4.3空间直角坐标系 教案

建立空间坐标系写出原点坐标各点坐标。 解：D′在z轴上，且O D′ = 2，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点D′的坐标是(0，0，2).点C在y轴上，且O D′ = 4，它的纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z都是零，所以点C的坐标是(0，4，0).同理，点A′的坐标是(3，0，2).点B′在xOy平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同.在xOy平面上，点B横坐标x = 3，纵坐标y = 4；点B′在z轴上的射影是D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，点D′的竖坐标z = 2. 所点B′的坐标是(3，4，2) 讨论：若以C点为原点，以射线BC、CD、CC1 方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。） 例2结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成的正方体)，其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O – xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标. 解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标，下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1/2,1/2,0)； 中层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1/2，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是(1/2,01/2),(1,1/2,1/2)，(1/2,1,1/2),(0,1/2,1/2)； 上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，(1/2,1/2,1). 练习1 如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 3，A′C′于B′D′相交于点P.分别写出点C、B′、P的坐标。 2011.11.26 必修二 空间直角坐标系 第 2 页 共 6 页

解：C、B′、P各点的坐标分别是(0，4，0)，(3，4，3)，(3/2,2,3) 练习2 V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB=2，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。 练习3 已知M (2, -3, 4)，画出它在空间的位置。 练习4 建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标。 例3 如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，OA = 3，OC = 4，OD′= 3，A′B与AB′相交于点P，分别写出点C、B′、P的坐标. 解C在y轴正半轴上，坐标C(0，4，0)， B′的横坐标与A点相同，纵坐标与C点相同，竖坐标与D′点相同，所以B′（3，4，3）. P 为正方形的对角线交点，坐标为(1,1/2,1/2). 点的对称 点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标. (1)与点M关于x轴对称的点(x,-y,-z) (2)与点M关于y轴对称的点(-x,y,-z) (3)与点M关于z轴对称的点(-x,-y,z) (4)与点M关于原点对称的点(-x,-y,-z) (5)与点M关于xOy平面对称的点(x,y,-z) (6)与点M关于xOz平面对称的点(x,-y,z) (7)与点M关于yOz平面对称的点(-x,y,z) 2011.11.26 必修二 空间直角坐标系 第 3 页 共 6 页

例4 如图，正方体ABCD – A1B1C1D1，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B1关于原点D的对称点坐标. 空间两点间的距离公式 在平面上任意两点A (x1，y1)，B (x2，y2)之间的距离的公式为|AB| =(x1x2)2(y1y2)2，那么对于空间中任意两点A (x1，y1，z1)，B (x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？ 如果|OP| 是定长r，那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形？ 如果是空间中任间两点P1 (x1，y1，z1)，P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？ |P1P2| =(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2 ΔM1PQ和ΔMQM2都是直角三角形，根据勾股定理, dM1M2(M1Q)2(QM2)2 把 (M1Q)2 代入d, 得 d(M1P)2(PQ)2(QM2)2。又因 M1Py2y1,PQx2x1, QM2z2z1， 从而得两点的距离公式:d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2 例1 在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离： （1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；（2）A(6，0，1)，B(3，5，7) 解 （1）6，图略 （2）70，图略 例2 在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等. 解 设点M的坐标是(0，0，z). 依题意，得(01)20(z2)2=(01)2(03)2(z1)2 解得z = –3.所求点M的坐标是(0，0，–3). |BC|(42)2(14)2(93)27，|AC|(102)2(14)2(63)298. 因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形. 2011.11.26 必修二 空间直角坐标系 第 4 页 共 6 页

例4 如图，正方体OABD – D′A′B′C′的棱长为a，|AN| = 2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的长。 解：由已知，得点N的坐标为(,a2aa2a,0)，点M的坐标为(,a,)，于是 3333aa2a2a|MN|()2(a)2(0)233335a.3 练习1 已知点A在y轴 ，点B(0，1，2)且|AB|5，则点A的坐标为 . 解：由题意设A(0，y，0)，则(y1)245，解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0) 练习2 坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标. yz2解：由题意设P(0，y，z)，则 222222(03)(y2)(z5)(03)(y5)(z2)y1解得：故点P的坐标为(0，1，1) z1 练习3 在yOz平面上求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标. |PA||PC|解：设P(0，y，z)，由题意 |PB||PC|222222(03)(y1)(z2)(00)(y5)(z1)所以 222222(04)(y2)(z2)(00)(y5)(z1)2011.11.26 必修二 空间直角坐标系 第 5 页 共 6 页

y14yz60即，所以，所以P的坐标是(0，1，–2). z27y3z10 练习4 已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（-1，3，1）。试证明A角为钝角。 例4 如图，在正方体ABCD-A`B`C`D`中，点P、Q分别在棱长为1的正方体的对角线BD`和棱CC`上运动，求P、Q两点间的距离的最小值，并指出此时P、Q两点的位置. 例3 在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AD，E是侧棱AC的中点，F是对角线BD上的动点，试建立适当的空间直角坐标系. (1)写出P,A,B,C,D,E的坐标；(2)求|EF|的最小值. 空间两点中点坐标公式 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标是： M(

x1+x2y1+y2z1+z2,,)2222011.11.26 必修二 空间直角坐标系 第 6 页 共 6 页