讲义 角平分线性质

人教版八年级上第十二章 全等三角形 12.6 角平分线性质及判定 教师： 学生： 时间： 知识回顾与新知识准备 【回顾要点】 复习提问 1、三角形全等的判定定理． 2、三角形全等图形及其变化 3、角平分线的定义？角平分线与三角形的角平分线有何区别？ 【知识准备】 （一）新课引入 1、活动1 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？（对折） 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ 2、活动2 如图 是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗? ∠DAC与∠BAC相等的依据是什么？ 3、活动3 如何做一个角的平分线？能否由以上的探究得出呢？ 尺规作角的平分线 已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。

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（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C． 2（3）作射线OC．射线OC即为所求（图11．3—2）． 4、活动4 平分平角∠AOB 二 定理证明 I． 已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PE=PD 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 由以上的证明可以得到 定理（1） 在一个角的内部，角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等. II 已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E, PE=PD 求证: 点P在∠AOB的平分线 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足， ∠PDO= ∠PEO=90° 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 OP=OP（公共边） PD=PE（已知） ∴Rt△PDO≌ Rt △PEO（HL) ∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上 定理(2):在一个角的内部，到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

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角平分线的性质一 【知识要点】 角平分线的性质1：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 如图，OC是∠AOB的平分线， ∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 【典型例题】 【例1】已知：如图，△ABC中 ∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF， 求证：CF=EB。 证明：∵ AD平分∠CAB ⊥ ，∠ ＝90°（已知） ∴ ＝ ( ) 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中, CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB ( ) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等） 举一反三： 1、已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC. 2、在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F。求证：点D在∠A的平分线上。 【例2】如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：DF＝EF. 证明：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB， DA3 ∴ ＝ （角的平分线的性质） ∵∠3＝∠1＋90°，∠4＝∠2＋90°， 1PO24FC ∴∠3＝∠4. 在△ 和△ 中， EB 3

_____________, 34,PF_______,∴△ ≌△ （ ）. ∴DF＝EF. 举一反三： 1、如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N。求证：PM=PN。 BDAMNCP 2、如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上取OA＝OB，点P在OD上，且PM⊥BD，PN⊥AD， 求证：PM＝PN B M D O P A N 【例3】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC， 求证：BE＝CF。 E举一反三：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF BDCF【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90。，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，AE=BC，DE⊥AB，垂足为E，AB=28， C求△DBE的周长. D

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AEB 举一反三： 1、如图(1)：已知OC是∠MON的平分线，Ｐ是ＯＣ上一点，Ｐ到OM的距离为３cm， 则Ｐ到ＯN的距离为 cm。 2、如图(2)，在△ABC中，∠Ｃ＝９０°，AD是角平分线，DE⊥AB于Ｅ，且DE=5.6，BC=11.8m， 则BD＝ cm。 3、如图(3)，在△ABＣ中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若∠Ｂ＝∠Ｃ， 写出你认为正确的两个结论： 角平分线的性质二 【知识要点】 角平分线的性质2：在一个角的内部，到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB PD=PE ∴OC是∠AOB的平分线， 【典型例题】 【例5】如图，已知在△ABC中，C90，点D是斜边AB的中点，AB2BC，DEAB 交AC于E． 求证：BE平分ABC． Ｂ Ｄ Ａ BEDＥ Ｃ 举一反三：如图，BE=CF，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E,BF和CE交于点D， 求证：AD平分∠BAC. CFA【例6】如图在△ABC中，∠B=∠C ,D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD平分∠BAC

BEAFCD5

【例7】如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB． (1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点； (2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC． 【例8】如图，△ABＣ的角平分线BM，CN相交于点Ｐ。求证：点Ｐ到三边AB，BC，CA的距离相等。 举一反三：如图，△ABＣ的∠B的外角平分线BD与∠Ｃ的外角平分线CE交于点Ｐ。 求证：Ｐ到三边AB、BC、CA所在的直线的距离相等。 你这堂课学到了什么？ 作业：总结所有学过全等图形及其变形

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