十五周教案

安定区称钩初级中学校八年级数学学科导学案

课 题 备课人 课型 王聚才 新授课 1.使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系； 2.能够利用提公因式法对简单的多项式进行因式分解． 3.通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系． 重点：1. 因式分解 2. 提公因式法分解因式 难点：确定多项式各项的公因式 教学流程 学生备注 14.3.1提公因式法 科 目 数学 课时安排 一课时 时间 教学目标 重点难点 活动 一、提出问题引入新课 学生 1.计算： 思考 （1）x（x＋1） （2）（x＋1）（x－1） 并试 2．问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式 着解22 （1）x+x=______ （2）x-1=___ （3）am+bm+cm=_ 决问题 3．得到结果,分析特点：根据整式乘法和逆向思维原理， （学 （1）x2+x=x（x+1） （2）x2-1=（x+1）（x-1） 生练（3）am+bm+cm=m（a+b+c） 习，并 分析特点：等号的左边：都是多项式 。 等号的右边：几个整演板） 式的乘积形式 探究 二、了解因式分解概念 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种归 纳 变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。 2.因式分解与整式乘法是相反方向的变形，它们互为逆运算。 3.判断下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解？ （1）6＝2〓3 （2）a（b＋c）＝ab＋ac 2 （3）a－2a＋1＝a（a－2）＋1 观察 （4）a2－2a＝a（a－2） （5）a＋1＝a（1＋1/a） 探索 三、公因式与提公因式法概念学习 归纳 1.多项式pa＋pb＋pc中，各项有什么特点？ 2.一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式总 结 的公因式。 学生323 3.指出下列各多项式的公因式（1）8ab＋12abc

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（2）8m2n＋2mn （3）－6abc＋3ab2－9a2b 动手 4.确定公因式的方法（1）系数的最大公约数为公因式的系数； 分析（2）相同字母的最低次数作为公因式中的字母部分． 过程 5.提公因式法 并板由p（a＋b＋c）＝pa＋pb＋pc，得到pa＋pb＋pc=p(a＋b＋演解c),其中，一个因式是公因式p，另一个因式（a＋b＋c）是pa＋题过pb＋pc除以p所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 程 四、巩固知识 1.例题：把8a3b2-12ab3c分解因式 探究①确定公因式：4ab2 ②然后用每一项去除以公因式③结果 2.练习：P115页：练习1：（1）-（4） 3.例题：因式分解：2a（b+c）-3（b+c） 4.练习：P115页：练习1：（5）-（6）。2 五、灵活应用 1.用简便方法计算 （1）9992＋999 （2）20132－2012〓2013 2.计算：210－29－28 3.已知a－b＝3，ab＝－1，求a2b－ab2 4.证明：817讨论解 答 －279－913能被45整除 5.若关于x的二次三项式3x2－mx＋n分解因式结果为（3x＋2）（x－1），则m＝ ，n＝ 。 46416 6.31.75110.513-21.251-102 77727 六、课堂小结 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。 2.因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。 3.一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。 4.①确定公因式： ②然后用每一项去除以公因式得另一因式。 5.确定公因式的方法。 七、作业布置P119页：习题14.3：第1、4：（1）。2、课课练 14.3.1提公因式法 板书 1.因式分解 . 3.pa＋pb＋pc=p(a＋b＋c） 设计 2.多项式的公因式. 4.确定公因式的方法. 教学 反思 2

课 题 备课人 课型 14.3.2 公式法（一） 王聚才 新授课 科 目 数学 课时安排 一课时 时间 1.会应用平方差公式进行因式分解,发展学生推理能力. 2.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆学习目标 向思维,感受数学知识的完整性. 3.培养学生良好的互动交流的习惯,体会数学在实际问题中的应用价值. 重点:利用平方差公式分解因式. 重点难点 难点:领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性. 课堂流程 一、观察探讨,体验新知 【问题牵引】 请同学们计算下列各式. (1)(a+5)(a-5);(2)(4m+3n)(4m-3n). 【学生活动】动笔计算出上面的两道题,并踊跃上台板演. (1)(a+5)(a-5)=a2-52=a2-25; (2)(4m+3n)(4m-3n)=(4m)2-(3n)2=16m2-9n2. 【教师活动】引导学生完成下面的两道题目,并运用数学“互逆”的思想,寻找因式分解的规律. 1.分解因式:a2-25;2.分解因式16m2-9n2. 【学生活动】从逆向思维入手,很快得到下面答案: (1)a2-25=a2-52=(a+5)(a-5). (2)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2 =(4m+3n)(4m-3n). 【教师活动】引导学生完成a2-b2=(a+b)(a-b)的同时,导出课题:用平方差公式因式分解. 平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b). 评析:平方差公式中的字母a、b,教学中还要强调一下,可以表示数、含字母的代数式(单项式、多项式). 二、范例学习,应用所学 例:把下列各式分解因式:(投影显示或板书) (1)4x2-y2; (2)（x+p)2-(x+q)2 (3)x4-y4; (4)a3b-ab (4)(5)m2(16x-y)+n2(y-16x). 【分析】在观察中发现1~5题均满足平方差公式的特征,可以使用平方差公式因式分解.

备注 3

【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解,请5位学生上讲台板演. 【学生活动】分四人小组,合作探究. 三、随堂练习,巩固深化 课本117页练习第1、2题. 【探研时空】 1.求证:当n是正整数时,n3-n的值一定是6的倍数. 2.试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除.连续偶数的平方差能被一个奇数整除. 四、课堂总结,发展潜能 运用平方差公式因式分解,首先应注意每个公式的特征.分析多项式的次数和项数,然后再确定公式.如果多项式是二项式,通常考虑应用平方差公式;如果多项式中有公因式可提,应先提取公因式,而且还要“提”得彻底,最后应注意两点:一是每个因式要化简,二是分解因式时,每个因式都要分解彻底. 五、布置作业,专题突破 课本119页习题14.3第2、4(2)、11题. 14.3.2公式法（一） 1.两个数的平方差，等于这两 个数的和与这两个数的差的积． 板书设计 a2-b2=(a+b)(a-b) 2. 例题解析： 3.小结： 课后反思 审阅 课 题 备课人 课型 14.3.2 公式法（二） 王聚才 新授课 科 目 数学 课时安排 一课时 时间 4

1.领会运用完全平方公式进行因式分解的方法,发展推理能力. 2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思学习目标 维的意义,掌握因式分解的基本步骤. 3.培养良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力. 重点:理解完全平方公式因式分解,并学会应用. 重点难点 难点:灵活地应用公式法进行因式分解. 课堂流程 备注 一、回顾交流,导入新知 【问题牵引】 1.分解因式: (1)-9x2+4y2;(2)(x+3y)2-(x-3y)2; (3)x2-0.01y2. 【知识迁移】 2.计算下列各式: (1)(m-4n)2;(2)(m+4n)2; (3)(a+b)2;(4)(a-b)2. 【教师活动】引导学生完成下面两道题,并运用数学“互逆”的思想,寻找因式分解的规律. 3.分解因式: (1)m2-8mn+16n2;(2)m2+8mn+16n2; (3)a2+2ab+b2;(4)a2-2ab+b2. 【学生活动】从逆向思维的角度入手,很快得到下面答案: 解:(1)m2-8mn+16n2=(m-4n)2; (2)m2+8mn+16n2=(m+4n)2; 222(3)a+2ab+b=(a+b); (4)a2-2ab+b2=(a-b)2. 【归纳公式】完全平方公式a2〒2ab+b2=(a〒b)2. 二、范例学习,应用所学 例1:把下列各式分解因式: (1)16x2+24x+9 (2)-x2+4xy-4y2 学生尝试分析，教师板书 例2:分解因式: (1)3ax2+6ax+3ay2 (3)(a+b)2-12(a+b)+36 分析：观察规律，有公因式先提取。整体思考思路 例3:如果x2+axy+16y2是完全平方,求a的值. 【分析】根据完全平方式的定义,解此题时应分两种情况,即两数和的平方或者两数差的平方,由此相应求出a的值,即可求出a3. 三、随堂练习,巩固深化 课本119页练习第1、2题.

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【探研时空】 1.已知x+y=7,xy=10,求下列各式的值. (1)x2+y2;(2)(x-y)2 四、课堂总结,发展潜能 由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反,因此把整式乘法公式反过来写,就得到多项式因式分解的公式,主要的有以下三个: a2-b2=(a+b)(a-b); a2〒ab+b2=(a〒b)2. 在运用公式因式分解时,要注意: (1)每个公式的形式与特点,通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定,是否可以用公式分解以及用哪个公式分解,通常是,当多项式是二项式时,考虑用平方差公式分解;当多项式是三项时,应考虑用完全平方公式分解; (2)在有些情况下,多项式不一定能直接用公式,需要进行适当的组合、变形、代换后,再使用公式法分解; (3)当多项式各项有公因式时,应该首先考虑提公因式,然后再运用公式分解. 五、布置作业,专题突破 课本119页习题14.3第3、5、8题. 14.3.2公式法（二） 1.完全平方式 3. 例： 板书设计 2.a2-b2=(a+b)(a-b); 4.小结： a2〒ab+b2=(a〒b)2. 课后反思 审阅 课 题 备课人 分解因式――十字相乘法 王聚才 科 目 数学 课时安排 一课时 时间 6

课型 新授课 1.进一步理解因式分解的定义； 2x2.会用十字相乘法进行二次三项式（pxq）的因式分解； 学习目标 3.通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。 重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（x2pxq）的 因式分解。 重点难点 难点：在x2pxq分解因式时，准确地找出a、b，使abp， abq。 课堂流程 一、提出问题，导入新课 议一议： 1.什么叫因式分解？ 2.至今为止你学会了哪几种因式分解？ 3.怎样把x26x9和x33x22x分解因式？ 4.x33x22x=x(x23x2)中的x(x23x2)是不是最后的结果呢？ 二、复习旧知，发现新知 算一算： 1.请同学们计算下列各题： （1）(x1)(x2) （2）(x2)(x3) （3）(x2)(x3) （4）(x2)(x3) （5）(x2)(x3) （6）(xa)(xb) 2.若把上面的等式的左右两边进行交换，即： （1）x23x2(x1)(x2) （2）x25x6(x2)(x3) （3）x2x6(x2)(x3) （4）x2x6(x2)(x3) （5）（6）x25x6(x2)(x3) x2(ab)xab(xa)(xb) 从上面可知：凡碰到的多项式都是二次三项式，且二次项的系数都为1。

备注 7

想一想： 1.以上等式从左到右是因式分解吗? 2.x23x2能分解吗？ 3.若二次三项式x2pxq中的qab，pab，则x2pxq的因式分解的结果是什么？ 动一动：在多项式x23x2分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。x2分解为 xx，常数项2分解21，把它们用交叉线来表示： +2 x x +1 所以x23x2(x1)(x2) 同样：x2pxq=x2(ab)xab(xa)(xb)可以用交叉线来+a 表示： x x +b 十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 做一做：如何用十字相乘法因式分解x25x6？学生尝试，小结。教师给出解题的格式。即 解：x25x6 =(x2)(x3) 三、精选例题，感受新知 例：分解因式： x x 2 3 （1）x27x12 （2）x24x12 （3）x28x12 （4）x211x12 解：略 （四）、巩固新知，运用提高 练一练：1.因式分解：（1）x2x6 （2）x25x6 （3）x2x6 （4）x23x4 （5）x23x4 2.（1）若多项式x28xm可分解为(x2)(x6)，则m的值

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为 . （2）若多项式x2kx12可分解为(x2)(x6)，则k的值为 . 3.思考题：若多项式x22xm可分解为(x3)(xn)，求m、n的值. 五、自主小结，达成共识 1.这堂课中你学到什么？你有什么感受？ 2.你还有什么问题需要解决。 六、布置作业 第121页练习题。 十字相乘法 板书设计 1.复习 2. 例题解析： 3.练习： 课后反思 审阅 课 题 备课人 课型 学习目标 重点难点 王聚才 复习课 1.能理解好因式分解的概念并能正确判别 2.会用提公因式法、运用公式法来分解因式 重点：熟练运用三种方法来进行因式分解 难点：因式分解三种方法的综合运用 课堂流程 一、知识回顾 1．什么叫做因式分解？ 2．怎样确定一个多项式的公因式？什么是提公式因法？ 3．因式分解中的平方差公式、完全平方公式是怎样的？

因式分解复习课 科 目 数学 课时安排 一课时 时间 备注 9

它们与整式的乘法中的公式有什么区别？ 设计意图：让学生自己把知识进行梳理，并且培养学生的语言表达 能力． 二、专项突破之一：对因式分解的理解 1．对象：因式分解是把一个多项式进行恒等变形； 2．方向：因式分解与整式的乘法是互逆的过程，具有方向性； 3．目标：是要把一个多项式化成几个整式的乘积； 4．最终：把一个多项式分解到不能再分解为止． 5．针对训练： (1)判断下列各等式从左至右是因式分解的是：________(填序号) 24x8x14x(x2)1； ①22②ab1(ab)(ab)1； 2t③163t(t4)(t4)3t； 2x④9(x3)(x3)． （2）下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）. A．a（a－b）＝a2－ab； B．a2－2a＋1＝a（a－2）＋1 C．x2－x＝x（x－1）； D．x2－111＝（x＋）（x－） yyyy（3）下列从左到右的变形，是分解因式的为( ) A.x2－x=x(x－1) B.a(a－b)=a2－ab C.(a+3)(a－3)=a2－9 D.x2－2x+1=x(x－2)+1 三、专项突破之二：提公因式法归类练习（课件投影） 2.提“一”号 1.提单项式 4.对比练习 3.提多项式 设计意图：公式中的每个数由单项式变成多项式，往往学生很难理

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解，在课堂教学中都可以象提公因式的第4种题型归类一样，做一个对比的训练，培养学生的整体思想，另外完全平方公式也可以象平方差公式一样进行题型归类。 四、专项突破之三：平方差公式（课件投影） 1.基本型练习 2.两个数都是单项式，需要改写练习 3.两个数都是多项式的练习 五、专项突破之四：完全平方公式（课件投影） 1.基本型练习 2.对比训练 六、综合练习与测评 1.若x2mx9是一个完全平方式，则m的值是 ； 2.分解因式： （1）8a3b212ab3c6a3b2c （2）8a(xa)4b(ax)6c(xa) （3）x5y3x3y5 （4）4(ab)216(ab)2 （5）8ax216axy8ay2 （6）m22nmn2m （7）a24a4c2 因式分解 板书设计 1.复习 2. 例： 3.练习： （8）(a21)24a2 11

课后反思 审阅

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