原州区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

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班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 执行右面的程序框图，如果输入的t[1,1]，则输出的S属于（ ） A.[0,e2] B. (-?,e2] C.[0,5] D.[e3,5]

【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 2． 如图，在长方形ABCD中，AB=

，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在

面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（ ）

A． B． C． D．

(1i)23． 复数的值是（ ）

3i13131313A．i B．i C．i D．i

44445555【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．

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4． 如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若则（ ）

=+x+y，

A．x=﹣ B．x=

=，

C．x=﹣．

D．x= 是平面

内的两点，且，则四棱锥

5． 如图，已知平面

，，，体积的最大值是（ ）

是直线上的两点，上的一动点，且有

．是平面

A． B． C． D．

abc等于（ ）

sinAsinBsinC2393983A．33 B． C． D．

3236． 在ABC中，A60，b1，其面积为3，则7． 已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（ ） A．3x﹣1

B．3x+1

C．3x+2

D．3x+4

，类比这个结论可

8． 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则则r=（ ） A．C．

B． D．

知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，

9． 函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=

A．2

B．3

C．7

处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（ ）

D．9

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10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x﹣3x+4

2

与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ） A．（﹣，﹣2]

B．[﹣1，0]

ax－1，x≤1

a

C．（﹣∞，﹣2]

D．（﹣，+∞）



11．已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝（ ） 1

log，x＞1x＋1

1A．－

43C．－

4A．k360°+463°

1B．－

25D．－

4

B．k360°+103°

C．k360°+257°

D．k360°﹣257° b的值为 ▲ ． a12．与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（ ）

二、填空题

13．已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极小值10，则14．函数f（x）=15．已知函数

的定义域是 ．

为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b= ．

16．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，

*

在90组数对（xi，yi）（1≤i≤90，i∈N）中，

经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．

x2y217．已知过双曲线221(a0,b0)的右焦点F2的直线交双曲线于A,B两点，连结AF1,BF1，若

ab|AB||BF1|，且ABF190，则双曲线的离心率为（ ）

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A．522 B．522 C．632 D．632

【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，c=2a且则△ABC的面积是 ．

•

=24，

三、解答题

19．已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0 （1）求实数m的值．

（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间 （3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．

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1

20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2＋x＋a，g（x）＝ex.

2

（1）记曲线y＝g（x）关于直线y＝x对称的曲线为y＝h（x），且曲线y＝h（x）的一条切线方程为mx－y－1＝0，求m的值；

（2）讨论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a的取值范围．

21．PD⊥平面ABCD，BC=PD=2，E为PC的中点，如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，求证：PC⊥BC；

（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；

（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．

．

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22．求下列各式的值（不使用计算器）： （1）

（2）lg2+lg5﹣log21+log39．

23．函数

；

。定义数列如下：是过两点的直线

与轴交点的横坐标。 （1）证明：（2）求数列

24．x正半轴为极轴建立极坐标系，在直角坐标系xOy中，以O为极点，曲线C的极坐标方程为ρcos（=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．

（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

）

；

的通项公式。

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原州区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

2． 【答案】 D

【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，

则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是， 如图当E与C重合时，AK=

=，

取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形． 故∠K0A=

，∴∠K0D'=

=

， ，

其所对的弧长为故选：D．

3． 【答案】C

(1i)22i2i(3i)26i13【解析】i．

3i3i(3i)(3i)10554． 【答案】A

【解析】解：根据题意，得； ===

+﹣+（++

+

） ，

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又∵=+x+y

，

∴x=﹣，y=， 故选：A．

【点评】本题考查了空间向量的应用问题，是基础题目．

5． 【答案】A

【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积 【试题解析】由题知：是直角三角形，又因为，所以PB=2PA。 作于M，则。 令AM=t，则所以

又底面为直角梯形，所以故答案为：A 6． 【答案】B 【解析】

即为四棱锥的高，

，所以。

113bcsinAbcsin600bc3，所以bc4，又b1，所224222220以c4，又由余弦定理，可得abc2bccosA14214cos6013，所以a13，则试题分析：由题意得，三角形的面积Sabca13239，故选B． sinAsinBsinCsinAsin6003考点：解三角形．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到

abca是解答的关键，属于中档试题．

sinAsinBsinCsinA7． 【答案】A

【解析】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1 ∴f（x）=3x﹣1 故答案是：A

【点评】考察复合函数的转化，属于基础题．

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8． 【答案】 C

【解析】解：设四面体的内切球的球心为O， 则球心O到四个面的距离都是R， 所以四面体的体积等于以O为顶点， 则四面体的体积为 ∴R=故选C．

分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．

【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，上去．一般步骤：得出一个明确的命题（或猜想）．

9． 【答案】C

【解析】解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=∴sin

+acos

=﹣

+

=﹣2，∴a=

，∴f（x）=sinωx+

+

=2kπ+

处取最小值﹣2， cosωx=2sin（ωx+

）．

再根据f（

）=2sin（）=﹣2，可得

，k∈Z，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，

则ω的可能值为7， 故选：C．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

10．【答案】A

2

【解析】解：∵f（x）=x﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，

2

故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，

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故有故选A． 基础题．

11．【答案】

，即

，解得﹣＜m≤﹣2，

【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于

【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2. 若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解．

111

∴b＞1，即有log2＝－3，∴＝，∴b＝7.

b＋1b＋18

3

∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－，故选C.

412．【答案】C

【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z） 即：k360°+257°，（k∈Z） 故选C

【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．

二、填空题

113．【答案】

2考

点：函数极值

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

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（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.

（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.

14．【答案】 {x|x＞2且x≠3} ．

【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得解可得，x＞2且x≠3

故答案为：{x|x＞2且x≠3}

15．【答案】 2 ．

【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数， ∴定义域关于原点对称， 即﹣2a+3a﹣1=0， ∴a=1， ∵函数∴f（﹣x）=

xx

即b•2﹣1=﹣b+2，

为奇函数，

=﹣

，

∴b=1． 即a+b=2， 故答案为：2．

16．【答案】

．

【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1，由图知，

，又

，所以

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【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．

17．【答案】B 【

解

析

】

18．【答案】 4 ．

【解析】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，

22

∴sinB=sinAsinC，由正弦定理可得：b=ac，

∵c=2a，可得：b=∴cosB=∵

•

a， =

=，可得：sinB=

=

，

=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，

=4

．

∴S△ABC=acsinB=故答案为：4

．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵f（4）=0， ∴4|4﹣m|=0

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∴m=4，

（2）f（x）=x|x﹣4|=

图象如图所示：

由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减． （3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数， 由图可知k∈（0，4）．

20．【答案】

【解析】解：（1）y＝g（x）＝ex关于直线y＝x对称的曲线h（x）＝ln x， 设曲线y＝h（x）与切线mx－y－1＝0的切点为（x0，ln x0）， 由h（x）＝ln x得

1

h′（x）＝，（x＞0），

x1x0＝m则有，

mx0－ln x0－1＝0解得x0＝m＝1. ∴m的值为1.

1

（2）φ（x）＝x2＋x＋a－ex，

2φ′（x）＝x＋1－ex， 令t（x）＝x＋1－ex， ∴t′（x）＝1－ex，

当x＜0时，t′（x）＞0，x＞0时，t′（x）＜0， x＝0时，t′（x）＝0.

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∴φ′（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x）max＝φ′（0）＝0， 即φ′（x）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a＝1有φ（0）＝0.

∴不论a为何值时，φ（x）＝f（x）－g（x）有唯一零点x0， 当x0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 2e－3

即（a－1）（a－）＜0，

2

2e－32e－3

∴1＜a＜，即a的取值范围为（1，）．

22

21．【答案】

【解析】解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC， 又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PDICE=D， ∴BC⊥平面PCD，又∵PC⊂面PBC，∴PC⊥BC． （II）解：∵BC⊥平面PCD， ∴GC是三棱锥G﹣DEC的高． ∵E是PC的中点，∴∴

．

．

（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG． 下面证明之：

∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA， 又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG， 在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM， ∴

，∴所求AM的长为．

【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．

22．【答案】

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【解析】解：（1）=4+1﹣﹣ =1； =1﹣0+2 =3．

（2）lg2+lg5﹣log21+log39

【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．

23．【答案】 【解析】（1）为

，可知，直线

直线

的直线方程为

，故点

在函数

的图像上，故由所给出的两点

斜率一定存在。故有

，令

，可求得

所以

时，

下面用数学归纳法证明当假设

时，时，

，满足

成立，则当

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由

从而C的直角坐标方程为

即

θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）

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（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0） N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为所以直线OP的极坐标方程为

，

，则P点的极坐标为，ρ∈（﹣∞，+∞）

【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

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