五自由度机械臂的运动学分析

北京石油化工学院学报　第２１卷第１期　Ｖｏ１．２１　ＮＯ．１　２０１３年３月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｍａｒ．２０１２　Ｐｅｔｒｏ—ｃｈｅｍｉｃａｌ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　五自由度机械臂的运动学分析　陈　亚，沈　晨　（北京石油化工学院机电工程系，北京１０２６１７）　摘　要：为分析机械臂的运动情况，建立基于Ｄ－Ｈ法机械臂正运动学模型并进行仿真，得到　其灵活工作域。进一步采用ＡＤＡＭＳ进行逆运动学分析，代替代数反解计算，可方便获得指定路径对应　的各关节转角曲线。结果表明基于Ｍａｔｌａｂ和ＡＤＡＭＳ的运动仿真分析可为实际物理样机的研制提供　技术依据。　关　键　词：机械臂；运动仿真；Ｄ－Ｈ法；ＡＤＡＭＳ　中图法分类号：ＴＰ２４１．２　文献标志码：Ａ　＿。运动学分析是机械手臂控制研究的基础。　之间的相对平移和旋转的齐次变换。对于五自　Ｏ　１Ｄｅｎａｖｉｔ和Ｈａｘｔｅｎｂｅｒｇ于１９９５年提出使用标　由度串联机器人，有ＯＡ一　Ａ！Ａ；ＡｉＡ２Ａ。０　Ｏ　Ｏ　　准矩阵表示法来表达任意空间机构的运动方　按Ｄ—Ｈ法将１个参考坐标系变换到下１。　　程＿＿１］，并被广泛应用于机器人机构的运动学问　个参考坐标系，可通过以下４步标准转换完成：　题研究之中。　ｌＡ—Ｒｏｔ（Ｚ，０升１）Ｔｒａｎ（０，０，　计１）×　笔者将对工业上常见的五自由度串联机械　Ｔｒａｎ（口　＋１，０，０）Ｒｏｔ（Ｘ，ａ　＋１）一　臂进行运动学仿真分析，如图１所示。　１　ＳＯ　＋１　０　０　Ｏ　０　０　　一。　１　Ｇ９井１　０　０　１　０　０　×　Ｏ　１　０　１　１　Ｏ　Ｏ　０　０　１　Ｏ　Ｏ　Ｏ　１　×　１　０　ａＣ　＋ｌ　０　１　Ｏ　１Ａ一　１一　１　井１　Ｓ　井１　Ｓ　１　口　１　Ｇ９　１　图１　五自由度机械臂（所有关节均为转动关节）　Ｓ　１　Ｇ９　ｌＣａ　ｌ　一（　计１５＆计ｌ　抖ｌＳ９抖１　１　基于Ｄ．Ｈ法的机械臂正运动学　０　Ｓａ，　１　Ｃ　＋１　１　０　０　Ｏ　１　分析　１．２五自由度串联机械臂的Ｄ—Ｈ模型　１．１　Ｄ—Ｈ法原理　为计算矩阵Ａ，可制作一张关节和连杆参　物体的空间位置姿态可通过在其上面固连　数表（见表１），其中每个连杆和关节的参数值　１个坐标系来表示。描述１个构件和下１个构　可从机器人的原理示意图（见图２）上确定，并　件之间关系的矩阵为Ａ矩阵，他可描述坐标系　且可将这些参数代入Ａ矩阵。关节ｉ为转动关　节时，关节角　是一个变量，其他３个连杆参　收稿日期：２０１２－１２—０６　作者简介：陈亚（１９７８），女，博士，讲师，主要研究机器人技　数是固定不变的［２］。通常在运动方程中不包含　术及机电系统仿真技术，Ｅ—ｍａｉｌ：ｃｈｅｎｙａ＠ｂｉｐｔ．ｅｄｕ．ｃｎ。　末端执行器。　　Ｉ目　　　Ｏ０　＿｝　＿　０　２６　北京石油化工学院学报　ＣＯＳ　０２　Ａ　＝＝　ｓｉｎ　０２　Ｏ　０　２０１３年第２１卷　ｓｉｎ　０　Ｌ２　ＣＯＳ　０２　ｓｉｎ　０　０　０　Ｌ　２　ｓｉｎ　０２　１　０　０　１　ＣＯＳ　０３　ｓｉｎ　０３　Ａ　＝　０　３　３　１　ｓｉｎ　０３　０　Ｌ　３　ＣＯＳ　０３　ＣＯＳ　０　Ｌ３　ｓｉｎ　０３　Ｏ　０　１　Ｏ　Ｏ　０　）　１　图２五自由度串联机械臂坐标系　．ｓ　～ｍ　∞　Ｏ　０　　Ａ４一　０　Ｓ　ＣＯＳ　０４　０　ｓｉｎ　０４　Ｌ４　ＣＯＳ　０ｄ　Ｌ　４　ｓｉｎ　０４　Ｏ　表１　Ｄ—Ｈ参数表　口　ｓｉｎ　０４　０　一ＣＯＳ　ｌ　０　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　０　Ｌ　１　１　于是，末端执行器到参考坐标系的变换矩　阵为Ａ—Ａ　Ａ。Ａ。Ａ　，化简后得　ＣＯＳ　１　ＣＯＳ（　Ｉ＋０２＋０３）　ｓｉｎ臼ｌ　将各参数代入变换矩阵Ａ中，得：　ＣＯＳ　０】　Ａ．＝＝　ｓｉｎ　０】　Ｏ　Ｏ　ｓｉｎ　ＣＯＳ（　２＋０３＋０４）　一ＣＯＳ　０　Ａ　ｓｉｎ（　２＋　＋０４）０　０　０　ＣＯＳ　０ｌ　ｓｉｎ（　２＋　３＋　４）　ＣＯＳ　１（Ｌ２ＣＯＳ　０２＋Ｌ３　ＣＯＳ（　２＋　３）＋Ｌ４　ＣＯＳ（　２＋　３＋０４））　ｓｉｎ　１　ｓｉｎ（　２＋０３＋　４）　ｓｉｎ　１（Ｌ２ＣＯＳ　０２＋Ｌ　３　ＣＯＳ（　２＋　３）＋Ｌ４ＣＯＳ（　２＋臼３＋０４））　ＣＯＳ（０２＋０３＋０４）　０　Ｌ１＋Ｌ２　ｓｉｎ　０２＋Ｌ３　ｓｉｎ（　２＋　）＋Ｌ４　ｓｉｎ（０２＋０３＋０４）　１　矩阵Ａ前３列为末端执行器的姿态，第４　列为在参考坐标系中的位置。于是机械手末端　Ｃｌｏｃｋ产生连续时间信号（见图４），　ｔｈｅｔａｌ、ｔｈｅｔａ２、ｔｈｅｔａ３、ｔｈｅｔａ４这４个模块产生　执行器在参考坐标系中的ＸＹ坐标为：　Ｐ　一ＣＯＳ　０１（Ｌ２　ＣＯＳ　０２＋Ｌ３　ＣＯＳ（　２＋０３）＋　Ｌ４ＣＯＳ（　２＋０３＋　））　Ｐ　一ｓｉｎ　０１（Ｌ２ＣＯＳ　２＋Ｌ　３　ＣＯＳ（　２＋０３）＋　Ｌ４　ＣＯＳ（　２十０３＋　４））　随时问变化的信号，用来模拟机械手关节的角　位移。根据Ｐ　和Ｐ　的表达式确定好机械手初　始状态后，经Ｍａｔｌａｂ中的ｐｘｙｚ函数计算得出　末端执行器在Ｘｙ平面上的坐标，并由ｘｙ　Ｇｒａｐｈ模块显示机械臂末端在ＸＹ平面上的运　动轨迹（见图５）。其中ｔｈｅｔａｌ～ｔｈｅｔａ４这４个　１．３　基于Ｄ—Ｈ法求解机械臂的灵活工作域　建立Ｍａｔｌａｂ／Ｓｉｍｕｌｉｎｋ模型（见图３）模拟　机械臂从初始状态到全缩状态再到全伸展状态　关节角位移信号具有分段函数的性质，可以使　用Ｓｉｍｕｌｉｎｋ中的Ｌｏｏｋｕｐ　Ｔａｂｌｅ模块来产生近　似的阶跃信号。　ｐｘｙｚ函数：　ｆｕｎｃｔｉｏｎ［ｙ］一ｐｘｙｚ（ｕ）　的运动过程，并得到机器人的灵活工作域在地　面上的投影。　１１—０．１６；　１２—０．２５；　１３—０．１７；　１４—０．１；　杆长ｌ１　杆长ｌ２　杆长ｌ３　杆长ｌ４　ｕ（１）一ｕ（１）；　关节ｔｈｅｔａｌ角位移信号及　图３基于【）＿Ｈ法的Ｓｉｍｕｌｉｎｋ模型　初始角度设定　第１期　陈亚等．五自由度机械臂的运动学分析　２７　ｕ（２）一ｕ（２）一０．７５０　５；　ｕ（３）一ｕ（３）一０．７９３　４；　ｕ（４）一ｕ（４）一０．２９６　７；　ｖ—ｃｏｓ（ｕ（１））＊（１２＊ＣＯＳ（ｕ（２））＋ｌ３＊　ｃｏｓ（ｕ（２）＋ｕ（３））＋１４＊ＣＯＳ（ｕ（２）＋ｕ（３）＋Ｕ　（４）））；　（１２＊ＣＯＳ（ｕ（２））＋１３＊ｃｏｓ（ｕ（２）＋ｕ（３））＋　ｌ４＊ＣＯＳ（ｕ（２）＋ｕ（３）＋Ｕ（４）））＊ｓｉｎ（Ｕ（１））］　计算Ｐ　和户　Ｒｏｗ　ｂｒｅａｋｐｏｉｎｔｓ　图４　Ｌｏｏｋｕｐ　Ｔａｂｌｅ模块产生的角位移信号０　图５末端执行器在ＸＹ面上运动范围　从图５可以看出，机械臂最大工作半径为　０．５　ｍ，最小为０．２　ｍ。　２　基于ＡＤＡＭＳ的逆运动学分析　先在Ｓｏｌｉｄｗｏｒｋｓ中建立机械臂机构的几　何模型，如图６所示。该机械臂为五自由度串　联机器人，由底部转台、大臂、中臂、小臂和手　腕５个关节组成。　图６　Ｓｏｌｉｄｗｏｒｋｓ建立机械臂模型　将Ｓｏｌｉｄｗｏｒｋｓ中建立的几何模型导入　ＡＤＡＭＳ中，并对上述机械臂模型的各个部件　进行运动约束　］。在基座与大地之间采用固定　副连接（Ｆｉｘｅｄ　Ｊｏｉｎｔ），所有的活动关节均采用　旋转铰链（Ｒｅｖｏｌｕｔｅ　Ｊｏｉｎｔ）连接，并在基座与　腰、腰与大臂、大臂与中臂、中臂与小臂关节设　置驱动（Ｍｏｔｉｏｎ），如图７所示。　图７　ＡＤＡＭＳ中的机械臂　运用反解，即已知末端执行器在笛卡尔坐　标系中的位置和姿态求对应的关节转角。求反　解可采用代数法反解。机器人运动学逆解一般　具有多解，这是由于解反三角函数方程而产　生的。　前面的运动方程中有许多角度的耦合，如　ｃｏｓ（０　＋０。＋０　），这就无法从矩阵中提取足够　的元素来求解单个的正弦和余弦项以计算角　度。为使角度解耦合，可用单个　Ｔ　矩阵左乘　Ａ　矩阵，使得方程右边不再包括这个角度，于　是可以找到产生角度的正弦值和余弦值的元　素，并进而求得相应的角度。但是矩阵计算工　作量大容易出错。　利用ＡＤＡＭＳ中的一般点驱动（Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｐｏｉｎｔ　Ｍｏｔｉｏｎ）让末端执行器根据给定的运动　规律运动，然后测量关节角位移曲线将其转化　为样条曲线，反过来作为驱动即可得到期望的　末端运动轨迹＿４］，如图８所示。　…　翠　Ｉ　墨里鳖　！　！　卜一　逆解　图８　ＡＤＡＭＳ运动学反解求解过程　假设让机械臂末端沿直线运动，３　Ｓ内沿ｙ　轴负方向移动０．４　ｍ，则ｙ方向运动函数为　ｓｔｅｐ（ｔｉｍｅ，０，０，３，一０．４），如图９所示。　２８　北京石油化工学院学报　２０１３年第２１卷　是所需调用的样条的名字，Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　Ｏｒｄｅｒ是　样条的阶数，选择０时返回样条曲线坐标值。　如第２个关节的运动Ｍｏｔｉｏｎ２：一ＡＫＩＳＰＩ　（ｔｉｍｅ，０，ｓ２，０），其余轴的驱动定义方式与此　图９简单路径的定义　相同。令末端执行器的点驱动失效，运行３ｓ，　５００步的仿真。选择Ｃｒｅａｔｅ　Ｔｒａｃｅ　Ｓｐｌｉｎｅ来创　建末端点的运动轨迹。将其与最初定义的点驱　动轨迹相对，发现２条曲线重合在一起。　末端执行器按给定的运动规律运动时，其　余转动关节的驱动应处于失效状态　（Ｄｅａｃｔｉｖａｔｅ）。然后测量Ｊｏｉｎｔｌ～Ｊｏｉｎｔ４的角　位移（弧度）曲线，如图１０所示。　ＪＯＩＮＴ＿３一ＭＥＡ３　结论　利用Ｄ—Ｈ法建立了机械臂的运动模型，研　２．Ｑ　／　究机械手的正运动及其灵活工作域。并进一步　是　稔　旺　一　———　—利用ＡＤＡＭＳ进行逆运动学分析，避免了繁琐　的逆解推导过程。结果表明基于ＡＤＡＭＳ的　运动学逆解比理论推导简单、直观。通过　ＡＤＡＭＳ的测量和曲线分析功能可以准确获知　机器人的运动学性能，从而对机械臂的进一步　研究和设计提供基础。　图１Ｏ各关节转角随时间变化曲线　进入后处理，选择曲线编辑工具条中的　“Ｃｒｅａｔｅ　ａ　ｓｐｌｉｎｅ　ｄａｔａ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｆｒｏｍ　ａ　ｃｕｒｖｅ”将　参考文献　［１］　Ｊｏｈｎ　ＪＣｒａｉｇ．机器人学导论［Ｍ］．北京：机械工业　出版社，２００６：６．　测得的角位移曲线（单位设置中要选择弧度）转　换成样条曲线（分别命名为ｓ１，ｓ２，ｓ３，ｓ４），并可　以用来定义驱动轴的运动。　样条函数有几种不同的形式，其中较常用　的ＡＫＩＳＰＬ形式为：　ＡＫＩＳＰＬ（１ｓｔ—ＩｎｄｅｐＶａｒ，２ｎｄＩｎｄｅｐＶａｒ，ＳｐｌｉｎｅＮａｍｅ，ＤｅｒｉｖＯｒｄｅｒ）　—Ｅ２］　孙亮，马江，阮晓钢．六自由度机械臂轨迹规划与　仿真研究［Ｊ］．控制工程，２０１０，１７（３）：３８８　３９２．　Ｅ３］　马如奇，郝双晖，郑伟峰，等．基于ＭＡＴＬＡＢ与　ＡＤＡＭＳ的机械臂联合仿真研究ＥＪ］．机械设计　与制造，２０１０，１６（４）：９３—９５．　Ｅ４］　丁佳洛，战强．基于ＡＤＡＭＳ的串联机器人运动　学反解与动力学优化［Ｊ］．机电产品开发与创新，　２００８。２１（１）：９—１１．　其中前２个参数为自变量，一般以时间为第１　个自变量，第２个自变量设为０。Ｓｐｌｉｎｅ　Ｎａｍｅ　Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　５　ＤＯＦ　Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ　Ｃｈｅｎ　Ｙａ，Ｓｈｅｎ　Ｃｈｅｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｐｅｔｒｏ－ｃｈｅｍｉｃａｌ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０２６１７，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｏ　ａｎａｌｙｚｅ　ｔｈｅ　ｍｏｖｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ａ　５ＤＯＦ　ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ，ａ【）＿Ｈ　Ｍｅｔｈｏｄ－－ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｄｉｒｅｃｔ　ｋｉ—　ｎｅｍａｔｉｃｓ　ｍｏｄｅｌ　ｗａｓ　ｂｕｉｌｔ．Ｂｙ　ａｄｏｐｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ　ｗｏｒｋｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ａ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｋｉｎｅｍａｔｉｃ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ＷａＳ　ｃｏｎｄｕｃｔｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ＡＤＡＭＳ　ｉｎｓｔｅａｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅａｆｔｅｒ，ｊ　ｏｉｎｔ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｐｅｃｉｆｉｃ　ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ，ａｒｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｉｎ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ，ｔｈｅ　ｒｅｓｕｈｓ，ｂａｓｅｄ　Ｏｎ　Ｍａｔｌａｂ　ａｎｄ　ＡＤＡＭＳ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｐｒｏｖｉｄｅ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ｏｆ　ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｐｒｏｔｏｔｙｐｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ；ｍｏｔｉｏｎ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；Ｄ－Ｈ　ｍｅｔｈｏｄ；ＡＤＡＭＳ