成都树德中学2016数学试卷

成都市树德中学2016年自主招生考试数学试卷

注意事项：

1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.

2.答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚，请考生按规定用笔将所有试题的答案涂写在答题卷上，在试卷上作答无效。

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

221.已知a、b满足a2a50,b2b50，且ab，则

ba++3的值是（） ab（A）

1122（B）—（C）（D）—5555

2.若关于x的不等式组xm0的整数解共有4个，则关于x的一元二次方程

72x1x28xm0的根的情况是（）

（A）.有两个不相等的实数根（B）.有两个相等的实数根 （C）.没有实数根（D）.有一个实数根

3.边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点过P作

EF//AC，分别交正方形的两条边于点E、F.设BPx,BEF的面积为y，则能反映

出y与x之间关系的图像为（）

4.如图，圆O1的半径为3，O2的半径为1,两圆外切于点P；从O1上的点A作O2的切线AB，B为切点；连接AP并延长，与圆O2交于点C,则

AB( ) AC（A）

1433（B）（C）（D） 25525.如果a+b—2a1—4b2=3c3—

1c—5，则a+b+c的值是（） 2 1

（A）2 （B）20 （C） 6 （D）25

6.如图，一根木棒AB长为8，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，与地面的倾斜角ABO60，若木棒沿直线NO下滑，且B端沿

AAOM向右滑行，则木棒中点P也随之运动，已知A端下滑到A时，

=4342，则木棒中点P随之运动到P所经过的路线长为（） （A）

1

11163242(31)（B）（C）（D）2 313520142201520162016220172018（） 7.定义n!1234n则

2015!2017!（A）

11111111（B） 2011!2012!2016!2017!2012!2013!2016!2017!11111111（D） 2013!2014!2016!2017!2014!2015!2016!2017!（C）

8.已知相互垂直的直线l1:k12k1与l2:k223k2交于点P,O为坐标原点，则OP的最大值是（）

（A）13（B）32（C）429（D）221

9.如图所示，、分别表示ABC的外心与内心，已知OIB30则BAC( )

（A） 30（B）45（C）60（D）75

10.若实数x、y满足关系式2xyxy2，则xy的最小值为（） （A）35（B）35（C）843（D）843

22a2b2c2，11.已知函数ycosx，a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边，且则下列不等式一定成立的是（）

（A）cos(sinA)cos(cosB)（B）cos(sinA)cos(sinB) （C）cos(cosA)cos(sinB)（D）cos(cosA)cos(cosB)

12.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、

y轴的正半轴上，且OA4,OC2，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边

2

OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交于OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则

下列结论：AGCH;GH10;直线GH的函数关系式335yx；梯形ABHG的内部有一点P，当P与HG、GA、

44AB都相切时，P的半径为

1，其中正确的有( ) 2

（A）1个（B） 2个（C） 3个（D） 4个

第卷（非选择题，共90分）

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。 13.已知抛物线y12x(b2)x2b2向右平移2个单位后得到抛物线,经过点2A(4,0）设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴上确认一点D，使得ADCD的最大值，则D点的坐标为_________.

14.端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯。某校数学情趣小组调查了4位同学， 他们的口味各有偏好，其中：小军只爱吃肉馅粽子，小丽只爱吃糖馅粽子，小童只爱吃豆沙馅粽子，小雨只爱吃枣馅粽子；现在桌子上有四只外表和重量完全一样的肉馅、糖馅、豆沙馅，枣馅粽子各一只，让四个同学各选一只，则所有同学拿到的都是自己不喜欢的口味的粽子的概率是___________。

15.设函数

y1和y2是定义在同一个取值范围axb上的两个函数，当函数y1y20在

axb上有两个不同的解，则称函数y1和y2是在axb上是的“关联函数”，若

，则m的取值范围是——————. y1x2mx4和y22xm在0x3上是“关联函数”

16.直角三角形

ABC的两直接边AB、BC分别为4、6，其内部一点O与两边距离均为2,P

222在以O为圆心，1为半径的圆上运动，则PAPBPC的最小值是——————————。 三、解答题：共6题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卡上指定区域内.

17.（本题满分10分，每小题5分）（1）已知锐满足sin12sincos2cos20，

求（(tan2sin451)1tan1882的值.

3

x4tx212，求t的值. (2)已知x4x10,且32xtx22x2

18.(本题满分12分)

“数学王子”高斯（Gauss）流传着许多故事，其中他十岁的时候快速计算1+2+3+99+100最广为人知，他的算法是

(1100)(299)(398)(992)(1001)=

2101100=5050 2（1）我国古代数学文献中有早已多次出现过这种算法，比如《张邱建算经》中“织女问题”；《九章算术》“均输”一章的“金箠”，“竹九节”，“五人分钱”问题；《周髀算经》中的“七衡图”等，其中《张邱建算经》中的“织女问题”如下：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”

（2）在现代生活中，仍要用这种算法：初三同学参加毕业照的拍摄，假设某校两个毕业班的师生共100人拍毕业照留念，摄影师要求排列成前多后少的梯形阵（不少于三排），且要求各行人数必须是连续的自然数，这样才能使最后一排的每个人都站在前一排两人间的空档处，请替排队组织者计算，满足摄影师要求的排法的方案有多好种？每种方案各有几排，人数最少的最后排有多少人？

19.(本题满分12分)

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,

4

以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C,构成ABC,设ABx. （1）若ABC为直角三角形，求x的值； （2）探究：ABC的最大面积？

20.(本题满分12分)

新信息一：设ABC的三边BC、CA、AB长度分别为a、b、c，则

a2b2c22bccosA,b2c2a22cacosB,c2a2b22abcosC，我们称其为

余弦定理，可见勾股定理是其特殊情况；

新信息二：180，则coscos，即两角互补，它们的余弦值互为相反数. 根据以上的信息完成下列问题. (1)已知平行四边形ABCD,两对角线长为AC、BD,求证：

AC2BD2AB2BC2CD2DA2;

(2)设ABC的BC边上的中点为M，推导其中线AM的长度m的公式（即用a,b,c表示出m）；

(3)已知ABC的两边b4,c3，且BC边上的中线AM的长度m3，求cosBAC.

21.(本题满分12分)

如图1,等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB//AC,O为坐标原点，

OAABBC,AOC60,连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点. (1)连接PA、PE，求证：PAPE;

(2)连接PC,若PCPE23,试求AB的最大值；

5

（3）在（2）的条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，-1）,点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与

NC为梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当M钝角三角形时，求m的范围.

22.（本题满分12分）

已知函数yxbx的图像与函数y(x4)(x6)的图像关于直线x2对称，将

2yx2bx的图像向上平移4个单位得到的图像为抛物线C.直线ykx(k0)与抛物线C交于两个不同的点A、B，与直线l:y2x8交于点P，分别过A、B、P作x轴的垂线，设垂足分

别为A1、B1、P1. (1)求

OPOP11的值； OA1OB1(2)求AA1BB1的取值范围.

(3)若存在两个不同的k值，使AA1BB1m，求m的取值范围.

6