差公式
小结：利用公式因式分解后再计算，可使计算简便。
例6. 判断对错，对的打“√”号，错的打“³”号。 （1）三角形的顶点到对边的距离是三角形的高。（ ）
（2）三角形的高所在直线交于一点，这点不是在三角形内，就是在三角形外。（ ）
（3）过三角形的一个顶点和它对边中点的直线是三角形的中线。（ ） （4）三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。（ ）
（5）三角形的角平分线就是三角形内角的平分线。（ ）
解：（1）³。因为高是一条线段，高的长度才是三角形的顶点到对边的距离。
（2）³ 。锐角三角形的高交于三角形内部。
178
钝角三角形的高的延长线交于三角形外部。 直角三角形的高交于三角形的直角顶点。
（3）³。中线是线段。
（4）√
（5）³。角平分线是线段，不是直线。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 将下列各项因式分解。
（1） （2） （3）
（4）
二. 计算：
（1）
（2）
（3）已知：
，求：
三. 证明题。
（1）求证：
的值。
能被120整除。
能被6整除。
（2）若a为大于1的整数，证明
179
四. 判断题。
（1）三角形的高是一条线。（ ） （2）三条线段组成的图形叫做三角形。（ ） （3）三角形三条高都在三角形内部。（ ） （4）三角形的角平分线是射线。（ ）
五. 解答题。
1. 写出含有AC边的所有三角形，图中共有几个三角形？
2. 已知三角形三边为连续整数，且最小边长既是偶数又是质数，求三边长。 3. △ABD的高与△ABC的高相等，若AB＝4cm，△ABC的面积
ABD中AB边上的高。
，求△
180
【试题答案】
一. 将下列各式因式分解。
（1）
（2） （3） （4）
二. 计算。
（1）原式
（2）原式
（3）
∴原式
三. 证明题。
（1）
故能被120整除
（2）
181
是三个连续整数 是6的倍数 能被6整除
四. 判断题。
（1）³ （2）³ （3）³ （4）³
五. 解答题。
1. 含有AC边的三角形：△AFC、△ADC、△AEC、△ABC，图中共有9个三角形。
2. 既是偶数又是质数的数是2，∴三边长为2，3，4。
3. 在△ABC中，AB边上的高
而△ABD中AB边上的高与△ABC中AB边上的高相等
∴△ABD中AB边上的高为6cm
代数：用分组分解法分解因式 几何：三角形三条边的关系
内容概要：
代数
1. 分组分解法：（本章难点）
把多项式的各项分组，通过提取公因式或运用公式来分解因式的方法称为分组分解
法。
2. 分组分解法的关键：进行恰当的分组，使得分组后能继续分解因式。
3.
型多项式
①二次项系数为1； ②常数项是两个数之积；
③一次项系数是常数项的两个因数之和。 结论1：
结论2：（1）常数项＞0时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同。
182
（2）常数项＜0时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数
符号相同。
4. 配方法：（较高要求）
通过加减项配出完全平方公式把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法。
5. 解题步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解； （4）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
几何
3. 应用：
183
（1）判断三条线段能否组成三角形：关键看较小的两边长之和是否大于第三边长。
（2）判断三角形中边的范围。
【典型例题】
例1. 将
分解因式。
分析：没有公因式，不能用公式，如用分组法，需将括号打开，重新组合。
解：
注意：先打开括号，再重新分组。
例2. （北京市2004年海淀中考题） 将
分解因式。
分析：没有公因式，不能用公式，试着用分组法。
解：
例3. 将
分析：将
——分组 ——提取公因式
因式分解。
，可按
看成一个整体y，原多项式变为
型来分解该多项式，最后再把y换回成mx，这里应用了换元法。
184
解：
例4. 将
分析：将括号打开，在这个过程中，可把
看成整体y，原多项式变为
，把这个多项式括号打开的过程中，我们可以用
的逆运算，得：
再用
型的结论来分解该因式。
解：设
——换元
——的逆运算
185
——还能分解（方法同<1>）
例5. 已知a、b、c为△ABC的三边，化简：
分析：关键是去绝对值符号，去绝对值符号的关键是看绝对值号里的式子是正是负。
根据定理知 根据推论知
所以可以去绝对值了。 解：
例6. 在△ABC中，若
，求第三边c取值范围。
分析：根据定理知，第三边c应小于另两边之和。 根据推论知，第三边c应大于另两边之差的绝对值。
解：
即第三边c的取值范围是
186
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 将下列各式因式分解。
（1）
（2） （3） （4）
（5）
2. 矩形周长是300 cm，两边为x、y，且
面积。
，求矩形的
3. 已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求它的
各边长。
4. 若三角形三边长都是正整数，一边长为4，但不是最短边，求所有满足条件的三角
形的三边长。
187
【试题答案】
1. 将下列各式因式分解。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
188
2. 解：∵x、y为矩形边长
∵矩形周长是300 cm 又
由<1>、<2>得：
∴矩形面积
3. 解：两部分差9cm，当腰比底大9cm时，设底为x cm
则
当腰比底小9cm时，设腰为x cm，则
，∴腰比底小9cm不可能
∴三边长为10cm，10cm，1cm
4. 解：当4为最长边时，则满足条件的三角形边长为：
4，4，3／4，4，2／4，4，1／4，3，2 当4不是最长边时，则满足条件的三角形三边为：
5，4，3／6，4，3／5，4，2
189
分式的加减法 角边角公理的推论，边边边公理。
例6. 如图所示，点C、D在线段BE上，BC=DE，AB//EF，AD//CF，求证：AB=EF。
证明：
190
4. 如图所示，
，求证：BC//EF。
证明：在△ABF和△EDC中，
连结FC，
在△BCF和△EFC中，
191
直角三角形全等的判定及角的平分线
如图，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，AC、BD交于点O，且AC=BD，AE=BF。
求证：OC=OD。
证明：连结AD、BC，
∵AE=BF，∴AF=BE
又∵AC=BD
∴Rt△ACF≌Rt△BDE（HL） ∴DE=CF，∠DBA=∠CAB ∴Rt△AED≌Rt△BFC（HL） ∴∠DAE=∠CBF，AD=BC
∴∠DAO=∠CBO
192
又∵∠AOD=∠COB ∴△AOD≌△BOC（AAS）
∴OC=OD 4. 在BC上截取BD=BF
∵∠A=60°，BE、CF分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠FOB=60°，∠BOC=120° 又∵∠FBO=∠DBO，BO=BO，BD=BF
∴△FBO≌△DBO（SAS）
∴OD=OF，∠BOD=∠BOF=∠COD=60° ∵∠EOC=∠DOC=60°，OC=OC，∠DCO=∠ECO
∴△DCO≌△ECO，（ASA）
∴OD=OE ∴OF=OE
等腰三角形的复习课
已知：B、C、E在同一直线上，△ABC、△DEC是等边三角形，BD交AC于Q，AE
交CD于P，求证： （1）BD＝AE； （2）△CPQ是等边三角形；
（3）PQ∥BC。
分析：（1）证BD、AE所在的△BDC和△AEC全等。 （2）可证CQ＝PC，可通过证△CEP与△CQD全等来证。
193
（3）由△PCQ为等边三角形可得∠QPC＝60°，可通过内错角相等来证PQ∥BC。
证明：（1）∵△ABC，△DEC为等边三角形
∴∠ACB＝∠DCE＝60° 在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS） ∴BD＝AE（全等三角形的对应边相等）
（2）由（1）∠CDQ＝∠CEP（全等三角形的对应角相等）
∵∠BCE＝180°
∴∠QCP＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－60°－60°＝60°
在△CDQ和△CEP中，
∴△CDQ≌△CEP（ASA）
∴CQ＝CP（全等三角形对应边相等）
在△PCQ中，∠PCQ＝60°
∴△PCQ为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
（3）∵△CPQ是等边三角形
∴∠PQC＝60°（等边三角形的每一个角都是60°）
∴∠PQC＝∠BCQ
∴PQ∥BC（内错角相等，两直线平行）
例4. 如图：AB＝AC，BC∥DE，AD、AE分别交BC于点G、H，∠ADE＝∠AED。
194
求证：BG＝CH
证明：∵BC∥DE
∴∠1＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）
同理，∠2＝∠AED 又∠ADE＝∠AED ∴∠1＝∠2（等量代换） ∴AG＝AH（等角对等边）
过点A作等腰三角形ABC底边的高线AO ∴BO＝CO（等腰三角形底边的高与底边的中线重合）
∵AO⊥GH ∴GO＝OH（同上） ∴BG＝CH（等量代换）
勾股定理及逆定理的综合应用
如图所示，在四边形ABCD中，
CD=1，求四边形ABCD的面积。
，若AB=2，
195
分析：不规则四边形求面积，可利用分割法来求。
解：过B作
，在Rt△ABE中，
又四边形CDEF为矩形
在Rt△BCF中，
196
例5. 在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，求证：
。
分析：构造直角三角形，才可能出现边的平方的关系。
证明：（1）如果
，
在Rt△ABP中，
197
故结论得证
（2）如果AP不垂直于BC，作BC边的高AD。
在Rt△APD中， 在Rt△ACD中，
3. 如图所示，在四边形ABCD中，AB=4，BC=13，CD=12，AD=3，
求四边形ABCD的面积。
198
，
，利用割补法
代数：二次根式的除法 几何：三角形及三角形全等的复习
知识结构 代数：
几何：
199
判定三角形全等的5种方法
【典型例题】
例1. 计算
（1） （2）
分析：带分数化成假分数
解：（1）
（2）
例2. 把下列各式的分母有理化
200
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）
（3）
例3. （1）如果三角形的三边长分别为3，4，
，求a的取值范围。
（2）等腰三角形的一个外角是110°，求底角。
解：（1）（利用三角形三边的关系）
即
答：a的取值范围是：
（2）分两种情况讨论： ①若AB=AC，
∴底角=180°-110°=70°
201
②若AB=AC，
由外角和定理，得
即底角为55°。
答：底角为70°或55°。
例4. 如图所示，AB=CD，AC=BD，求证：OB=OC。
思路分析：要证OB=OC
202
证明：在△ABC和△DCB中，
例5. 如图所示，在△ABC中，D是BC边的中点，
分别是
，垂足
，且BE=CF。求证：△ABC为等腰三角形。
思路分析：要证AB=AC
证明：∵D是BC边的中点
∴BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
203
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 计算
（1） （2） （3）
（4） （5）
2. 把下列各式的分母有理化
（1） （2）
（3） （4）
3. （1）一个三角形的两边长分别是2和4，且第三边为奇数，求第三边长。 （2）一个三角形的两边长分别是2和4，且第三边为偶数，求第三边长。
4. 已知命题：
（1）三角形内角中至少有两个锐角；
204
（2）三角形三个内角中至少有一个钝角；
（3）等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为70°；
（4）一个三角形中，至少有一个角不小于60°； （5）钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°。
其中真命题的个数是几？
5. 如图所示，AB=AD，CB=CD，且AC、BD相交于E点。
求证：（1）DE=BE；（2）
205
【试题答案】
1. （1）； （2）； （3）；
（4）； （5）
2. （1） （2）
（3） （4）
3. （1）3；5；（2）4 4. （1）（4）共2个正确。 5. 证明：
∴A在BD的垂直平分线上 ∵CB=CD
∴C在BD的垂直平分线上 ∴AC垂直平分BD ∴DE=BE，
代数：二次根式 几何：勾股定理及其逆定理
知识要点］ 1. 代数
2. 几何
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系
角形是直角三角形。
，那么这个三
206
功能：已知三角形的三边长，来判定此三角形是否为直角三角形。
方法：比较较小的两边长的平方和与最大边的平方
若相等，则为直角三角形。 若不等，则不为直角三角形。
【典型例题】
例1. 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义：
（1）
（4）
；（2）；（3）；（5）
分析：二次根式有意义要求被开方数大于或等于0。
（1）要使有意义，需，即
当时，有意义。
（2）要使有意义，需 由<1>得： 由<2>得：
∴当时，有意义
（3）要使
有意义，需
207
由<1>得： 由<2>得：
由<3>得：
综上，
（4）要使
时，有意义，需
有意义。
与
均有意义
即
∴当
（5）要使
时，
， 有意义
，而x取任意值时，
有意义
有意义，需 ∴当x为任何值时，
例2. 把下列非负数写成一个数的平方的形式。
（1）8 （2） （3）
解：（1）
（2）
（3）
例3. 在实数范围内分解因式。
（1）
（2）
分析：（1）两项，可看成平方差。
208
（2）三项，可看成完全平方差。
解：（1）
（2）
例4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，
AC＝6cm，MB＝2MC，求AB的长。
209
分析：题目中出现垂直平分线，要想到利用垂直平分线的性质，所以连结AM，可得
AM＝BM，又BM＝2MC，如果能求出BC长，根据勾股定理，即可求出AB。
解：连结AM ∵MN是AB的垂直平分线
∴AM＝BM（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
设
在
中，
，则
在
中，
例5. 已知三角形的三边长分别是
（n为自然
数），试猜想△ABC是不是直角三角形。若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由。 分析：已知三角形三边长，判定该三角形是否为直角三角形，只需判断较小两边的平
方和是否等于最长边的平方。
证明：
210
又
∴△ABC为Rt△
例6. 在△ABC中，若
，高
，求△ABC的周长。
分析：该题的关键是如何画出符合条件的图形，考察的是发散思维。
解：若图形如（1）
在 在
∴△ABC的周长为
中，中，
211
若图形如（2）
在 在
∴△ABC的周长为
综上，△ABC的周长为42或32。
中，中，
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 填空题。
1. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长为___________。 2. 已知一个等腰三角形的周长是16，底边上的高是4，则它的底边长是___________。
3. 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是___________。
4. 当在实数范围内有意义时，x的取值范围是___________。
二. 在实数范围内分解因式：
（1） （2）
212
三. 解答题。
如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，AD⊥BC，求
。
【试题答案】
一. 填空题。 1. 5或
2. 6 3. 直角三角形 4.
二.
（1）
（2）
三.
213
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