整式的除法 教材分析

§15.4

学科教学论

2009级3班 数学与应用数学（师范）梁艳亭 20091808020022 / 34号整式的除法教材分析

一、 本教材内容的外部知识结构

本章主要内容是整式的乘法、乘法公式、整式的除法．这些内容是在学生掌握了有理数、整式加减等知识的基础上学习的．其中，最基本的内容是幂的乘法运合性质，把它们集中安排作为基础．在这个基础上，再依次学习一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法，即五个乘法公式．最后，在学习同底数的幂相除的运算性质的基础上，学习单项式除以单项式、多项式除以单项式等内容．

整式除法同整式加减法一样，是整式运算的重要内容，是进一步学习因式分解、分式、方程、函数以及其他数学内容的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工具．因此，本章内容在学习数学及其他学科方面占有重要的地位和作用．学习整式乘除是学习整式加减的继续和发展，它的基础—一幂的运算性质是在有理数的基础上讨沦的．

整式 单项式 多项式 整式运算 整式加减 整式乘法 整式除法 互逆运算 乘法公式 因式分解

二、 本教材内容的内部知识结构

1. 知识点

（1）同底数幂相除，底数不变，指数相减。 （2）任何不等于0的数的0次幂都等于1。

（3）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

（4）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

2. 内部知识结构图

规定：a0=1(a≠0) 练习2(2),3(2) 同底数幂的除法法则单项式除单项式多项式除单项式 三、 本教材内容的具体分析

1. 同底数幂的除法的分析

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

(1) 法则: am÷an=am−n(a≠0，m,n都是正整数，并且m>𝑛）

(2) 地位与作用：同底数幂的除法是整式除法的基础，是整式的乘法和幂得到意义

的综合应用，是整式的四大基本运算之一。

例1,例2,例3,练习练习练习 1.2.3 1.2

(3) 用途：应用同底数幂除法来解决单项式除单项式，多项式除单项式。 (4) 引入过程：

----数学方法：归纳总结

----问题引入：通过计算数码照片的存储问题，来引入216÷28的计算。可以根据乘法是除法的逆运算，要求一个数，使它与28的积等于216（补充：.在这里，书上在问题旁边附了便签，给出了216÷28的计算方法及结果，方便同学们理解。） ----深入探究：根据除法的意义来计算几道简单的同底数幂除法小题，观察结果的规律

----归纳总结：通过观察规律，总结出同底数幂除法的法则，在这里要特别注意，底数不能为0，因为0不能做被除数。 (5) 易错与反例：

如：x6÷x2=x3 ,64÷64=6 ,a3÷a=a3 ,(−c)4÷(−c)2=−c2 (6) 探究分析：

a) 探究目的：发现规律，找出同底数幂的除法法则 b) 开展过程：给出计算题，让同学们自己计算，相互讨论。 c) 发现的规律：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

d) 可应用的范围：同底数幂除法的计算，单项式相除，多项式除以单项式等。

2. 规定：任何数的零次幂都为1

a0=1(a≠0)

(1) 引入过程：

----探究引入：根据除法的意义，填空am÷am=1

----依照同底数幂除法的法则，得到am÷am=am−m=a0=1 (2) 探究分析：

a) 探究目的：运用除法的意义及同底数幂除法的法则来归纳总结出

a0=1（a≠0）

b) 开展过程：给出计算题，让同学们自己计算，相互探讨。 c) 发现的规律：am÷am=1。

3. 单项式除单项式的除法法则的分析

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只

在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

(1)

地位与作用：根据同底数幂除法法则来解决单项式与单项式的除法，是多项式除单项式的基础，即是对同底数幂除法的拓展延伸，又是多项式除单项式的准备。

(2) (3)

用途：解决单项式除单项式的计算，多项式除单项式的计算 引入过程：

----数学方法：讨论，归纳总结

----问题引入：由木星与地球的质量倍数问题来计算（1.90×1024）÷（5.98×1021）

----讨论深入：从数的计算过渡到单项式的计算，小组讨论并归纳总结出单项式除以单项式的运算法则

(4)

易错与反例：

如：−x3y2÷(−x)2=xy2 , x6y4z÷x2y3=x4y ,

4. 多项式除单项式的除法的分析

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

(1)

地位与作用：是整式运算的重要内容，是进一步学习因式分解、分式、方程、函数以及其他数学内容的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工具。

(2) (3)

用途：因式分解、分式、方程、函数以及其他数学内容 推理过程：

----讨论探究：从计算(am+bm)÷m来导出法则 ----理论依据：乘除法互为逆运算以及分配律

----基本思路：把多项式除单项式“转化”为单项式除单项式来计算

(4)

易错与反例：

如： 6xy+x ÷x=6y , 8a2−4ab ÷ −4a =2a−b

3. 例题与习题分析

例1 计算：

（1）x8÷x2； （2）a4÷a； （3）(ab)5÷(ab)2. a) 例题类型：计算题。

b) 解答例题所需的数学水平：掌握同底数幂除法的法则

c) 例题的目的与作用：通过例题进一步掌握同底数幂的运算法则，并在解答的过程中

注意符号的问题，找出易错点，更好的掌握法则。 d) 例题与练习题搭配关系：练习题1.2.3 例2 计算：

（1）28x4y2÷7x3y； （2）−5a5b3c÷15a4b. a) 例题类型：计算题。

b) 解答例题所需的数学水平：掌握单项式除以单项式的运算法则

c) 例题的目的与作用：通过例题进一步掌握单项式除以单项式的运算法则，并在解答

的过程中注意符号，找出易错点，更好的掌握法则。 d) 例题与练习题搭配关系：练习1.2 例3 计算：

（1）（12a3−6a2+3a）÷3a ；

（2） 21x4y3−35x3y2+7x2y2 ÷(−7x2y) ； （3）[ x+y 2−y 2x+y −8x]÷2x a) 例题类型：计算题。

b) 解答例题所需的数学水平：掌握多项式除以单项式的运算法则

c) 例题的目的与作用：通过例题进一步掌握多项式除以单项式的运算法则，并在解答

的过程中注意符号，找出易错点，更好的掌握法则。 d) 例题与练习题的搭配关系：练习

四、 教学目标、重点、难点

1. 教学目标：

1) 知识技能：

 理解同底数幂相除的法则及零指数幂的概念  会用法则进行同底数幂相除的运算

 使学生掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则及其应用

2) 数学思考：

 在参与同底数幂除法法则的发现过程中，发展同学们合情推理能力，清晰

的表达自己的思想。

3) 问题解决：

 学会与他人合作交流，提倡多样化的算法，培养学生的创新精神与能力。 4) 情感态度：

 经历探索同底数幂相除、单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法

则的过程中获得成功的经验，累积研究数学问题的经验。

2. 重点：

同底数幂相除的法则，单项式除单项式、多项式除以单项式的法则 3. 难点：

同底数幂除法的应用及对零指数幂的概念的理解。 单项式除单项式、多项式除单项式的除法的应用