善教者必有善学者 人教版六年级数学上册知识点归纳
第一单元
分数乘法
一、分数乘法
(一)分数乘法的意义：
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加 数的和的简便运算。
例如：65×5表示求5个65的和是多少?1/3×5表示求5个
1/3的和是多少?
2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。
例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。
4×3/8表示求4的3/8是多少.
(二)分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不
变。(整数和分母约分
)
2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的 积做分母。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数
化成假分数再进行计算。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，
不会约分的就不约，常考的质因数有
13=169；17×17=289；19×19=361）
4、小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化 成小数再计算（建议把小数化分数再计算）
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姓名__________
再计算。（尽量约分，
11×11=121；13× 。
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(三)乘法中比较大小的规律
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一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积小于这个数。
一个数(0除外)乘1，积等于这个数。
(四)分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：
二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法)，即求单位“1”的几分之几是多少)
1、画线段图：
3、写数量关系式的技巧：
例如：甲数是
（比少）：单位“1”的量×(1-分率)=具体量； 4、看分率前有没有多或少的问题； 式：
分率前是“多或少”的关系
20，甲数的
1/3是多少？列式是：
20×1/3
(1) “的”相当于“×”，“占、”“相当于“”是”、“比”是“=” (2) 分率前是“的”字：用单位“1”的量×分率=具体量 2、找单位“1：”单位“1”在分率句中分率的前面； 或在“占、”“是、”“比“相”当于”的后面。 一的量，注意两条线段的左边要对齐。 画一条线段图。
(2)部分和整体的关系：
(1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位
(a+b)×c=ac+bc (a×b)×c=a
×(b×c)
a×b=b
×a
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例如：甲数是
列式是：50×（1-1/2）
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50，乙数比甲数少 1/2，乙数是多少？
（比多）：单位“1”的量×(1+分率)=具体量
例如：小红有
列式是：50×（1+3/5）
3、求一个数的几倍是多少：用
4、求一个数的几分之几是多少：
5、求几个几分之几是多少：用几分之几×个数
(1) 、单位“1”的量×(1-分率)=另一个部分量（建议用）
(2) 、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量
例如：教材15页做一做和16页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字“其中”） 6、求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量 的方法：
用一个数×几分之几。 一个数×几倍；
30元钱，小明比小红多
3/5，小红有多少钱？
第二单元 位置与方向（二）
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一、确定物体位置的方法：1、先找观测点；2、再定方向（看方向夹角的度数）；3、最后确定距离（看比例尺）
二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。
三、位置关系的相对性：1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。四、相对位置：东
第三单元分数除法
--西；南--北；南偏东--北偏西。
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一、倒数
倒数不能单独存在。
1、倒数的意义：
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乘积是1的两个数互为倒数。
强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，
(要说清谁是谁的倒数
)。
2、求倒数的方法：
(1) 、求分数的倒数：交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数：把整数看做分母是 1的分数，再交换分子分母的位置。
(3) 、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
(4) 、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。
3、1的倒数是
1；因为1×1=1；0没有倒数，因为
何数都得0，(分母不能为
0)
4、真分数的倒数大于
1;假分数的倒数小于或等于
的倒数小于
1。
5、运用，a×2/3=b×1/4求a和b是多少。
把 a×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒数和求1/4的 倒数。
1、分数除法的意义：
乘法：
因数
×因数
=积
除法：
积÷一个因数
=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和
其中一个因数，求另一个因数的运算。
例如：1/2÷3/5意义是：已知两个因数的积是
个因数3/5，求另一个因数的运算。
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0乘任1;带分数
与其中一
1/2
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2、分数除法的计算法则：
除以一个不为
3、分数除法比较大小时的规律：
(1) 当除数大于1，商小于被除数;
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0的数，等于乘这个数的倒数。
(2) 当除数小于1(不等于0)，商大于被除数;
(3) 当除数等于1，商等于被除数。
二、分数除法解决问题
例如：公鸡有20只，是母鸡只数的 1/3，母鸡有多少只。（单
位一是母鸡只数，单位一未知
为：X×1/3=20
(2) 算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法：
即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
例如：公鸡有20只，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只。（单
位一是母鸡只数，单位一未知，）用除法，列式是：20÷1/32、看分率前有没有比多或比少的问题；
分率前是“多或少”的关系式：
（比少）：具体量÷(1-分率)=单位“1”的量；
.）解：设母鸡有X只。列方程
解：设未知量为 具体量
X（一定要解设）
,再列方程
用X×分率=
1、解法：(1)方程： 解答。
根据数量关系式设未知量为
X，用方程
“[]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中 括号，要先算小括号里面的，
再算中括号里面的。
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例如:桃树有50棵，比苹果树少
列式是：50÷（1-1/6）
（比多）：具体量
例如:一种商品现在是
列式是：80÷（1+1/7）
列式是：15÷20=15/20=3/4
例如:男生有 几分之几。
20人，女生有
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1/6，苹果树有多少棵。
÷(1+分率)=单位“1”的量
80元，比原价增加了
1/7，原价多少？
3、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 另一个数，结果写为分数形式。
用一个数除以
15人，女生人数占男生人数的
4、求一个数比另一个数多几分之几的方法：
另一个数（比那个数就除以那个数）
一个数（比那个数就除以那个数）
5、工程问题：把工作总量看作单位“1”合做多长时间完成一，
例如：一项工程甲单独做要
成，甲单独做要
3天完成，三人合做几天可以完成？列式：
5天完成，乙单独做要
10天完
项工程用1÷效率和，即1÷（1/时间+1/时间），（工作效率=1/ 时间）
例如：3比5少几分之几？（
5－3）÷5=2/5
，结果写为分数形式。
例如：5比3多几分之几？（
5－3）÷3=2/3
÷另
，结果写为分数形式。
用两个数的相差量÷单位“1”的量=分数
即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数）
÷
②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数）
说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。
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1÷（1/5+1/10+1/3）
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第四单元
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(一)比的意义
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1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
值。
例如
用小数或整数表示
也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。
例：
表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是
小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形 式。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数
路程÷速度=时间。
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。 例：长是宽的几倍。 15 前项
∶ 比号
10 后项
＝
3/2 比值
)
15：10=15÷10=3/2(比值通常用分数表示，也可以
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后 面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比
6、 比和除法、分数的联系：
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比 除法 分数
前项 被除数 分子
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比号“：” 除号“÷” 分数线“—”
后项 除数 分母
比值 商 分数值
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个 数，比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为
0。
10 、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分）
例如：15∶10＝15÷10＝15／10＝3/2(二)比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数
外)，比值不变。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数， 这样的比就是最简整数比。
(0除
外 )，商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变。
(0除
9、体育比赛中出现两队的分是 形式，不表示两个数相除的关系。
2：0等，这只是一种记分的
4. 化简比：
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(2)用求比值的方法。注意：
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最后结果要写成比的形式。
例如：15∶10=15 还可以15∶10=15
÷10=15／10＝3/2=3∶2
÷10=3/2
最简整数比是3∶2
用
一份就是25÷5=5糖有1份就
5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简 和求比值，结果没有单位。
6、按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这 种方法通常叫做按比例分配。 一般有两种解题法
用分率解：按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分 率。要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最 后再用总量分别乘几分之几。
例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？ 1+4=5
糖占1/5
用25×1/5得到糖的数量，水占4/5
25×4/5得到水的数量。
用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分 别求出几份是多少。
例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？ 糖和水的份数一共有 是5×1
1+4=5
水有4分就是5×4
第五单元 圆的认识
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一、认识圆形
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的
一点，这一点叫做圆心。一般用字母
O表示。它到圆上任意
一点的距离都相等
.
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般
用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的 半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一
般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。 所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的
2倍，半径的长度
是直径的1/2。用字母表示为：
d=2r或r=d/2
8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的 图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这
条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些 图形都是轴对称图形。
10、只有
1条对称轴的图形有：
角、等腰三角形、等腰梯
形、扇形、半圆。只有
2条对称轴的图形是：
长方形；只有 3条对称轴的图形是：等边三角形；只有4条对称轴的
图形是：正方形;有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
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11 、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。
二、圆的周长
2、圆周率实验：（滚动法）在圆形纸片上做个记号，与直尺
0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，得到圆的周长。或者用线
围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长（测绳法）。发现，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固
定数即３倍多一点，我们把它叫做圆周率用字母π表示。
3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固
一般取π≈3.14。
4、圆的周长公式：
C=πd
(1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，
示d=C
C=2πr
(2) 、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍，
÷π或圆的周长等于２乘圆周率乘半径，
用字母表示
用字母表
圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示
(2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是 倍。
3.14
(1)、一个圆的周长总是它直径的
3倍多一些，这个比值是一
定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π
第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
(pai)
表示。世界上
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 表示。
用字母C
个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，
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用字母表示
方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
(1) 、周长的一半：等于圆的周长÷2
计算方法：2πr÷2即C半=πr
r=C
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÷2π（r=C/2π）
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形 的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长
(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。
半圆的周长=5.14
2、圆面积公式的推导：
(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 表示。 r+2r=5.14r） 三、圆的面积
r（推导过程
计算方法：
C半=2πr÷2+d=πr+d=π
用字母S
数越多，拼成的图像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。
(2) 拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积
所以：圆的面积
=圆周长的一半
×圆的半径
=长×宽
圆的半径
=
长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
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半径
半径的平方
2
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直径 周长 →
r
2
面积
=S圆÷π
R表示，内 即S圆=Ｃ÷2×r＝πr×r＝πr 圆的面积公式：S圆=πr
4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母 2
圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度.)
S环=
πR2-πr2或环形的面积公式：S环=
π(R2-r2)用这个公式）。
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或 缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方
倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大
3倍，那么直径和周长就都
扩大3倍，而面积扩大
3的平方倍得到
9倍。
6、两个圆：
半径比
=直径比
=周长比；而面积比等于这
比的平方。
例如：两个圆的半径比是
2∶3，那么这两个圆的直径比和周
长比都是2∶3，而面积比是
4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，
即：4∶π
8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正 方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的
周长最长，正方形居中，圆的周长最短。
9、常用各π值结果：π
=3.14；2π=6.28 ；5π=15.7
10、外方内圆（内切圆）公式S=0.86r2
推导过程：S=S正-S
圆=d2
-πr2
=2r×2r-πr2=4r2-πr2=r2×(4-π)=0.86r2
新
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（建议
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 7.5
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 2.25 6.25 12.25 20.35 30.25 56.25
2
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2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 5 7 9 11 15
6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 43.96 50.24 56.52 62.8 9.42 15.7 21.98 28.26 34.54 47.1
2
3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 153.86 200.96 254.34 314 7.065 19.625 38.465 63.585 94.985 176.625
2
11、外圆内方（外切圆）公式S=1.14r推导过程：S=S圆-S正=πr-dr/2×2=2r×r/2×r=πr-2r=r×(π-2)=1.14r（把正方
形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是
半径）
12 、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。
13 、S扇=S圆×n/360；S扇环=S环×n/360
2
2
2
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14 、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。 15 、常见半径与直径的周长和面积的结果。
第六单元 百分数一、百分数的意义和写法第17页共24页
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（一）、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。 百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
（二）、百分数和分数的主要联系与区别：
联系：都可以表示两个量的倍比关系。
区别：①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不
能表示具体的数量，所以不能带单位
;
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数
;
分数的分子不能是小数，只能是除
0以外的自然数。
3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读作百分之。二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位 （数位不够用
补足），同时在后面添上百分号。
2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用 补足），同时去掉百分号。
(二)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是 100的分数，能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数：
①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是 100
的分数，再写成百分数形式。②先把分数化成小数 (除不尽时，
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0
0
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1、常见的百分率的计算方法： (三)常见分数小数百分数之间的互化； 通常保留三位小数 法）
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)，再把小数化成百分数。 （建议用这种方
三、用百分数解决问
(一)一般应用题
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，
出米率、出油率达不到 100%，完成率、增长了百分之几等 第19页共24页
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可以超过100%。
例如：例如:男生有20人，女生有 善教者必有善学者 善学者必能赢未来
2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个 数，结果写为百分数形式。
15人，女生人数占男生
人数的百分之几。
列式是：15÷20=15/20=75﹪
3、已知单位“1”的量(用乘法)，求单位“1”的百分之几是多少 的问题，数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同： (1) 百分率前是“的”：单位“1”的量×百分率=百分率对应量
(2百分率前是“多或少”的数量关系：
单位“1”的量×(1±百分率)=百分率对应量
4、未知单位“1”的量(用除法)，已知单位“1”的百分之几是多
少，求单位“1。”方法与分数的方法相同。
解法： (1)方程：
根据数量关系式设未知量为
X，用方程解答。
(2) 算术(用除法)：百分率对应量÷对应百分率=单位“1”的 量 5、求一个数比另一个数多
(少)百分之几的方法与分数的方法
相同。只是结果要写为百分数形式。看百分率前有没有比多
或比少的问题；
百分率前是“多或少”的关系式：
（比少）：具体量÷(1-百分率)=单位“1”的量；
例如:大米有50千克，比面粉树少
50﹪，面粉有多少千克。列式是：50÷（1-50﹪）
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（比多）：具体量
÷(1+百分率)=单位“1”的量
例如:工人做110个零件，比原计划多做了 10﹪，原计划做多
少个？
列式是：110÷（1+10﹪）
6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的 方法相同。
用两个数的相差量÷单位“1”的量=百分之几
即①求一个数比另一个数多百分之几：用（大数–小数）
另一个数（比那个数就除以那个数）
，结果写为百分数形式。 甲比乙多几分之几的问题，方法
A，（甲-乙）÷乙（建议用）
方法B，甲÷乙-100﹪
例如：老师计划改 40本作业，实际改了 50本，实际比计划
多改了百分之几？
列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪ ②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数）
一个数（比那个数就除以那个数）
，结果写为百分数形式。 乙比甲少几分之几的问题，方法
A,（甲-乙）÷甲（建议用）
方法B，100﹪-乙÷甲
例如：张三家用了100度电，李四家用了90度电，李四家比张三家少用百分之几？
（ 100－90）÷100=0.1=10﹪
说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。
7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之几，用a﹪÷（1±a﹪） 第21页共24页
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÷
÷另
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8、求价格先降
善教者必有善学者 善学者必能赢未来
a﹪又上升a﹪后的价格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）
（假设原来的价格为“1”。求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用
一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分
数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。 1-降价后又上升的百分率。
第七单元 扇形统计图
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二、常用统计图的优点：
善教者必有善学者 善学者必能赢未来
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇
角度数的百分比。
四、应用：1.会观察统计图。
2、你得到什么数学信息？
回答①、***占总体的百分之几；
②、**占的百分比最多，
1、每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的
积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。
1+3=21+3
2
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清 晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间 的关系。（要在统计图上写出百分率）
形的圆心角的大小有关， 圆心角越大，扇形越大。(因此扇形
面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周
)
**占的百分比最少；
**和**一共占百分之几。
3、你还能提什么数学问题：
数学广角 数与形
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+5=31+3+5+7=4
数个数的平方。
2
2
善教者必有善学者 善学者必能赢未来
得出：从1起连续奇数的和等于奇
2、从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数 （即
（n+n），或等于偶数个数乘比偶数个数大 2
1的数即n×（n+
1）。
3、
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