材料力学习题的答案解析

第二章 轴向拉伸与压缩 2-1 试求图示直杆横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并画出轴力图。 1 F 2 F 3 (a) F F=2kN 1 F 2 3 FN1 F FN2 FN3 F F F2 FN1= -2kN N (kN) + FN2 = 0kN 2 FN3= 2kN 1 F2=3kN 2 F3=25kN 3 (b) F1=18kN F4=10kN 1 2 3 18kN FN1 10kN F3kN N3 18kN FN2 10 + FN1= -18kN FN (kN) FN2= -15kN FN3= 10kN 18 15 完美WORD格式

2-2 图示中部对称开槽直杆，试求横截面1-1和2-2上的正应力。 12F...F=14kN1220102044 解： 1．轴力 由截面法可求得，杆各横截面上的轴力为 FNF14kN 2．应力 11FNA141034MPa175MPa 1120 F22N14103AMPa350MPa 2220104 专业资料整理

2-3 图示桅杆起重机，起重杆AB的横截面是外径为20 mm、内径为18 mm的圆环，钢丝绳BC的横截面面积为10 mm2。试求起重杆AB和钢丝绳BC横截面上的应力。 yBFB.45NBCC15o30oxFNABF .15F=2kN.A 解： 1．轴力 取节点B为研究对象，受力如图所示， Fx0： FNBCFNABcos30Fcos450 Fy0： FNABsin30Fsin450 由此解得： FNAB2.83kN， FNBC1.04kN 2．应力 起重杆横截面上的应力为 FABNAB2.83103AABMPa47.4MPa 4202182 钢丝绳横截面上的应力为 FNBC1.04103BCAMPa104MPa BC10 完美WORD格式

2-4 图示由铜和钢两种材料组成的等直杆，铜和钢的弹性模量分别为E1100 GPa和E2210 GPa。若杆的总伸长为Δl0.126 mm，试求载荷F和杆横截面上的应力。 2铜钢 1钢铜 40....F400600 解： 1．横截面上的应力 由题意有 llFl1l21EAFl2EAl1l2E1E2 12由此得到杆横截面上的应力为 l0.126lMPa15.9MPa 1El26004001E2100103210103 2．载荷 FA15.92440N20kN 专业资料整理

2-5 图示阶梯形钢杆，材料的弹性模量E200 GPa，试求杆横截面上的最大正应力和杆的总伸长。 4020 F=40kN A B C 400 800 40 FN (kN)  解： 1．最大正应力 由于杆各横截面上的轴力相同，故杆横截面上的最大正应力发生在BC段的任一横截面上，即 FmaxNA40103 MPa127.3MPa BC4202 2．杆的总伸长 llFlABlBCABFlBCEAABEABC FlABFlBC4FlABl Ed2ABdBC2EEBCd2ABdBC244 440103200103400402800202mm0.57mm 完美WORD格式

2-6 图示电子秤的传感器为一空心圆筒形结构，圆筒材料的弹性模量E200 GPa。在秤某一沿圆筒轴向作用的重物时，测得筒壁产生的轴向线应变49.8106。试求此重物的重量G。 PG ..9.80解： 圆筒横截面上的轴力为 FNG 由胡克定律 EGEA 可以得到此重物的重量为 G EA 49.8106200103480280922N 20kN 专业资料整理

3-2 图示油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径第三章 材料的力学性质 拉压杆的强度计算 3-1 图示水压机，若两根立柱材料的许用应力为[]80 MPa，D350 mm，油压p1 MPa。若螺栓材料的许用应力[]40 MPa，试求螺栓的内径。 .试校核立柱的强度。 ..工件...80.F=600kN 解： 立柱横截面上的正应力为 F26001032A8024MPa59.7MPa[] 所以立柱满足强度条件。 完美WORD格式

F.pD...... 解： 由于内压的作用，油缸盖与缸体将有分开的趋势，依靠六个螺栓将它们固定在一起。 油缸盖受到的压力为 pD2 F4 由于6个螺栓均匀分布，每个螺栓承受的轴向力为 FF1D2N66p4 由螺栓的强度条件 1D2 FpNA64d2pD26d2≤[] 4可得螺栓的直径应为 d≥p16[]D640350 mm22.6mm 专业资料整理

3-3 图示铰接结构由杆AB和AC组成，杆AC的长度为杆AB长度的两倍，横截面面积均为A200 mm2。两杆的材料相同，许用应力[]160 MPa。试求结构的许用载荷[F]。 yCFB4530NABFNACAxAFF 解： 由Fx0： FNACsin30FNABsin450 可以得到： FNAC2FNABFNAB 即AC杆比AB杆危险，故 FNAC[]A160200 N32kN F1NAB2FNAC162kN 由Fy0： FNABcos45FNACcos30F0 可求得结构的许用载荷为 [F]43.7kN 完美WORD格式

3-4 承受轴力FN160 kN作用的等截面直杆，若任一截面上的切应力不超过80 MPa，试求此杆的最小横截面面积。 解： 由切应力强度条件 Fmax2N2A≤[] 可以得到 A≥FN2[]160103280mm21000mm2 专业资料整理

3-5 试求图示等直杆AB各段内的轴力。 yFAFAFAAaCFNAC2F2a2F2FFNDBDFBaFFNCDFBFB 解： 为一次超静定问题。设支座反力分别为FA和FB 由截面法求得各段轴力分别为 FNACFA，FNCDFA2F， FNDBFB ① 静力平衡方程为 Fy0： FA2FFFB0 ② 变形协调方程为 llAClCDlDB0 ③ 物理方程为 lFACNACaEA， lFNCD2aEA，lFaCDDBNDBEA ④ 由①②③④联立解得：F75A4F，FB4F 故各段的轴力分别为：F7F5NAC4F，FNCD4，FNDB4F。 完美WORD格式

3-6 图示结构的横梁AB可视为刚体，杆1、2和3的横截面面积均为A，各杆的材料相同，许用应力为[]。试求许用载荷[F]。 ED2lFyllACBFNADFNCE FNBFaaFF 解： 为一次超静定问题。 由对称性可知，FNADFNBF，lADlBF。 ① 静力平衡条件： Fy0： FNADFNCEFNBFF0 ② 变形协调条件： lADlCE 即 FNADlFNCE2lEAEA 即 FNAD2FNCE ③ 由①②③解得：FF2NADNBF2FNCE5F 由AD、BF杆强度条件2F5ADBFA≤[]，可得该结构的许用载荷为 [F]52[]A 专业资料整理

3-7 图示铰接正方形结构，各杆的材料均为铸铁，其许用压应力与许用拉应力的比值为[c][t]3，各杆的横截面面积均为A。试求该结构的许用载荷[F]。 FNFBADFNFa(a)DFNCBFNaF＇FN (b) 解： B点受力如图(a)所示，由平衡条件可得：FNF2 由对称性可知，AD、BD、AC、BC四杆受拉，拉力均为F2，由拉杆的强度条件 F2tA≤[t] 可得 F≤2[t]A ① D点受力如图(b)所示，由平衡条件可得：F＇N2FNF CD杆受压，压力为F，由压杆的强度条件 FcA≤[c]3[t] 可得 F≤3[t]A ② 由①②可得结构的许用载荷为[F]2[t]A。 完美WORD格式

3-8 图示横担结构，小车可在梁AC上移动。已知小车上作用的载荷F15 kN，斜杆AB为圆截面钢杆，钢的许用应力[]170 MPa。若载荷F通过小车对梁AC的作用可简化为一集中力，试确定斜杆AB的直径d。 B0.8mFACANABCxFF1.9m 解： 由几何关系，有sin0.80.388 0.821.92 取AC杆为研究对象 MC0： FNABsin1.9Fx0 由此可知：当x1.9 m时， FF15NABFNABmaxsin0.388kN38.66kN 由 FABmaxNABmaxd24≤[] 可得 d≥4FNABmax438.66103 []170mm17mm 专业资料整理

3-9 图示联接销钉。已知F100 kN，销钉的直径d30 mm， 3-10 图示凸缘联轴节传递的力偶矩为Me200 Nm，凸缘之材料的许用切应力[]60 MPa。试校核销钉的剪切强度，若强度不够，应改用多大直径的销钉。 F...d.F 解： 1．校核销钉的剪切强度 F22F2100103d24d2302MPa70.7MPa[] ∴ 销钉的剪切强度不够。 2．设计销钉的直径 由剪切强度条件F2d24≤[]，可得 d≥2F2100103[]60mm32.6mm 完美WORD格式

间用四个对称分布在D080 mm圆周上的螺栓联接，螺栓的内径d10 mm，螺栓材料的许用切应力[]60 MPa。试校核螺栓的剪切强度。 n螺栓....M.e.....D0..Me.....n截面n-n 解： 设每个螺栓承受的剪力为FQ，则由 FDQ024Me 可得 FMQe2D 0 螺栓的切应力 Me FQ2D02Me2200103Ad2d2D2MPa15.9MPa[] 010804∴ 螺栓满足剪切强度条件。 专业资料整理

3-11 图示矩形截面木拉杆的接头。已知轴向拉力F50 kN，截面的宽度b250 mm，木材顺纹的许用挤压应力[bs]10 MPa，顺纹的许用切应力[]1 MPa。试求接头处所需的尺寸l和a。 FbFall 解： 1． 由挤压强度条件 Fbsab≤[bs] 可得 F50103a≥b[mm20mm bs]250102． 由剪切强度条件 Fbl≤[] 可得 l≥F50103b[]2501mm200mm 完美WORD格式

3-12 图示螺栓接头。已知F40 kN，螺栓的许用切应力[]130 MPa，许用挤压应力[bs]300 MPa。试求螺栓所需的直径d。 F..10...20F..10d 解： 1． 由螺栓的剪切强度条件 F2d24≤[] 可得 d≥2F240103[]130mm14mm 2． 由螺栓的挤压强度条件 Fbsd20≤[bs] 可得 d≥F20[]4010320300mm6.7mm bs综合1、2，螺栓所需的直径为d≥14mm。 专业资料整理

3-13 图示结构的AB杆为刚性杆，A处为铰接，AB杆由钢杆BE与铜杆CD吊起。已知CD杆的长度为1 m，横截面面积为500 mm2， 3-14 由两种材料粘结成的阶梯形杆如图所示，上端固定，下端与地面留有空隙0.08 mm。铜杆的A140 cm2，E1100 GPa，116.5106 C1；钢杆的A220 cm2，E2200 GPa，铜的弹性模量E1100 GPa；BE杆的长度为2 m，横截面面积为250 mm2，钢的弹性模量E2200 GPa。试求CD杆和BE杆中的应力以及BE杆的伸长。 E FNCD FNBE D A C B A 1m 0.5m 0.5m ΔlCD F=200 kN F ΔlBE 解：为一次超静定问题。 静力平衡条件： MA0： FNBE2FNCD12001.50 ① 变形协调方程：lBE2lCD 即： FNBE2FE2NCD1 2A2E1A1即： FNBEFE2A22002501 ② NCDE1A1100500由①②解得：FNBEFNCD100kN 各杆中的应力： 100103BE250MPa400MPa 100103 CD500MPa200MPa 钢杆伸长： l400BEBElBEBEElBE2103mm4mm 2200103 完美WORD格式 212.5106 C1，在两段交界处作用有力F。试求： (1) F为多大时空隙消失； (2) 当F500 kN时，各段内的应力； (3) 当F500 kN且温度再上升20C时，各段内的应力。 F1 .1铜铜 .1mFF 2钢钢 ..2mF 2 解： 1．由Fl1E可得 1A1 FE1A10.0810010340l102N32kN 11103 2．当F500kN时，空隙已消失，并在下端产生支反力，如图所示，故为一次超静定问题。 (1) 静力平衡方程 Fy0： F1F2F0 即 F1F2500103 ① 专业资料整理

(2) 变形协调方程： F1l1F2l2EA 11E2A2 F11103F22103即：10010340102200103201020.08 即： F12F232 ② 由①②解得： F1344kN， R2156kN 344103140102MPa86MPa 156103220102MPa78MPa 3．当F500kN且温度再上升20℃时，仍为一次超静定问题，此时静力平衡方程仍为①式，而变形协调方程为 F1l1EAF2l2A1tl12tl2 11E22即 F11103F221031001034010220010920104 16.510620110312.51062021030.08即： F12F2300103 ③ 由①③解得： F1233.3kN， R2266.7kN ∴ 233.3103140102MPa58.3MPa 266.7103220102MPa133.4MPa 完美WORD格式

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第五章 梁的基础问题 5-1 试用截面法求图示梁中nn横截面上的剪力和弯矩。 (a) (b) A n FC 1=8kN F2=6kN n q=4kN/m n B A n B C 1m 1m 2m FAy 2m 2m 2m 8kN 6kN 4kN/m M FO O Q 6kNM FQ 解： (a) 将梁从n-n横截面处截开，横截面的形心为O，取右半部分为研究对象，设n-n横截面上的剪力弯距方向如图所示。 Fy0： FQ860， FQ14kN MO0： M81630， M26kNm (b) 对整个梁 MB0： FAy44610， FAy6kN 将梁从n-n横截面处截开，横截面的形心为O，取左半部分为研究对象，设n-n横截面上的剪力弯距方向如图所示。 Fy0： 642FQ0 FQ2kN MO0： 62421M0 M4kNm 完美WORD格式

5-2 试用截面法求图示梁中1-1横截面和2-2横截面上的剪力和弯矩。设1-1横截面和2-2横截面无限接近于载荷作用位置。 (a) F(b) MA 1 2 1 2 e 1 2 B A 1 2 B FAy Fl/2 l/2 By FAy Fl/2 l/2 By M1 M2 M1 M2 F/2 FQ1 FQ2 F/2 Me /l FQ1 FQ2 Me /l 解： (a) 以整个梁为研究对象，求得支反力： FFAyFBy2 由截面法，分别以1-1横截面的左半部分和2-2横截面的右半部分为研究对象， 求得： FFFlQ12， M14 FFFlQ22， M24 (b) 以整个梁为研究对象，求得支反力： FMMAyel，FByel 由截面法，分别以1-1横截面的左半部分和2-2横截面的右半部分为研究对象， 求得： FMMQ1e， M1el2 FMel，MQ2 M2e2 专业资料整理

5-3 试写出图示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。 (a) Me=12kN·m x F=10kN A x B C x FAy 3m 3m FBy 7 FQ(kN) 9 3 M(kN·m) 12 解： 1．求支反力 MC0： FAy6121030， FAy7kN Fy0： FAyFBy100， FBy3kN 2．列内力方程 F7 kN 0x3Q(x)3 kN 3x6 M(x)7x12 kNm 0x33(6x) kNm 3x6 3．作内力图 完美WORD格式 (b) x q x ql A B C FAy l FBy l/2 ql FQ ql M ql2/2 解： 1．求支反力 M1lB0： FAyl2ql2ql20， FAy0 Fy0： FAyFByqlql0， FBy2ql 2．列内力方程 Fqx 0xlQ(x)ql lx3l2 qx2 M(x)2 0xlql(3l2x) lx3l2 3．作内力图 专业资料整理

5-4 试画出图示梁的剪力图和弯矩图。 (a) (b) 2F Fa qa2 q A B C A B C a a a a 解： 2F 2qa FQ FQ Fa qa2/2 M M Fa qa2 qa2/2 完美WORD格式

(c) q A C B FAy=3ql/8 F By=ql/8 l/2 l/2 解： FQ 3ql/8 3l/8 ql/8 9ql2/128 M ql2/16 (d) q F=20kN q=30kN/m A C D E B FCy=40kN FEy=40kN 1m 1m 1m 1m 30 FQ (kN) 10 30 10 M(kN·m) 5 15 15 专业资料整理

5-5 试用FQ、M与q之间的微分关系判断图示梁的内力图形态，(b) 画出内力图，并求出FQ和Mmax。 (a) maxqACBqaa FQ qa M qa2/2 qa2 解： FQ图： AC段：q为常数，且q0，FQ图从左到右为向下的斜直线，M图为向上凸的抛物线。 M图： CB段：q为常数，且q0，FQ图从左到右为向上的斜直线，M图为向下凹的抛物线。 在C截面处，FQ图连续，M图光滑。 完美WORD格式

qqa2ACB2aa FAy FBy 5qa/3 FQ 5a/3 qa/3 25qa2 4qa2183 2 M qa 解： 1．求支反力 M5qaB0： FAy3aq2a2aqa20， FAy3 Fy0： FAyFByq2a0， FByqa3 2．判断内力图形态并作内力图 FQ图: AC段：q为常数，且q0，FQ图从左到右为向下的斜直线，M图为向上凸的抛物线，在距A端53a截面处，M取极大值。 M图： CB段：q0，FQ图为水平直线，且FQ0，M图从左到右为向下的斜直线。 在C截面处，FQ图连续，M图光滑。 专业资料整理

(c) qAP=qaF Ba(d) . Mme=8kN mADaq=6kN/mD4mBCaC1m1mFAy FByFAy FBy 2qa FQ qa 3qa2/2 qa2 M 解： 1．求支反力 MB0：FAy3aq2a2aqa2a0， FAy2qa Fy0： FAyFByq2aqa0， FByqa 2．判断内力图形态并作内力图 FQ图: AC段：q为常数，且q0，FQ图从左到右为向下的斜直线，M图为向上凸的抛物线。C截面处，有集中力F作用，FQ图突变，M图不光滑。 M图： CD段：q为常数，且q0，FQ图从左到右为向下的斜直线，M图为向上凸的抛物线。 DB段：q0，FQ图为水平直线，且FQ0；M图从左到右为向下的斜直线。 完美WORD格式

9.3 FQ(kN) 2.45 18.0 M(kNm) 9.3 14.7 1.3 解： 1．求支反力 MB0： F1Ay6826420，FAy9.3 kN Fy0： FAyFBy640， FBy14.7 kN 2．判断内力图形态并作内力图 FQ图： AD段，q0，为水平直线； DB段，q0，从左到右为向下的斜直线。 M图： AC段，q0，且FQ0，从左到右为向上的斜直线； C截面处，有集中力偶Me作用，有突变； CD段，q0，且FQ0，从左到右为向上的斜直线，且与AC段平行； DB段，q0，为向上凸的抛物线； 在距B端2.45m截面处，FQ0，M取极大值。 专业资料整理

5-6 图示起吊一根单位长度重量为q（kN/m）的等截面钢筋混凝土梁，要想在起吊中使梁内产生的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等，应将起吊点A、B放在何处（即a?）？ 解： F=ql 作梁的计算简图如图（b）所示，作梁的弯矩图，图（c）所示。 由MmaxMmax， A B 即 ql8l4aqa22 a 2l a 即 a2lal40 q 由此求得上述方程的非负解为 a212l0.207l ql/2 ql/2 ql2 2l2aql22 M qa2qa2 22 完美WORD格式

5-7 图示简支梁受移动载荷F的作用。试求梁的弯矩最大时载荷F的位置。 F A B x l xlxM lF 解： 设载荷F移动到距A支座为x位置，梁的弯距图如图（b）所示梁的最大弯矩发生在载荷F所在截面，其值为 1、 求支反力 MxB0：FAylF(lx)0，FAyllF 2、做M图，并求Mmax MmaxxlxxlF 3、求Mmax最大时的位置 由 dMmaxxdxFll2x0 由此求得 xl2 即：当移动载荷F位于梁的中点时梁的最大弯矩Mmax达到最大。 专业资料整理

5-8 长度l250 mm、横截面宽度b25 mm、高度h0.8 mm的薄钢尺，由于两端外力偶矩的作用而弯成中心角为60的圆弧。已知钢的弹性模量E210 GPa，试求钢尺横截面上的最大正应力。 5-9 图示矩形截面简支梁。试求1-1横截面上a、b两点的正应力和切应力。 1075 解： 根据题意 l， 1MEI z可以得到 MIEEl z故钢尺横截面上的最大正应力为 MymaxEhmaxIzl2 210103 30.82502 MPa 351.9 MPa 完美WORD格式

8kNb.A1.1B150a..100040FAy 12001000 解： 1．求1-1横截面上的剪力和弯矩 M40B0： FAy2.2810， ∴FAy11 kN 截面上的剪力和弯矩为：F40Q1111 kN，M114011 kNm 2．求1-1横截面上a、b两点的应力 Iz751503mm421.110612mm4 40150Mya11a11106240I21.110MPa6.0 MPa z640FaQ11S*z1110375401502402bIz7521.1106 MPa0.4 MPa40106150bM11yb112I21.1106MPa12.9 MPa zb0 专业资料整理

5-10 为了改善载荷分布，在主梁AB上安置辅助梁CD。若主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为Wz1和Wz2，材料相同，试求a的合理长度。 F C D A B laaala2222 m m Fa 4 MCD Fla4 MAB 解： 1．作主梁AB和辅助梁CD的弯矩图 2．求主梁和辅助梁中的最大正应力 主 梁： MABmaxABmaxFlaW4W z1z1辅助梁： MCDmaxCDmaxFaW z24Wz2 3．求a的合理长度 最合理的情况为 ABmaxCDmax 即： Fla4WFa z14Wz2由此求得： aWz2Wl z1Wz2 完美WORD格式

5-11 钢油管外径D762 mm，壁厚t9 mm，油的重度18.3 kN/m3，钢的重度276 kN/m3，钢管的许用正应力[]170 MPa。若将油管简支在支墩上，试求允许的最大跨长l。 q l d ql2/8 D 解： 1．油管的内径dD2t744mm 作油管的受力简图如图所示，其中 2qd2d2) 14(D24 8.37442410676(76227442) 6410 kN/m 5.2 kN/m 2．求允许的最大跨长l IzD464d446476274441012 m4 1.51103m4 ql2由DmaxMmaxymaxI82zIql2D16I≤[]，得到 zz l≤16Iz[]161.51103170106 qD5.23103762103 m32.1 m ∴ 允许的最大跨长为32.1 m。 专业资料整理

5-12 图示正方形截面悬臂木梁承受均布载荷作用。已知木材的许用正应力[]10 MPa。现需要在梁的C截面中性轴处钻一直径为d的圆孔，试问在保证该梁强度的条件下，圆孔的最大直径d可达多少（不考虑圆孔处应力集中的影响）？ 2kN/m 5kN 160 A B d z 250 C 1000 y C-横截面 解： 要保证在C截面钻孔后的梁的强度条件，即要求C横截面上的最大正应力不超过材料的许用正应力，故 M2501031C510002100025022106 kNm 4.3 kNm 1601603160d3 I1212 mm440z31603d3 mm4 y160max2mm80 mm 由My3maxCmaxIzMCymax401603d3 ≤[]，可得 d≤316033MCymax40[]mm 3160334.3106804010 mm115 mm 5-13 图示T形截面铸铁梁。已知铸铁的许用拉应力 完美WORD格式 [t]40 MPa，许用压应力[c]160 MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，将横截面由T形倒置成形，是否合理？为什么？ q=10kN/m 200 A B F=20kN 30 C D zC 30kN 10kN 2m 3m 1m 200 M(kN·m) 10 30 yC y 解：20 1．求支反力，作弯矩图，并求yC和IzC y2003021520030100C2003020030mm157.5 mm 3 I20030zC122003057.52302003122003057.52mm4 60.1106 mm4 2．强度校核 B截面：Bt2010672.5B上I MPa24.1MPa[zCt] Bc20106157.5B下IMPa52.4MPa[zCc] C截面： Ct10106157.5C下IMPa26.2MPa[zCt]1010672.5CcC上IMPa12.1MPa[c] zC 3．若横截面由T形倒置成形时，BtB上B下52.2 MPa[t]，∴不合理。 5-14 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F5 kN， 专业资料整理

a1.5 m，木材的许用正应力[]10 MPa。试确定当抗弯截面系数最大时矩形截面的高宽比h/b以及锯成此梁所需木料的最小直径d。 由三块50 mm100 mm的木板胶合而成，如图所示，图中z轴为中性轴，胶合缝的许用切应力[]0.35 MPa。试按胶合缝的切应力强度条 F F A B C D h a 3a a z y M Fa b d 解： 1．作弯矩图 2．求高宽比 W11z6bh26bd2b2 由dWzdb0，求得 bd3，hd2b22b ∴ 抗弯截面系数最大时的高宽比为：hd3b2，此时，Wz93 3．求所需材料的最小直径 由M93FamaxmaxWd3≤[]，得到 z d≥393Fa39351031.5103 []10 mm227 mm 5-15 一悬臂梁长为900 mm，在自由端受集中力F作用，此梁 完美WORD格式

件确定许用载荷[F]，并求在此载荷作用下梁的最大正应力。 F 5050zFQ F 50M yFl 100 解： 1．求许用载荷 Ibh31001503z1212mm428.1106 mm4 S*z1005050mm325104 mm3 由胶合缝的切应力强度条件 FQS*zbIFS*zzbI≤[]，得到 z F≤[F]bIz[].35S*10028.11060z25104 N3934 N 2．求梁的最大弯曲正应力 150 Mmaxmaxymax39349002Iz28.1106 MPa9.45 MPa 5-16 若图示梁的许用正应力[]160 MPa，许用切应力 专业资料整理

[]100 MPa，试选择工字钢的型号。 10kN/m 4kN A B C FAy=18kN FBy=26kN 4m 2m F18 Q ( kN ) ⊕4 1.8m 16.2 22 M(kN·m) 8 解： 1．求支反力，作剪力图和弯矩图。 FQmax22 kN，Mmax16.2 kNm 2．按正应力强度条件选择工字钢型号 由MmaxmaxW≤[]，得到 z WM2106z≥max16.[]160mm3101.25 cm3 查表选No14工字钢，其 Wz102 cm3，b5.5 mm，IzS*zmax12.0 cm 3． 切应力强度校核 FQS*maxmaxzmaxbIFQmax103zbIzS*22zmax5.5120 MPa33.3 MPa[] 满足切应力强度条件。 ∴ 选择No14工字钢。 5-17 图示木梁受移动载荷F40 kN作用。已知木材的许用正 完美WORD格式

应力[]10 MPa，许用切应力[]3 MPa，l1 m，木梁的横截面为矩形截面，其高宽比h/b3/2。试选择此梁的横截面尺寸。 F PbABhxz1my F(1-x) FQ 解： Fx(1-x) Fx 1．求Mmax和FQmax M 当移动载荷F位于任一位置x时，梁的剪力图和弯矩图如图所示，MˆmaxxFx1x 令Mˆmaxx0，求得：当x0.5 m时，MmaxMˆmax(x)maxF4 当x0或x1 m时，FQmaxF 2．选择截面 由正应力强度条件MmaxmaxWFl49Fl2h3≤[]，可得 zbh649Fl33940101103 h≥34[]410 mm208 mm 由切应力强度条件3FQmaxmax2A3F2bh9F4h2≤[]，可得 h≥9F4[]940103 43 mm173 mm ∴ h≥208 mm，b2h3≥139 mm。 5-18 试问在用积分法求图示梁的变形时有几个积分常数？ 专业资料整理

试列出相应的边界条件和连续性条件。 (a) 四个 当x0时， Me Me yA 1A0，1A0； 当xa时， 1 C B 2 y1Cy2C，1C2C。 a a (b) 六个 (a) 当xa时， yF q Me 1Ay2A0，1A2A； A B 当xab时， y1 2 C 3 2By3B0， a b a 2B3B。 (c) 六个 (b) 当x0时， yA 1 B 2 C 3 F D 1A0，1A0； 当xa时， a b y1By2B； l 当xab时， (c) y2Cy3C0， C 2C3C。 (d) 二个 q l1 当x0时，yA0， A B 当xl时，yqllBl11l 2E 1A1(d) 5-19 试用积分法求图示外伸梁的A、B及yA、yD，设梁的 完美WORD格式

抗弯刚度EI为常数。 x F=ql/2 q A B D C x l/2 l/2 l y 解： AB段(0xl2)： EIy1Mx12qlx EIy114qlx2C1 EIy1112qlx3C1xD1 BC段(l3l2x2)： 2 EIy132Mx2ql13l2x4ql2x 32 EIy216q3l2x18ql3l2xC2 143 EIy224q3l2x124ql3l3l2xC22xD2 边界条件： 13 当xl2时，yll10： 12ql2C12D10 ① 专业资料整理

y120： 24ql4124ql4C2lD20 ② 当x3l2时，y20：D20 ③ 连续性条件： 2 xl2 ，1l1112： 4ql2C16ql38ql3C2 ④ 由①②③④求得：C512D20，C4148ql3，D124ql。 ∴转角和挠曲线方程为 AB段：yql25ql314EIx48EI yql35ql3ql4112EIx48EIx24EI 32BC段：y2q3lql3l6EI2x8EI2x 43 yq3lql3l224EI2x24EI2x 由此可得到： 5ql3Ay1x048EI ， By1ql3xl， 224EI yAyql41x0 ， yDql424EIy2xl384EI。 完美WORD格式

5-20 试用叠加法求图示梁指定截面的挠度和转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。 (a) A,yC FMeACBl/2l/2 解： 1．当F单独作用时，查表得 Fl2 AF16EI yFl3 CF48EI 2．当Me单独作用时，查表得 MAMelFl2 e6EI6EI yM2CMelFl3e16EI16EI 3．当F和Me共同作用时， Fl2Fl211Fl2 AAFAMe16EI6EI48EI yFl3Fl3Fl3 CyCFyCMe48EI16EI12EI 专业资料整理

(b) C,yC q F=qa A B C a a BqyCq F Me=Fa BMe F CF1 解： 1．当q单独作用时，查表得 qa3qa4 CqBq24EI， yCqBqa24EI 2．当F单独作用时，查表得 qa2aqaa25qa3CFBMeCF13EI2EI6EI yyqa3qaa32qa4CFBMeaCF13EIa3EI3EI 3．当q和F共同作用时， qa35qa319qa3CCqCF24EI6EI24EI yqa42qa45qa4CyCqyCF24EI3EI8EI 完美WORD格式

5-21 欲在直径为d的圆木中锯出抗弯刚度最大的矩形截面梁。试求该截面高度h和宽度b的合理比值。 .d d..h.b 解： 欲使抗弯刚度EIz最大，当E一定时，即要求Iz最大。 方法一： bh3 I1z12d2h2h312 由 dIz3d24h2h2dh0 12d2h2得到 h32d，bd2h212d ∴ 高度与宽度的合理比值为：hb3。 方法二： 3 Ibh3dcosdsind4cossin3z121212 dIzdd4由12sin4cos3sin2cos d4 12sin2cos2tan230 和 090 得到高度与宽度的合理比值为：hbtan3 专业资料整理

5-22 已知一钢轴的飞轮A重F20 kN，轴承B处的许用转角[B]0.5，钢的弹性模量E200 GPa。试确定轴的直径d。 （a） A B d C F=20kN a=1m b=2m （b） F （c） Fa F 解： 1．作轴的受力简图，如图(b)所示 2．由刚度条件确定轴的直径 由图(c)， FabFab1803EI6064FabB424≤[B] 3EdEd64可得 6064Fab3d≥446064201011032103 2E[]2103 mm112 mm B2000.5 完美WORD格式

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5-23 试用叠加法画出图示梁的弯矩图。

A C F=ql/4 B q D l/2 l/2 (a) l/2 ql/4 q ql/4 q = 3ql/4 ql/2 ql/8 FQ ql/4 M ql2/8 ql/8 ql/8 + ql/8 5ql/8 ql/2 = ql/8 ql2/16 + ql/8 = + ql2/8

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q A C B qa a 2a (b) q 3qa2 qa qa 2qa Fqa Q M 2qa2 3qa2 完美WORD格式

= qa2 + qa qa = + qa qa2 = + q 4qa2 2qa 2qa 2qa2 4qa2

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5-24 图示桥式起重机大梁上小车的每个轮子对大梁的压力均为F，小车的轮距为d，大梁的跨度为l。试问小车在什么位置时梁内的弯矩最大？其最大弯矩值等于多少？最大弯矩在何截面？ xd解： AB1．求支反力，作弯矩图 FF当小车的左轮运动到距梁左端 lA为x位置时，由 MFAy FBy A0： FxF(xd)FMC MD Byl0 得 F2xdBylF M + 由 Fy0： 2FFAyFBy0 得 F2l2xdAylF MxCFAyx(2l2xd)lF MF(lxd)(2xd)(lxd)DBylF M(Fl2xdCAyF)dMClFd 2．求最大弯矩及其所在截面和小车的位置 当l2xd0，即xld2时，小车右轮所在截面(即C截面)上的弯矩为最大弯矩，即MmaxMC 2令dMC2l3d(2ld)dx0，得x4，故此时Mmax8lF 当l2xd0，即xld2时，小车左轮所在截面(即D截面)上的弯矩为最大弯矩,MmaxMD dM2令Ddx0，得x2ld(2ld)4，故此时Mmax8lF 完美WORD格式

5-25 图示外伸梁用№25a工字钢制成，其跨长l6 m，且在全梁上受集度为q的均布载荷作用。当支座处的截面A、B以及跨中截面C上的最大正应力均为140 MPa时，试问外伸部分的长度a及载荷集度q各等于多少？ qDACBEzl/2yala ql22a24 M 解： qa2/2 qa2/2 1．求支反力，作弯矩图 由对称性可得， Fq(lAyFBy2a) 2．确定a和q 查表得：No25a工字钢的Iz5020 cm4，h250 mm。 对截面A、B： 由qa22h2AmaxBmaxIqa2h，得到 z4Iz qa24Izh41401065020108250103Nm1.124105 Nm ① 对截面C： ql24a2由2h2Cmaxq9a2hI，得到 z4Iz 专业资料整理

4Iz1.12105 Nm ② h由①②解得：q24.9 kN/m，a2.12 m。 q9a2 MDx6x108x 5-26 图示起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机的自重19m时，梁的最大弯矩为 6 MmaxMD(19/6)140.2 kNm (x)0，求得当x 令MDG50 kN，最大起重量P10 kN。钢的许用正应力[]160 MPa， 一根工字钢承担的弯矩为 140.2 M kNm70.1 kNm 许用切应力[]100 MPa。试先不考虑梁的自重影响按正应力强度条件选择工字钢型号，然后再考虑梁的自重影响进行强度校核。 F P4mAGB1m1m 10m 解： 1．求支反力，作弯矩图 C D P 由起重机的平衡，得FCy G FDy 到 F10kN 50kN Cy10 kN FDy50 kN FAy x FBy 当起重机的C轮运动到距梁左端为x位置时，由梁AB的平衡，得到 (50-6x)x(6x+10)(8-x) FAy506x M FBy6x10 2．按正应力强度条件选择工字钢型号 由于FDyFCy，所以梁中的最大弯矩发生在D截面 完美WORD格式

max2由正应力强度条件Mmaxmax1W≤[]，得到 z WMz≥max[]70.1106160 mm3438.75 cm3 查表选No28a工字钢，其 Wz508 cm3，IzS*z24.6 cm，b8.5 mm。 3．考虑梁的自重时强度校核 查表得No28a工字钢的理论重量为43.492kg/m，两根工字钢的重量相当于q851N/m的均布载 10kN 50kN 荷，其受力简图和相应的内力图如0.852kN/m 右图所示。 当起重机的C轮运动到距梁FAy F左端A为x位置时，得到 x By F.266x 54.26-6xAy54 54.26-6.85x Fx14.26 44.26-6.85By6Fx Q 42.56-6.85x （1）正应力强度条件校核 6.85x+7.44M Dx6.43x10.858x 6x+14.26 令MD(x)0，求得当(54.26-6.43x)x(6.43x+10.85)(8-x)x3.16m时，梁的最大弯矩为 MMmaxMD(3.16)150.9 kNm 一根工字钢承担的弯矩为 专业资料整理

Mmax1150.9 kNm75.5 kNm 2Mmax75.43106maxMPa148.5MPa[] Wz508103 yxl0 3 因为 EIyMx 故要求 M2MeAlMMeBl MeAMeB0 （2）切应力强度条件校核 当起重机的D轮运动到梁右端B，即x8 m时，梁的剪力最大，即 FQmaxFByx86814.26 kN62.26 kN 一根工字钢承受的最大剪力为FFQmaxQmax1231.13 kN FQmax131.13103maxbIS* MPa14.9 zz8.5246MPa[] ∴ 满足强度要求。 5-27 图示简支梁的左右支座截面上分别作用有外力偶矩MeA和MeB。若使该梁挠曲线的拐点位于距左端支座l/3处，试问MeA和MeB应保持何种关系？ MeAMeBABFAy l 解：由MB0可求得FAyMeAMeBl 故梁的弯矩方程为 MxFMAyxMeAeAMeBlxMeA 在拐点处有 完美WORD格式

3l3eA3即两外力偶矩之间的关系为 MeB2MeA 5-28 图示弹簧结构中a450 mm，弹簧的平均半径R80 mm，簧丝直径d20 mm，圈数n7，材料的切变模量G80 GPa。在载荷F190N和F2220N作用下，若梁段CDE的端点E的位移等于弹簧伸长的1.5倍，试求梁段CDE的抗弯刚度EI。90N220NABCDF F FEByCyDy 450450450450 解： 1．求支反力 对梁段ABC的由Mc0可得 FBy180 N 对梁段CDE的由Mc0可得 FDy440 N 对整个梁，由Fy0可得 FCy310 N 2．求弹簧的伸长 64FCyR3n64310803Gd4780103204mm5.6 mm 3．求E点的位移 专业资料整理

考虑梁段CDE (a) 先将C点看作固定铰支座 由叠加法 yFEF1Da2aaF3 2a3EIa3EI F3 yEF22a3EI y2F3 EFyEF1yEF22a3EI (b) 由弹簧伸长引起的E点位移 yE (c) E点的总位移 yy2Fa3EEFyE3EI 4．求梁段CDE的抗弯刚度 根据题意 yE1.5 由①②式求得 4F2a342200.453 EI335.6103Nm24.8 kNm2 完美WORD格式

5-29 图示悬臂梁AB和简支梁CD均用№18工字钢制成，BG为圆截面钢杆，直径d20 mm，钢的弹性模量E200 GPa。若F30 kN，试求简支梁CD中的最大正应力和G截面的挠度。 A B A B FN 1.4m FN B C G D F G FN 2m 2m ① C G FN D F ② 解：为一次超静定问题。 变形协调方程： yBlBGyG 即 FNl3ABFNlBGFFNl33EICD48EI zEAz即 8FN1.4FN4FFN3IA3I ① zz查表得 Iz1660 cm4，Wz185 cm3 由①式求得： FN9.8 kN CD梁中的最大弯矩：M309.84CDmaxMG4 kNm20.2 kNm 梁CD中的最大正应力：maxMCDmaxW20.2106185103 MPa109.2 MPa z点的挠度：y(309.8)10343109GG482001031660104 mm8.1 mm 5-30 图示悬臂梁的抗弯刚度EI30 kNm2，弹簧的刚度 专业资料整理

梁端与弹簧间的空隙为1.25 mm。当F450 NK175103 N/m，时，试问弹簧将分担多大的力？ 750F1.25AB 解： 若无弹簧，悬臂梁自由端的挠度为 yFl34507503B3EI330109mm2.11 mm1.25 mm 因此，为一次超静定问题，弹簧受压。设弹簧力为FR，则变形协调方程为 FRK1.25103FFRl33EI 即 FR450FR1751.250.753330109 由此求得 FR82.6 N 完美WORD格式

专业资料整理 六 剪 切 6– 2 如图所示凸缘联轴节。凸缘之间用四只对称分布在D080mm圆周上的螺栓联接，螺栓内径d10mm，材料的许用剪应力[]60MPa。若联轴节传递转矩M0200Nm，试校核螺栓的剪切强度。 Q6– 1 如图所示拉杆接头。已知销钉直径d30mm，材料的许用剪应力[]60MPa，欲传递拉力P100kN，试校核销钉的剪切强度。若强度不够，则设计销钉的直径。 PP 解： 1．校核销钉的剪切强度 P2d242Pd22100103302106Pa70.7MPa[] ∴ 销钉的剪切强度不够。 2．设计销钉的直径 由剪切强度条件P2d24≤[]，可得 d≥2P2100103[]60106m32.6mm 完美WORD格式

MD00M0Q0DQQM0 解： 设每个螺栓承受的剪力为Q，则由 QD024M0 可得 QM02D 0 螺栓的剪应力 M0 Q2D02M02Ad2d2D200680103Pa 0102104 15.9MPa[] ∴ 螺栓满足剪切强度条件。 专业资料整理 6– 3 矩形截面木拉杆的接头如图所示。已知轴向拉力P50kN，截面宽度b250mm，木材的顺纹容许挤压应力[jy]10MPa，顺纹的容许剪应力[]1MPa，求接头处所需的尺寸L和a。 bPPaLL解： 3． 由挤压强度条件 Pjyab≤[jy]，可得 P50103 a≥b[10310106m20mm jy]250 2．由剪切强度条件 PbL≤[]，可得 P50103 L≥b[]2501031106m200mm 完美WORD格式

6– 4 螺栓接头如图所示。已知P40kN，螺栓的许用剪应力[]130MPa，许用挤压应力[jy]300MPa。试按强度条件计算螺栓所需的直径。 10Pd20P10 解： 设螺栓的直径为d。 1．由螺栓的剪切强度条件 P2d24≤[]，可得 d≥2P240103 []130106m14mm 2．由螺栓的挤压强度条件 Pjyd20103≤[jy]，可得 d≥P40103 20103[103300106m6.7mm jy]20综合1、2，螺栓所需的直径为d≥14mm。 专业资料整理

七 扭 转 7– 1 某圆轴作用有四个外力偶矩m11kNm，m20.6kNm，m3m40.2kNm。 (1) 试作轴扭矩图； (2) 若m1、m2位置互换，扭矩图有何变化？ m4m3m2m12m2.5m2.5m解： T ( kN . m)1.00.4(1)0.20.20.4(2) 0.6 完美WORD格式

7– 2如图所示一传动轴AC，主动轮A传递外扭矩m11kNm，从动轮B、C分别传递外扭矩为m20.4kNm，m30.6kNm，已知轴的直径d4cm，各轮间距l50cm，剪切弹性模量G80GPa，试求： (1) 合理布置各轮位置； (2) 求出轮在合理位置时轴的最大剪应力、轮A与轮C 之间的相对扭转角。 m1m2m3m2m1m3ABCBACllllT ( kN·m )1.00.60.6 0.4 解： 1．由扭矩图可以看出：按原先的布置，轴的最大扭矩为1.0 kNm； 当主动轮A位于中间位置时，轴的最大扭矩降低为0.6 kNm，因此，将主动轮A布置在两从动轮B和C中间较为合理。 2．TAC0.6103maxWPa47.7MPat 4310616 TACl0.610350102 AC0.0149rad0.854GIp80109 4410832或 maxlTlTlACGdACGIAC pd2GWt2 专业资料整理

7– 3 一空心圆轴的外径D90mm，内径d60mm，试计算该轴的抗扭截面模量Wt；若在横截面面积不变的情况下，改用实心圆轴，试比较两者的抗扭截面模量Wt，计算结果说明了什么？ 解： 1．空心圆轴的抗扭截面模量 4d4324444WtDD2Dd906016D169011.5104mm3 2．实心圆轴的抗扭截面模量 设实心圆轴的直径为d，由实心圆轴与空心圆轴的横截面面积相等，即 224d24Dd，可得 dD2d290260267.1mm 故实心圆轴的抗扭截面模量为 Wt16d35.9104mm3 3．比较1和2可知：在横截面相同的情况下，空心圆截面要比实心圆截面的抗扭截面模量大，因而，在扭转变形中，采用空心圆截面要比实心圆截面合理。 完美WORD格式

7– 4 阶梯形圆轴直径分别为d14cm，d27cm，轴上装有三个皮带轮，如图所示。已知由轮3输入的功率为P330kW，轮1输出的功率为P113kW，轴作匀速转动，转速n200r/min，材料的许用剪应力[]60MPa，剪切弹性模量G80GPa，许用扭转角[]2/m，试校核轴的强度和刚度。 m1m2m3 ACDB 0.5m0.3m1m 解： T (kN·m) m1319.552000.62kNm 0.62 m301.43 39.552001.43kNm TAC0.62103ACmaxWPa49.3MPa[] tAC4310616103ACTACGI0.62.031 radm1.77m[] pAC8010903244108TDB1.43103DBmaxWPa21tDB.2MPa[] 7310616DBTDBGI1.431030.008 radm0pDB80109.43m[]7410832 专业资料整理

7– 5如图所示，有一外径D100mm，内径d80mm的空心圆轴与直径D180mm的实心圆轴用键相连。轴的两端作用外力偶矩m6kNm，轴的许用剪应力[]180MPa；键的尺寸为101030mm3，键的许用剪应力[]2100MPa，许用挤压应力[bs]280MPa，试校核轴的强度并计算所需键的个数n。 mmFdDD1 m103010解： 1．校核轴的强度 空心轴： mD326103100103 max22D4d43210048041012Pa51.8MPa[]1 实心轴： m166103maxD39Pa59.7MPa[]1 11680310∴ 轴满足强度条件。 2．求所需键的个数 Fm26103 D280103N150kN 1F150103由n1030106≤[]2可得：n≥10301061001065 由F150103bsn530106≤[bs]可得：n≥1501062801063.6 ∴ 所需键的个数n≥5。 完美WORD格式

7–6 如图所示，两圆轴用法兰上的12个螺栓联接。已知轴的传递扭矩m50kNm，法兰边厚t2cm，平均直径D30cm，轴的[]140MPa，螺栓的[]260MPa，[bs]120MPa，试求轴的直径d和螺栓直径d1值。 m..md1.d..D.....解： tt 1．求轴的直径 由轴的剪切强度条件：max1md316≤[]1，可得 d≥316m31650[]103 m185mm 140106 2．求螺栓的直径 每个螺栓所受到的力为 F1m5012D2103630102N27.8kN 由螺栓的剪切强度条件：Qd24F2≤[]2，可得 14d14F427.8103 d1≥[]260106m24mm 由螺栓的挤压强度条件：PbsAFbs≤[bs]，可得 bstd1 dF27.8103 1≥t[102120106m12mm bs]2∴ d1≥24mm。 专业资料整理

八 弯曲内力 8– 1 试用截面法求下列各梁中n-n截面上的剪力和弯矩。 AnPC1=8kNP2=6kNnq=4kN/mnBAnBC1m1m2mRA(a)2m2m2m8kN6kN4kN/m(b)MQO6kNOMQ 解： (a) 将梁从n-n截面处截开，截面形心为O，取右半部分研究。 Y0： Q860， Q14kN MO0： M81630， M26kNm (b) 对整个梁 MB0： RA44610， RA6kN 将梁从n-n截面处截开，截面形心为O，取左半部分研究。 Y0： 642Q0 Q2kN M0： 621422O2M0 M4kNm 完美WORD格式

8– 2试用截面法求下列各梁中1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。并讨论该两截面上内力值的特点。设1-1、2-2截面无限接近于载荷作用位置。 PA12m12BA1212BRARl/2l/2BRARl/2l/2B(a)(b)M1M2M1M2P/2Q1Q2P/2m/lQ1Q2m/l解： (a) 以整个梁为研究对象，求得支反力： RARBP2 由截面法，分别以1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象， 求得： QP12， MPl14 QPPl22， M24 可见，集中力作用处，剪力有突变，突变值为P，弯矩不变。 (b) 以整个梁为研究对象，求得支反力： RmmAl，RBl 由截面法，分别以1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象， 求得： Qmm1l，M12 Qmm2l，M22 可见，集中力偶作用处，弯矩有突变，突变值为m，剪力不变。 专业资料整理

8– 3试写出下列梁的内力方程，并作剪力图和弯矩图。 m=12kN·mP=10kNAxx(a)BCxRA3m3mRB12kN·mQ(x)Q(x)(a1)7kNM(x)M(x)3kN7(a2)Q(kN)93(a3)M(kN·m)12 解： 1．求支反力，图(a)， MC0： RA6121030， RA7kN Y0： RARB100， RB3kN 2．列内力方程，图(a)和(a1)， Q(x)7 kN 0x33 kN 3x6 M(x)7x12 kNm 0x33(6x) kNm 3x6 3．作内力图，图(a2)，(a3)。 完美WORD格式

xqxql(b)ABCRARBll/2qM(x)M(x)ql(b1)Q(x)Q(x)ql(b2)Qql(b3)Mql2/2解： 1．求支反力，图(b)， MB0： RAl1l2ql2ql20， RA0 Y0： RARBqlql0， RB2ql 2．列内力方程，图(b)和(b1)， Q(x)qx 0xlql lx3l2 M(x)qx22 0xlql(3l2x) lx3l2  3．作内力图，图(b2)，(b3)。 专业资料整理

8– 4试作出下列梁的剪力图和弯矩图。 8– 5试作下列各梁的剪力图和弯矩图。 2PPaqa2qABCABCaaaa(a)(b)2P2qaQQPaqa2/2MMPaqa2qa2/2完美WORD格式

qACBRA=3ql/8RB=ql/8l/2l/2(a)Q3ql/83l/8ql/89ql2/128Mql2/16 qP=20kNq=30kN/mACDEBRC=40kNRE=40kN1m1m1m1m(b)30Q(kN)103010M(kN·m)51515 专业资料整理

8– 6起吊一根单位长度重量（力）为q (kN/m)为的等截面钢筋混凝土梁（如图），要想在起吊中使梁内产生的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等，应将起吊点A、B放在何处（即a?）？ P=qlABalaqql/2ql/2qll222aql22Mqa2qa222 解： 作梁的计算简图及其M图。由MmaxMmax， 2即 qllqlqa222a222 即 a2l2la40 求得 a212l0.207l。 完美WORD格式

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8– 7试用叠加法作下列各梁的弯矩图。

P=ql/4ACBqDl/2l/2(a)l/2ql/4qql/4q=3ql/4ql/2ql/8Qql/4ql2/16Mql2/8

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+ql/8ql/8ql/85ql/8ql/2=ql/8+ql/8=+ql2/8

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qACBqaa2a(b)q3qa2qaqa2qaQqaM2qa23qa2完美WORD格式

=qa2+qaqa=+qaqa2=+

q4qa22qa2qa2qa24qa2

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八（2） 弯曲应力 8–8长度为250 mm，截面尺寸为hb0.8mm25mm的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为60的圆弧。已知弹性模量E210GPa。试求钢尺横截面上的最大正应力。 解： 根据题意 l1M， EI z可以得到 MIEE zl故钢尺横截面上的最大正应力为 MymaxhmaxIEzl23 21010930.8102501032 Pa 352 MPa 完美WORD格式

8– 9矩形截面简支梁如图所示。试计算1-1截面上a、b两点的正应力和剪应力。 18kNAB101bR1000A12001000RB150a4075 解： 1．求1-1截面上的剪力和弯矩 MB0： RA2.2810， R40A11 kN ∴ 1-1截面上的剪力和弯矩为：Q401111 kN，M401111 kNm 2．求1-1截面上a、b两点的应力 7515031012 Iz1221.09106 m4 4010315040103Mya112a11IPa6.03 MPaz21.09106 40Q*1037540150409a11Sz112210bI.09106 Pa0.38 MPaz751032140103150103M11yb112bIPa12.93 MPaz21.09106 b0 专业资料整理

5– 10 一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受载荷如图所示。木料的许用弯曲正应力[]10MPa。现需要在梁的截面Ｃ上中性轴处钻一直径为d的圆孔，问在保证该梁强度的条件下，圆孔的最大直径d（不考虑圆孔处应力集中的影响）可达多少？ 2kN/m5kNAB160z250C1601000yC截面 解： C截面为危险截面。 M1C510002501032210002502106 kNm 4.31 kNm I1601603160d3403z1212 mm43160d3 mm4 y160max2mm80 mm 由MCymaxIMCymaxmax ≤[]，可得z40 1603d310123 d≤316033MCymax401012[] mm 34.3110380103 3160340101210106 mm115 mm 完美WORD格式

8– 11铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力[l]40MPa，许用压应力[y]160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置成为形，是否合理？何故？ q=10kN/m30200 P=20kNABCDz30kN10kNC2m3m1m20030yCM(kN·m)10y20 1．作M图，求I zC y2003021520030100C2003020030157.5 mm 20030330200 I122003057.523zC122003057.52 6.01107 mm4 2．强度校核 截面：2010372.5103BBlB上I Pa24.1MPa[l] zC 20103157.5103ByB下IPa52.2MPa[y] zC1010372.5103C截面：CyC上IPa12.1MPa[y] zC 10103157.5103ClC下IPa26.2MPa[l] zC 3．若倒置成形时，BlB上52.2 MPa[l]，∴不合理。 专业资料整理

8– 12 若图示梁的[]160MPa，试选用工字钢型号。 []100MPa，8–13 为改善载荷分布，在主梁AB上安置辅助梁CD。设主梁和辅10kN/m4kNABCRA=18kNRB=26kN4m2mQ ( kN )18⊕41.8m16.222M(kN·m)8 解： 1．求支反力，作剪力、弯矩图。 Qmax22 kN，Mmax16.2 kNm 2．按正应力强度条件选择工字钢型号 由MmaxmaxW≤[]，得到 z WMmax16.2z≥[]103160106101.25 cm3 查表选14号工字钢，其 W，b5.5 mm，I*z102 cm3zSz12.0 cm 3． 剪应力强度条件校核 Qmax22103maxbI*32 Pa33.3 MPa[]zSz5.51012.010满足剪应力强度条件。 ∴ 选择14号工字钢。 完美WORD格式

助梁的抗弯截面模量分别为W1和W2，材料相同。试求a的合理长度。 PCDABlaaala2222mmPa4MCDPla4MAB 解： 1．作主梁AB和辅助梁CD的弯矩图 2．求主梁和辅助梁中的最大正应力主 梁：  MABmax Pla4 PlaABmaxW 1W14W1辅助梁： CDmaxCDmaxMWPa4WPa 224W2 3．求a的合理长度 最合理情况为 ABmaxCDmax 即： Pla4WPaW 142由此求得： aW2Wl 1W2 专业资料整理

8– 14图示外伸梁由25a号工字钢制成，其跨长l6m，且在全梁上受集度为q的均布载荷作用。当支座处截面Ａ、Ｂ上及跨中截面Ｃ上的最大正应力均为140MPa时，试问外伸部分的长度a及载荷集度q各等于多少？ qDACBEzl/2yala ql2a224M解： qa2/2qa2/2 1．求支反力，作弯矩图 2．确定a和q 查表得：25a号工字钢的Iz5020 cm4，h250 mm。 对截面A、B： 由qa22h2AmaxBmaxI[]，得到 z qa24[]Iz41401065020108h2501031.124105 Nm ① 对截面C： 由ql24a22h2q9a2CmaxIh[]，得到 z4Iz q9a24[]Izh1.124105 Nm ② 由①②解得：q25 kN/m，a2.12 m。 完美WORD格式

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8– 15 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知P5kN，a1.5 39P94010m，[]10MPa。试确定抗弯截面模量为最大时矩形截面的高宽比hb，以及锯成此梁所需木料的最小直径d。 PPABCDha3aazyMPabd 解： 1．作弯矩图 2．求高宽比 W12z6bh16bd2b2 由dWzdb0，求得 bd，h233d 抗弯截面模量最大时的高宽比为：d3∴hb2，此时，Wz93 3．确定所需材料的最小直径 由Mmax93PamaxW≤[]zd3，得到 d≥393Pa39351031.5[]10106 m0.227 m 完美WORD格式

h≥34[]3410106 m0.208 m 由剪应力强度条件Qmax1.5max1.5PAbh9P4h2≤[]，可得 h≥9P9401034[]43106 m0.173 m ∴ h≥0.208 m，b2h3≥0.139 m 专业资料整理

九 弯曲变形 9– 1试问下列各梁用积分法求变形时有几个积分常数？试列出相应的边界条件和光滑连续性条件。 （注：E1和A1分别为拉杆的弹性模量和横截面面积） 9– 2试用积分法求图示外伸梁的A、B及fA、fD。 解： mm(a) 四个 当x0时， 12 y10，10； aa 当xa时， (a) y1y2，12。 (b) 六个 Pqm 当xa时， y1y20，12； 123 当xab时， aba y2y30， (b) 23。 123(c) 六个 2P2 当x0时， yab10，10； l 当xa时， (c) y1y2； 当xab时， y2y30， ql1 23。 (d) 二个 当x0时，y0， lqll(d) 当xl时，yl112E 1A1 完美WORD格式

yxxP=ql/2qABDCxl/2l/2l 解： AB段(0xl2)： EIy1Mx12qlx EIy114qlx2C1 EIy13112qlxC1xD1 BC段(l3l2x2)： EIy2Mx12q3l213l2x4ql2x 32 EIy13l126q2x8ql3l2xC2 143 EIy224q3l2x124ql3l2x3lC22xD2 专业资料整理

32BC段：q3lql3l26EI2x8EI2x 4 yq3lql3224EI2x24EI3l2x 由此可得到： ql33A1x0548EI ， B1xlql224EI， fql4Ay1xql4024EI ， fDy2xl384EI。 完美WORD格式

9– 3试用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角。设梁的抗弯刚度EI为已知。 Pm0l/2l/2(a)A，fC 解： (a) 1．当P单独作用时，查表得 Pl2AP16EI fPl3 CP48EI 2．当m0单独作用时，查表得 m0lAm06EI fm2 0lCm016EI 3．当P和m0共同作用时， AAPAm0Pl2m0l16EI6EI  fCfCPfCm0Pl3m0l248EI16EI  专业资料整理

qP=qaABCaa(b)C,yCBqfCqPm0=PaBm0PCP1 b) 1．当q单独作用时，查表得 qa3qa4CqBq24EI， fCqBqa24EI 2．当P单独作用时，查表得 qa2aqaa25qa3 CPBm0CP13EI2EI6EI fqa3qaa32qa4CPBm0afCP13EIa3EI3EI3． 当q和P共同作用时， qa35qa319qa3 CCqCP24EI6EI24EI fqa42qa45qa4CfCqfCP24EI3EI8EI 完美WORD格式

9–4已知一钢轴的飞轮重P20kN，而轴承B处允许转角[]B0.5，试确定轴所需要的直径d (已知E200GPa)。 ABdCP=20kNa=1mb=2m轴的受力简图：PPaP 解： 1．作轴的受力简图 2．由刚度条件确定轴的直径 由 PabPabB3EI3Ed4≤[]B180 64可得 d≥64Pab4642010312112 mm 3E180[]4B3200109 m1800.5 ( 专业资料整理

9– 5图示悬臂梁AB和简支梁DG均用No.18工字钢制成；BC为圆截面钢杆，直径d20mm。梁和杆的弹性模量E200GPa。若P30kN，试计算梁的最大正应力，并计算C处的垂直位移。 ABABN1.4mNBDCGPCN2m2mDCNGP 解： 为一次超静定问题。 变形协调方程： fBlBCfC 3即： NlAB3EINlPNl3BCDGEA48EI 即： 8N1.4N64PN3IA48I ① 查表得： I1660 cm4，W185 cm3 由①式求得： N9.8 kN 最大弯矩：MABmaxMA9.82 kNm19.6 kNm MDG309.84maxMC4 kNm20.2 kNm 梁内的最大正应力：MDGmax20.2103maxW185106 Pa109.2 MPa C点的垂直位移：f309.810343C482001091660108m8.1 mm  完美WORD格式

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十 应力状态和强度理论 10– 1试用单元体表示图示构件中A、B点的应力状态。并算出单元体上的应力数值。 240N.m80N.mAB02(a)q=20N/m0P=100N5AB0021202m051m6m2m(b) 完美WORD格式

解： (a) A点：TA24080160Nm TA16TA16160AWd3203109Pa101.9MPa tB点：TB80Nm T16TBBB1680WPa50.9MPa td3203109 (b) A点：M80A32122022403kNm Q8040A32023kN I12020031012 z810512m4 4010350103 MyAAAI3105Pa8.33MPa z8401031205075109 Q*ASzAAbI3Pa z1201038105 0.63MPaB点：MB1001100kNm QB100kN MBByB10010350I103Pa62.5MPa z8105 QS*BBzB1001031205075109 bIPa4.7MPaz1201038105 专业资料整理

9.010– 2 试用解析法求图示各单元体斜截面上的应力（图中应力单位为MPa）。 y.10– 3 锅炉内径D1m，壁厚t10mm，内受蒸汽压力p3MPa，试求： (1) 壁内主应力1、2以及最大剪应力max； (2) 斜截面ab上的正应力及剪应力。 n10020n5020n504030xa1302bp(a)(b)(c) 解： 解： (a) x50MPa，y100MPa，xy0，150 150 1505010050100cos300012.5MPa 2250100 sin300065.0MPa 2 (b) x40MPa，y0，xy20MPa，60 60 60400400cos12020sin12027.3MPa 22400 sin12020cos12027.3MPa 2 (c) x30MPa，y50MPa，xy20MPa，30 30 3030503050cos6020sin6052.3MPa 223050 sin6020cos6018.7MPa 2pD31000150MPa 2t210pD31000 275MPa 4t410 30 3 max175MPa 2 (2) 60 121 602cos120 227515075150 cos120131.3MPa 22175150 602sin120sin12032.5MPa 22 (1) 1 完美WORD格式

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10–4 已知应力状态如图所示（图中应力单位皆为MPa），试用解析法求： (1) 主应力大小和主平面位置； (2) 在单元体上绘出主平面位置和主应力方向； (3) 最大剪应力。 20320305250019.3340140(a)(b)解： (a) x50MPa，y0，xy20MPa maxxyxy22 min22xy 2 50250220257.07.0MPa ∴ 157.0MPa，20，37.0MPa tg22xy02204， 019.3或70.7 xy505 13577max2232MPa (b) x40MPa，y20MPa，xy40MPa 完美WORD格式

402040202max211.240MPa min2271.2 ∴ 111.2MPa，20，371.2MPa tg240024， 4020052或38 11.271.2max241.2MPa 10–5试求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。 解： (a) 1250MPa，350MPa 135050max2250MPa (b) 2max3020302052.22240242.2MPa min 152.2MPa，250MPa，342.2MPa 242.2max52.247.2MPa 专业资料整理 10– 6 两种应力状态如图所示，试按第四强度理论比较两者的危险程度。 解： 对图(a) 2122，20 32 r412212232312232 对图(b) 1 ，2，3（假设≥，≤同理） 2r432 由于两者的相当应力相同，故两者的危险程度相同。 完美WORD格式

10– 7 两端封闭的铸铁圆筒，承受内压p5MPa，轴向压力P100 kN，转矩T3kNm，如图所示，若其内径D200mm，壁厚t10mm，材料的许用拉应力[l]40MPa，泊松比0.25；试按第二强度理论校核其强度。 TTPpP 解： 危险点为筒壁上各点 D0Dt210mm pDx4tPD5200100103MPa9.84MPa 0t41021010 r0 pDt2t5200210MPa50MPa 2T23103D2210210103MPa4.33MPa 0t2maxxtxt2 min22 502 9.8429.845024.33250.469.38MPa∴ 150.46MPa，29.38MPa，30 r212350.460.259.3848.12MPa[l] 故不满足强度条件。 专业资料整理

十一 组合变形 11– 1 如图所示，截面为正方形的短柱承受载荷P作用，若在短柱中间开一切槽，使其最小截面面积为原面积的一半。试问开一切槽后， ymaxPMa12.935.232.3MPa[y] AIy∴ 框架立柱满足强度条件。 柱内最大压应力是原来的几倍？ PPa/211aaaa1--1yx 切槽前，柱的变形为轴向压缩，柱内各点压应力为P2a2P4a2 切槽后，柱的切槽部分为偏心压AF缩，其最大压应力为 1.75PPaPl/4P2a22Pmaxa2a1a2 M122aa3N∴ max8，即切槽后柱内的最大压3P2 应力是原来的8倍。 完美WORD格式

11– 2 图示起重架的最大起吊重量(包括行走小车等)为P40 kN，横梁AB由两根No.18槽钢组成，材料为A3钢，许用应力[]120 MPa。试校核横梁的强度。 CzA30。ByP3.5 m 专业资料整理

解： 横梁AB为轴向压缩与弯曲的组合变形，并且以弯曲变形为主要变形，因此，当载荷P移动到横梁的中点时，横梁最危险。由横梁的平衡可求得：FP。 横梁的内力为 N3P234.64 kN MmaxP3.5435 kN 梁的中间截面为危险截面，其上边缘各点为危险点，为压应力。查表得，A29.299 cm2，Wy152 cm3，故横梁的最大压应力 NM.641033.5ymaxmax34AW229.2991041032152106 Pa y 5.91115.13 MPa121.04 MPa[] 但是 y max[]120[]100%121.04120100%0.87%5% 所以，可认为横梁满足强度要求。 11– 3 如图所示，铁道路标圆信号板，装在外径D60 mm的空心圆柱上，信号板所受的最大风载p2 kNm2，[]60 MPa。试按第三强度理论选择空心圆柱的厚度。 m5.MT0m0.6m8.0解： 0.8P0.6P 作用在信号板上的合力为 完美WORD格式 P24D21p40.52103392.7N 合力P作用在信号板的形心上，故空心圆柱为弯扭组合变形，作其内力图，由此可知，固定端为危险截面，M0.8P，T0.6P 设空心圆柱内径为d，由第三强度理论 22 M2T2r30.8P0.6PW32PDD4d4DD4d4≤[] 642可得 d≤4D432PD[] 4604101232392.76010360106m54.7mm ∴ 空心圆柱厚度 t≥Dd22.65mm。 11–4 如图所示，手摇绞车轴的直径d30mm，材料为3号钢，[]80MPa。试按第三强度理论求绞车的最大起吊重量P。 400400dCAB180PP 专业资料整理

mPAmBC(a)P/2P/20.2PM T0.18P(b) 解： 1．将载荷向AB轴的轴线简化，作AB轴的计算简图，如图(a)所示 m0.18P 可见，AB轴为弯扭组合变形； 2．作AB轴的弯矩图和扭矩图，可知C截面为危险截面 由第三强度理论 M22CTC0.2P20.18P2r3Wd332≤[] 可得 P≤d3[]788N 320.220.182 完美WORD格式

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十二 压杆稳定 12– 1 图示压杆的材料为A3钢，1100，E210GPa，在主视图a所在平面内，两端为铰支座，在俯视图b的平面内，两端为固定，试求此压杆的临界力。 mc6=h(a)mc4=b(b)=240cm 解： 在主视图所在平面内，如图(a)所示，压杆的柔度为 ll23laai1abh312h232406138.6 bh在俯视图所在平面内，如图(b)所示，压杆的柔度为 bl0.5l3l3240bi103.9 bhb312b4bh∵ ab1，∴为大柔度杆 故压杆的临界力为 P2E221010964104cr2A62N259kN a138. 完美WORD格式

12– 2 两端固定的矩形截面细长压杆，其截面尺寸为h60mm，b30mm，已知材料的比例极限p200MPa，弹性模量E210GPa，试求此压杆适用于欧拉公式时的最小长度。 解： 由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在抗弯刚度最小的平面内失稳，即杆件横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。 hb3 iIminmin12Abhb23 欧拉公式适用于≥1，即 l2i≥Emin p由此得到 3 l≥bE301021010923p230.5200106m1.76m 故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m。 专业资料整理

12– 3 图示托架中，AB杆的直径d4cm，长度l80cm，两端铰支， 材料为A3钢。 (1) 试根据AB杆的失稳来求托架的临界载荷Pcr； (2) 若已知实际载荷P70kN，AB杆的规定稳定安全系数nst2，问此托架是否安600300全？ 解： ∴ 拖架不安全。 12– 4 某钢材的p230MPa，s274MPa，E200GPa，cr3381.22。试计算1和2值，并绘出临界应力总图（0150)。 解： 2E200109 192.6 6CB (1) sin74 对CD杆，MAC0： lP Nsin600P6003000 d P7N6 对AB杆，其柔度CNll4l4800P id48064d40d24查表得：a304MPa，b1.12MPa，1100， as2b3042351.1261.6 故21，AB杆为中柔度杆。 crab3041.1280214.4MPa N6crcrA214.410244104N269.4kN P7 cr6Ncr118.8kN (2) N6 7P6770158.7kN nNcr269.41.7n N158.7st2 完美WORD格式

p23010338s33827421.221.2252.5 cr (MPa)cr 274274cr 3381.222302 Ecr252.592.6临界应力总图 专业资料整理

附录 平面图形的几何性质 附录– 1 求下列图形的形心坐标yc。 y 20 140 x y C20 100 解：y2014070202010010C201402010056.7mm 完美WORD格式

附录– 2求下列带槽轴的截面图形对轴的惯性矩。 (a) 求Iy和Iz(设a,bD，将挖去部分看作矩形) 解： zbaOyD(a) 43IDzIz圆Iz矩形64ab12 IyIy圆IyD464a3bDa2矩形 122ab D464aba24Da32 专业资料整理 (b) 求Iy zzzCChdOyb(b) 解： bh31d4bh312264212d4 Iy64 半圆的形心坐标 db2dz2ydy1bd2d3d2b2 zAydA2d2z2CAd28286d28b2d232I1d4bb2dd2b2d2d2 z半圆2642238238 d4b2d2bd3 1283212 Ihb3hb3d4b2d2bd3 z122Iz半圆1264166 完美WORD格式

附录– 3组合截面对图示y和z轴的惯性矩。 120X10I22a20a Y(a) 解：I21102y237012010310012010104122 2370213245018 cm4 I15821z121012031041582144446cm4 