课前预习
华盛顿的傍晚
亲爱的小朋友们：
“在那山的那边海那边的的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下： 两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即
（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a＋b）÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a＋b＝c
2
2
2
2
点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。
把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半得成三、四、五．
三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．
汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．
句股各自乘，并，而开方除之，即弦． 勾股定理的证明：
（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： _ A_ D卿一矩,环而共盘.
12_ BS正方形ABCDabc24ab2 222abc. _ C （2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： HG12S正方形EFGHc2ab4ab2 a2b2c2.EF （3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： S梯形ABCD(ab)(ab)112abc2 222a2b2c2. 知识框架
勾股定理:直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
勾股定理实际上包含两方面的内容：
1如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方； ○
② 如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形． 勾股数：
BacAbC满足a +b=c的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 弦图：
EFHG222重难点
1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 3.勾股定理与弦图的联系与应用
例题精讲
【例1】五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
7252024252420242520724201571525(D)(B)(C)(A)A B C D
15715
【巩固】如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A. 7,24,25 B. 3
【例2】已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时
11111,4,5 C. 3,4,5 D. 4,7,8 22222的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_________ A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40海里
【巩固】一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.
【例3】有一大一小的两个正方形（如下图），对应边之间的距离都是1厘米，如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？
A 东
北 南
【巩固】四个完全一样的长方形木板，拼成如图的正方形，大正方形周长32厘米，小正方形周长8厘米。求：每块长方形木板的面积和周长。
【例4】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为
【巩固】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm。
【例5】已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且 ∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
A B
7cm B 2
C D A D
C
【巩固】刚刚从地平线升起，巴河姆就在草原上大步朝东方走去，他走了足足有10俄里才左拐弯，接着又走了许久许久，再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时，他发现天色不早了，而自己离出发点还足足有17俄里，于是改变方向，拼命朝出发点跑去，在日落前赶回了出发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？
【例6】下图将矩形ABCD分成18个大小相等的正方形,E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD的边上,且是某个小正方形的顶点,若四边形EFGH的面积为1,则矩形ABCD的面积为( ) (A)
18932 (B) (c) (D) 11229
【巩固】如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( ) （A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5
DACB
【例7】四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图）如果小正方形的面积是1平方米，大正方形的面积是5平方米，那么直角三角形中，最短的直角边长度是 米。
【巩固】若把边长为1的正方形ABCD的四个角剪掉,得一四边形A1BlClDl,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的
【例8】如右上图所示，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，求阴影部分与正方形ABCD的面积之比。
5,请说明理由.(写出证明及计算过程) 9AAHDHDEEGGOQBBFCFPC
【巩固】若E、F、G、H 几分之？
分别是四边的三等分点(如图)，那么所得的小正方形的面积占大正方形面积的
AMHDNGEOQBFC
【例9】有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长34cm。求这个长方形的面积。
【巩固】若长方形的长是宽的2倍，对角线的长度为10，求这个长方形的面积是多少平方厘米？请用弦图法完成
【例10】如图32-3所示,直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少? 【巩固】以三角形ABC的两条边为边长，做两个正方形BDEC和ACFG．已知三角形ABC与正方形BDEC的面积比，以及正方形BDEC和ACFG的边长的比都是3：5，求三角形CEF与整个图形面积的最简整数比是多少？ FEGACBD课堂检测 1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________ A 56 B 48 C 40 D 321
2、若干名战士排成8列长方形队列，若增加120人或者减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么，原有战士多少名？
3、如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.
B
A
C D
复习总结
根据直角三角形计算出三角形中第三边的长度，在计算时可以借助分解质因数，或者根据三遍关系判断是直角三角形；有直角的通过加辅助线构造直角三角形；
通过对弦图进行观察分析得出构成弦图的直角三角形两直角边的关系，始终要有方程意识
家庭作业
1、 一个正方形花圃，由四块种着不同花的长方形地组成，如图7，已知图7中虚线表示的正方形的面积为35平方米，长方形的长比宽多3米，则每块长方形地_______平方米。
2、如下图所示，红、黄、绿三块大小一样的正它们方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合，已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10，那么，正方形盒子的底面积是__________． (2003年一零一培训学校期末考试题(2003年12月)第17题) 黄红绿
3、如图:长方形的面积是小于100的整数，他的内部由三个边长是整数的正方形，正方形①的边长是长方形长的
51，正方形②的边长是长方形宽的，那么图中阴影部分的面积是多少？
812①②
4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
5、图15中5个阴影所示的图形都是正方形，所标数字是邻近线段的长度。那么，阴影所示的5个正方形的面积之和是多少？（单位：厘米）
6、图16-15中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．
教学反馈
学生对本次课的评价 ○特别满意 ○满意 ○一般 家长意见及建议 家长签字：
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容