质量惯矩(即转动惯量)的计算

桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算

赵凯 李永乐

（西南交通大学桥梁工程系，四川成都，610031，lele@swjtu.edu.cn）

1. 概 念

1.1 定义

质量惯性矩（或称质量惯矩，转动惯量）是刚体动力学里的一个重要概念，与质量具有同等重要的地位。质量惯性矩为空间中质量关于距离的二次矩。

对于离散质点系，它对空间任意一条直线z的质量惯矩表示为：

Jz=∑miri2

i=1

n

式中，mi是第i个质量块质量，ri表示第i个质量块到直线z的距离。

对于连续体，则需用积分表示：Jz=∫r2dm

1.2 几何意义

由定义表达式可见，质量惯矩的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的分布情况有关。在国际单位制中单位为kg·m2。质量惯矩越大，则表示质量分布离z轴越远。若设想刚体的质量集中于离z轴距离为ρz处，令Jz=mρz2，则

ρz=

Jz m称之为对z轴的回转半径。显然，它代表质量分布到z轴距离的一种“平均”。物体的质量惯矩等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。

1.3 物理意义

理论力学中有关于刚体运动的两个重要定理，分别是

d2y

动量定理： m2=∑F

dtd2ϕ动量矩定理：Jz2=∑Mz(F)

dt

这两个定理分别描述刚体曲线运动和绕定轴的转动运动规律。动量定理表示质量为物体运动惯性的一种度量。类似地，由动量矩定理可见，力矩大，转动角加速度大；如力矩相同，刚体质量惯矩大，则角加速度小，反之，角加速度大。

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李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）

可见，质量惯性矩的大小表现了物体转动状态改变的难易程度，即：质量惯矩是转动惯性的度量。若将转动与位移类比，力矩与力类比，则转动惯矩对应于质量。

1.4 质量惯性矩 VS 截面极惯性矩

截面极惯性矩表示平面上面积区域关于距离的二次矩，表示为：

Ip=∫ri2dA=IX+IY

材料力学推导了悬臂梁的扭转公式，

Tl

GIp

ϕ=

因此，极惯性矩是截面抗扭能力的一种度量，代表转动刚度，而质量惯性矩代表了转动惯性。前一个属静力学范畴，后一个主要应用于动力学。

2. 桥梁结构动力学中的应用

结构动力学分析中常常采用集中质量法，假定全部质量聚集在计算平动位移的点上，如图所示。结构运动微分方程一般表示为如下形式：

&+ω2y)=F(t) m(&&y+2ξωy

对于图示结构，假如各质量点均不会发生绕自身的面外转动（扭转），或者没有质量惯性矩，则质量矩阵中仅包含集中质量，位移矩阵也没有面外转动项。因为质量惯性矩是扭转振动的一个重要特征参数，没有质量惯矩，动力特性分析将得不到扭转振型。但是，工程结构如桥梁的动力计算考虑扭转常常是必须的。这时候就应该计算质量惯矩以计入扭转振型。扭转振动方程为：

2

&&+2ζαωαα&+ωαJαα=Mα(t)

()又因为质量惯矩的计算取决于质量分布，截面特性不能反映此信息，所以必

须单独指定梁的质量惯矩。采用有限元建模，常常采用添加质量点方法（如ANSYS中mass21单元，MSC.MARC中的point mass，Midas中的节点质量等）。质量点可以设置在单元节点位置，实际建模中先计算主梁单位长度（每延米）质量惯矩，再根据单元长度确定质量点对应的质量惯矩。ANSYS分析中质量矩阵形式的选择应特别小心，当采用一致质量矩阵时，ANSYS会自动计算质量惯矩，该计算结果对于桥梁来说一般是不合适的，因此建议ANSYS分析中采用集中质量矩阵，通过添加质量点的方法考虑质量惯矩。此外需注意的是，上述添加质量点的方法主要应用于单主梁模拟，对于多主梁模型的情况应特别小心，可能需要仔细的力学行为分析。以下例子都是基于单主梁模型的。

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工程应用一：桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算

3. 计算方法

3.1 简单形状物体的转动惯量计算

（1） 双质量球

z Jz=2⋅m(0.5l)2=0.5ml2

（2）均质细杆：

mmlzl31

=ml2 Jz=∫(ρldx⋅x)=ρl

−l/21212

l/2

2

lCx dx B x

（3）任意均质多边形

Jz=∫r2dm=∫ρr2dA=ρIp

z

3.2 平行移轴公式

刚体对于任一轴的质量惯性矩，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的质量惯性矩，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即

Jz=Jzc+md2

3.3 桥梁结构主梁质量惯矩的计算

质量惯矩计算主要考虑主梁，以及公路桥面铺装、铁路轨道、道砟、防撞护栏、路灯、接触网设备、检修轨道等二期恒载，更详细的计算尚应考虑横隔板。下面给出每延米质量惯矩（单位kg·m）的计算方法。

（1）主梁

J1=ρIp

ρ—主梁材料密度(kg/m3)；

IP—主梁净截面的极惯性矩(m4)，当主梁截面采用相同材料时IP=IX+IY 。

（2）公路桥面铺装层

假定铺装层为一狭长矩形截面（亦可分多块分别计算），竖向抗弯惯矩很小，忽略不计，运用移轴定理（分多块计算时需水平和竖向两个方向的移轴），则

⎛1⎞J2=ρ⎜hb3+Ad2⎟

⎝12⎠

ρ—铺装层材料密度(kg/m3)；

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李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）

b—桥面宽(m)；

h—铺装层厚度(m)；

A—铺装层断面面积(m2)；

d—桥面中央距主梁质心距离(m)。

（3）铁路道砟桥面

有详细资料时，按J3=∑miri2计算，其中mi，ri分别为第i条线路每延米质

i=1n

量和距桥面中心的距离。若仅知道总的线路每延米荷载，可假定道砟和轨道质量沿横向均匀分布，按照下式估算：

pb2

J3=12g

p—总的线路每延米荷载(N/m)； b—道砟宽度(m)。

（4）其它二期恒载

J4=∑miri2

mi—每延米质量(kg/m)。注意对于路灯等附属设施在长度方向上不连续，计算时要区分；

ri—距主梁质心的距离(m)。

（5）横隔板

横隔板上分布有大量加劲肋，用钢梁大，准确计算其影响比较复杂，一种估算方法是，假定这些钢材质量沿横隔板面积均匀分布，则有

J5=

mnIpAL

m—标准横隔板质量(m)； n—全桥横隔板数量； A—标准横隔板面积(m2)； L—桥梁长度(m)；

主梁总的每延米质量惯矩是上述各项之和：

J=∑Ji

上述计算方法可根据实际情况灵活运用，主梁、桥面铺装、二期恒载的贡献在总质量惯性矩中比例随具体桥梁的不同而有所变化，一般都应计算。对于横隔板、路灯等，当体量较小时计算中可忽略，这将导致质量惯性矩总体上略偏小，从而使扭转频率会略有增大，但增大量较有限。当主梁采用不同材料（如结合梁）或采用复杂空间组合形式（如桁架、桁架—箱梁组合截面、多层桥面）时质量惯矩的计算需特别小心。

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