作业14

摘要：本文先据题意建立相应的微分方程，在Mathematica5.0软件包中求解出

微分方程后，再画图分析符合该题题意的人的体重如何随时间变化，并求出体重的下限值。

关键词：微分方程 Mathematica5.0软件包 减肥 一、问题重述

某人的食量是2500卡/天，其中，1200卡用于基本的新陈代谢。在健身锻炼中，他所消耗的大约是（16/kg/天）*体重（kg），假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效，而1kg脂肪含热量10000卡。 问题：

（1）请建立微分方程模型，分析此人的体重如何随时间变化？ （2）此人无论怎样减肥，体重至少多少kg？

二、问题分析

据题意，体重因为健身锻炼每天都在变化，因此我们可以考虑寻找体重（记为m）关于时间t的函数，如果把体重m看做是时间t的连续可微函数，就可以建立一个含有dm/dt的微分方程。

三、模型的建立与求解

模型假设

（1） 以m（t）表示t时刻此人的体重，并设一天开始时此人的体重为m0。 （2） 体重的变化是一个渐变的过程，因此可认为m（t）关于t是连续且充分光

滑的。

（3） 体重的变化等于摄入能量与消耗能量之差，其中摄入能量是指扣除了基本

新陈代谢之后的净食量吸收，消耗就是进行健身训练时的消耗。 可建立如下微分方程模型dm/dt=（1300-16*m）/10000 且m（0）=m0。 在Mathematica5.0软件包中求解，程序如下：

执行后得到结果： DSolve1300y'x100001610000yx,y0yx,x yx14x625325325x625 从而求得模型的解为 m=

325-（（1300-16m0）/16）exp（-0.0016t） 4问题一的解答：

325该解方程 m=-（（1300-16m0）/16）exp（-0.0016t） 就描述了此人体重随着

4时间的变化规律。时间越往后，每天减掉的体重越少，体重就越难减掉。 当m=90公斤时，画图

Plot901x625325325x625 0490,x,888684 由图知，90公斤的人的体重约在1500天（约4年）后能减到82公斤。 50010001500当m=100公斤时，画图

Plot84.58483.58382.51x625325325x6254100,x, 0,200081.5400060008000 由图知，100公斤的人的体重约在2000天（约5年半）后能减到82公斤。 当m=200公斤时，画图

Plot1001x625325325x6254200,x, 0,95902000400060008000 由图知，200公斤的人的体重约在2100天（约6年）后能减到一个比较理想的状态，约为85公斤。

当m=300公斤时，画图

Plot1x625325325x6254300,x, 0,11511010510095902000400060008000 由图知，300公斤的人的体重约在2500天（约7年）后能减到一个比较理想的状态，约为85公斤。

因此当人的体重在90到300公斤时，减到最理想的体重需要大约4到7年。 问题二的解答:

当且仅当1300-16m0>0时，m才能随着时间的变化减小，由此得m0>

325,因此无4论此人怎样减肥，体重至少为81.25kg。

参考文献：赵东方. 数学模型与计算. 科学教育出版社, 2007.