人教版九年级数学中考模拟试题
一、选择题：
1．﹣的倒数是（ ） A．﹣3 B．﹣ C．
D．3
2．下列图案为德甲球队的队徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的是（ ） A．
﹣
=
B．
×
=6 C．3+
=3
D．
÷2=
4．如图，∠1=∠B，∠2=20°，则∠D=（ ）
A．20° B．22° C．30° D．45°
5．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A．乘坐高铁对旅客的行李的检查
B．了解全校师生对重庆一中85周年校庆文艺表演节目的满意程度 C．调查初2016级15班全体同学的身高情况 D．对新研发的新型战斗机的零部件进行检查
6．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
的解x和y互为相反数，则a的值为（ ） D．2
7．已知方程组A．﹣1 B．﹣2 C．1
8．如图，⊙O的直径BD=6，∠A=60°，则BC的长度为（ ）
1
A． B．3 C．3 D．4
9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为（ ）
A． B． C． D．
10．我市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌如图所示，小明在离指示牌3米的点A处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为60°和30°，则路况指示牌DE的高度为（ ）
A．3﹣ B．2﹣3 C．2 D．3+
11．如图，每个图形都由同样大小的““
”，第2个图形有2个“
”按照一定的规律组成，其中第1个图形有1个
”，…，则第6个图形中“
”
”，第3个图形有5个“
的个数为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
2
12．使关于x的分式方程=2的解为非负数，且使反比例函数y=图象过第一、三
象限时满足条件的所有整数k的和为（ ） A．0
二、填空题：
13．近几年，以马拉松为主的各种路跑赛事在国内的兴起，使得该运动形成了一条产业链，各环节创造的价值不可小视．有业内人士保守估计，2016年国内跑步市场的价值在38500000000元左右，并且还有巨大的上升空间．请将数字38500000000用科学记数法表示为 ．
14．计算：（﹣2）﹣2﹣|﹣3|= ．
15．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
B．1
C．2
D．3
16．如果从0，﹣1，2，3四个数中任取一个数记作m，又从0，1，﹣2三个数中任取的一个记作n，那么点P（m，n）恰在第四象限的概率为 ．
17．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶．当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达A地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则B，C两地相距 千米．
18．如图，在正方形ABCD中，点E为边AB上任一点（与点A，B不重合），连接CE，过点D作DF⊥CE于点F，连接AF并延长交BC边于点G，连接EG，若正方形边长为4，GC=AE，则GE= ．
3
三、解答题：
19．（7分）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF， 证明：DE=BF．
20．（7分）随着一部在重庆取景拍摄的电影《火锅英雄》在山城的热播，山城人民又掀起了一股去吃洞子老火锅的热潮．某餐饮公司为了大力宣传和推广该公司的企业文化，准备举办一个火锅美食节．为此，公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对火锅的喜爱程度．业务员小王将“喜爱程度”按A、B、C、D进行分类，并将自己的调查结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
“喜爱程度”条形统计图“喜爱程度”扇形统计图
（说明：A：非常喜欢；B：比较喜欢；C：一般喜欢；D：不喜欢） （1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中A类所在的扇形的圆心角度数是 ；
（3）若小王调查的社区大概有5000人，请你用小王的调查结果估计“非常喜欢”和“比较喜欢”的人数之和．
4
四、解答题： 21．（10分）化简：
（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1） （2）
﹣
÷
．
22．（10分）如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C （1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
23．（10分）正值重庆一中85年校庆之际，学校计划利用校友慈善基金购买一些平板电脑和打印机．经市场调查，已知购买1台平板电脑比购买3台打印机多花费600元，购买2台平板电脑和3台打印机共需8400元．
（1）求购买1台平板电脑和1台打印机各需多少元？
（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和打印机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买打印机的台数不低于购买平板电脑台数的2倍．请问最多能购买平板电脑多少台？
24．（10分）阅读下列材料解决问题：
材料：古希腊著名数学家 毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21…这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数． 把数 1，3，6，10，15，21…换一种方式排列，即 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10
5
1+2+3+4+5=15 …
从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形数“名副其实”．
（1）设第一个三角形数为a1=1，第二个三角形数为a2=3，第三个三角形数为a3=6，请直接写出第n个三角形数为an的表达式（其中n为正整数）．
（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由．
（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由．
五、解答题：
25．（12分）已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任一点．
（1）如图（1），若∠A=45°，AB=点，BE，AD交于点F，求DE的长．
，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交
（2）如图（2），若2∠AEB=180°﹣∠BED，∠ABE=60°，求证：BC=BE+DE
（3）如图（3），若点E在的CB延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．
6
26．（12分）如图1，已知抛物线y=x﹣x﹣3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为
2
D
（1）求出点A，B，D的坐标；
（2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′′B′DC，请求出四边形O′B′DC的周长最小值． （3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN．当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点N的坐标．
7
参考答案
一、选择题：
1．﹣的倒数是（ ） A．﹣3 B．﹣ C． 【考点】倒数．
【分析】根据倒数的定义可得到﹣的倒数为﹣3． 【解答】解：﹣的倒数为﹣3． 故选A．
【点评】本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为．
2．下列图案为德甲球队的队徽，其中是轴对称图形的是（ ）
D．3
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．下列计算中，正确的是（ ） A．
﹣= B．×=6 C．3+=3
8
D．÷2=
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果即可得到哪个选项是正确的． 【解答】解：∵∵∵3+∵故选B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
4．如图，∠1=∠B，∠2=20°，则∠D=（ ）
不能合并，各选项A错误； ，故选项B正确；
不能合并，故选项C错误； =
，故选项D错误；
A．20° B．22° C．30° D．45° 【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据平行线的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠1=∠B， ∴AD∥BC， ∴∠D=∠2=20°． 故选A．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
5．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A．乘坐高铁对旅客的行李的检查
B．了解全校师生对重庆一中85周年校庆文艺表演节目的满意程度 C．调查初2016级15班全体同学的身高情况 D．对新研发的新型战斗机的零部件进行检查 【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
9
【解答】解：乘坐高铁对旅客的行李的检查适合采用全面调查，A错误；
了解全校师生对重庆一中85周年校庆文艺表演节目的满意程度适合采用全抽样调查，B正确；
调查初2016级15班全体同学的身高情况适合采用全面调查，C错误； 对新研发的新型战斗机的零部件进行检查适合采用全面调查，D错误， 故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
【考点】多边形的对角线．
【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解． 【解答】解：设多边形有n条边， 则n﹣3=6， 解得n=9． 故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．
7．已知方程组A．﹣1 B．﹣2 C．1
D．2
的解x和y互为相反数，则a的值为（ ）
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】因为x和y的值互为相反数，所以有x=﹣y，把它代入方程1中，将直接求出x和y，然后把所求结果代入方程2中，求出a的值即可． 【解答】解：∵x和y的值互为相反数 ∴x=﹣y代入方程2x+3y=1得：y=﹣1， ∴x=1．
10
把x=1，y=﹣1代入第二个方程得：a+a﹣1=3， 解得：a=2； 故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质；由互为相反数的性质求出y的值是解决问题的关键．
8．如图，⊙O的直径BD=6，∠A=60°，则BC的长度为（ ）
A． B．3 C．3 D．4
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理求出∠D的度数，根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：由圆周角定理得，∠D=∠A=60°， 则BC=BD×sin∠D=6×故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为（ ）
=3
，
A． B． C． D．
【考点】矩形的性质．
11
【分析】连接EF，由矩形的性质得出AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，由勾股定理求出BE，由SAS证明△ABE≌△DCE，得出BE=CE=的面积，即可得出结果．
【解答】解：连接EF，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°， ∵点E为AD中点， ∴AE=DE=1， ∴BE=
=
=
，
，再由△BCE的面积=△BEF的面积+△CEF
在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴BE=CE=
，
，
∵△BCE的面积=△BEF的面积+△CEF的面积， ∴BC×AB=BE×FG+CE×FH， 即BE（FG+FH）=BC×AB， 即
（FG+FH）=2×3，
；
解得：FG+FH=故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
10．我市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌如图所示，小明在离指示牌3米的点A处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为60°和30°，则路况指示牌DE的高度为（ ）
12
A．3﹣ B．2﹣3 C．2 D．3+
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】过A作AF⊥DC，交DC于点F，在直角三角形ADF中，利用锐角三角函数定义求出DF的长，在直角三角形AEF中，利用锐角三角函数定义求出EF的长，由DF﹣EF求出DE的长即可．
【解答】解：过A作AF⊥DC，交DC于点F， ∴AF=BC=3米，
在Rt△ADF中，AF=3米，∠DAF=60°， ∴tan60°=
，即DF=3
米，
在Rt△AEF中，AF=3米，∠EAF=30°， ∴tan30°=
，即EF=
﹣
=2米， 米，
则DE=DF﹣EF=3故选C
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
11．如图，每个图形都由同样大小的““
”，第2个图形有2个“
”按照一定的规律组成，其中第1个图形有1个
”，…，则第6个图形中“
”
”，第3个图形有5个“
的个数为（ ）
13
A．23 B．24 C．25 D．26 【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】根据题意总结出一般规律，然后把6代入进行计算即可． 【解答】解：∵第1个图形有1个““
”，…，
”，
”，第2个图形有2个“
”，第3个图形有5个
∴第n个图形中共有（2n﹣1+n﹣2）（n≥2）个“∴第6个图形中“故选：D．
”的个数为25+4=36．
【点评】本题考查的是图形的变化规律问题，根据给出的数据总结出规律是解题的关键．
12．使关于x的分式方程
=2的解为非负数，且使反比例函数y=
图象过第一、三
象限时满足条件的所有整数k的和为（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】反比例函数的性质．
【分析】分别根据题意确定k的值，然后相加即可． 【解答】解：∵关于x的分式方程∴x=
≥0，
=2的解为非负数，
解得：k≥1， ∵反比例函数y=∴3﹣k＞0， 解得：k＜3，
∴1≤k＜3，整数为1，2， ∵x≠0或1， ∴和为2，
图象过第一、三象限，
14
故选，C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质及分式方程的解的情况，属于基础题，难度不大．
二、填空题：
13．近几年，以马拉松为主的各种路跑赛事在国内的兴起，使得该运动形成了一条产业链，各环节创造的价值不可小视．有业内人士保守估计，2016年国内跑步市场的价值在38500000000元左右，并且还有巨大的上升空间．请将数字38500000000用科学记数法表示为 3.85×10 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：38 500 000 000=3.85×10， 故答案为：3.85×10．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．计算：（﹣2）﹣|﹣3|= ﹣【考点】绝对值；负整数指数幂．
【分析】根据负整数指数幂和绝对值的计算法则进行计算． 【解答】解：原式=﹣3=﹣故答案是：﹣
．
．
﹣210
10
10
．
【点评】本题考查了绝对值和负整数指数幂．熟练掌握计算法则即可解题，属于基础题．
15．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 2
﹣
．
15
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】连接OC，求出∠D和∠COD，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB的面积，即可求出答案． 【解答】解：连接OC， ∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠CAD=∠D=30°， ∵DC切⊙O于C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°， ∴∠COD=60°，
在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=2， ∴CD=2
，
﹣
=2
﹣π，
∴阴影部分的面积是S△OCD﹣S扇形COB=×2×2故答案为：2
﹣π．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，切线的性质，扇形的面积，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积，题目比较典型，难度适中．
16．如果从0，﹣1，2，3四个数中任取一个数记作m，又从0，1，﹣2三个数中任取的一个记作n，那么点P（m，n）恰在第四象限的概率为 【考点】列表法与树状图法；点的坐标．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再利用第二象限点的坐标特征找出点P（m，n）恰在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：
．
16
共有12种等可能的结果数，其中点P（m，n）恰在第四象限的结果数为2， 点P（m，n）恰在第四象限的概率=故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
17．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶．当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达A地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则B，C两地相距 600 千米．
=．
【考点】一次函数的应用．
【分析】当x=0时，y=300，故此可得到AB两地的距离为300，3小时后两车相遇，从而可求得两车的速度之和，然后依据5小时后两车的距离最大，可知甲车到达B地用5小时，从而可乙车的速度，设甲、乙两车出发经过t小时后同时到达C地，根据甲乙两车的路程相差300千米，列方程可求得t的值，最后得到B、C之间的距离． 【解答】解：由图象可得：当x=0时，y=300， ∴AB=300千米．
∴甲车的速度=300÷5=60千米/小时， 又∵300÷3=100千米/小时，
∴乙车的速度=100﹣60=40千米/小时．
17
设甲、乙两车出发经过t小时后同时到达C地，则 依题意可得60t﹣40t=300， 解得t=15，
∴B，C两地的距离=40×15=600千米． 故答案为：600
【点评】本题以行程问题为背景，主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是根据函数图象理解题意，求得两车的速度，并根据两车行驶路程的数量关系列出方程．
18．如图，在正方形ABCD中，点E为边AB上任一点（与点A，B不重合），连接CE，过点D作DF⊥CE于点F，连接AF并延长交BC边于点G，连接EG，若正方形边长为4，GC=AE，则GE=
．
【考点】正方形的性质．
【分析】如图，延长DA、CE交于点M．假设AE=3a，GC=2a，想办法用a的代数式表示AM、CF、FM，由
=
，列出方程即可解决问题．
【解答】解：如图，延长DA、CE交于点M．
18
∵GC=AE，可以假设AE=3a，GC=2a， ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，BC∥AD， ∴∴
==
，
， ，
=
，
∴AM=
由△CDF∽△ECB，得
∴CF=，
由△MDF∽△CEB，得=，
∴FM=∵CG∥AM， ∴
=
，
，
∴=，
解得a=，
在Rt△GBE中，∵BG=4﹣=∴GE=故答案为
=．
，BE=4﹣
=
=
， ，
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：
19．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF，
19
证明：DE=BF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】首先连接BE，DF，由四边形ABCD是平行四边形，AE=CF，易得OB=OD，OE=OF，即可判定四边形BEDF是平行四边形，继而证得DE=BF． 【解答】证明：∵连接BE，DF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OA﹣AE=OC﹣CF， ∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DE=BF．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
20．随着一部在重庆取景拍摄的电影《火锅英雄》在山城的热播，山城人民又掀起了一股去吃洞子老火锅的热潮．某餐饮公司为了大力宣传和推广该公司的企业文化，准备举办一个火锅美食节．为此，公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对火锅的喜爱程度．业务员小王将“喜爱程度”按A、B、C、D进行分类，并将自己的调查结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
20
“喜爱程度”条形统计图“喜爱程度”扇形统计图
（说明：A：非常喜欢；B：比较喜欢；C：一般喜欢；D：不喜欢） （1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中A类所在的扇形的圆心角度数是 72° ；
（3）若小王调查的社区大概有5000人，请你用小王的调查结果估计“非常喜欢”和“比较喜欢”的人数之和．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比求出总人数，再减去A类、B类和C类的人数，求出D类的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以A类所占的百分比，即可求出A类所在的扇形的圆心角度数； （3）用社区的总人数乘以“非常喜欢”和“比较喜欢”的人数所占的百分比即可． 【解答】解：（1）根据题意得：
﹣10﹣23﹣12=5（人）， 答：不喜欢的人数有5人，补图如下：
（2）扇形统计图中A类所在的扇形的圆心角度数是：360°×20%=72°； 故答案为：72°；
（3）根据题意得：
21
5000×（46%+20%）=3300（人），
答：“非常喜欢”和“比较喜欢”的人数之和为3300人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
四、解答题：
21．（10分）（2016•重庆校级一模）化简： （1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1） （2）
﹣
÷
．
【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；平方差公式． 【分析】（1）根据单项式乘以多项式和平方差公式可以化简本题； （2）根据分式的除法和减法可以化简本题． 【解答】解：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1） =2a﹣a2+a2﹣1 =2a﹣1； （2）
﹣
÷
===
．
【点评】本题考查分式的混合运算、单项式乘以多项式、平方差公式，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
22．（10分）（2016•重庆校级一模）如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C （1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
22
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，再把B点坐标代入可求得b，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）可先求得D点坐标，再利用三角形的面积计算即可． 【解答】解：
（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象过A（﹣1，2）， ∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣， 当x=2时，y=﹣1， 即B点坐标为（2，﹣1），
∵一次函数y=mx+n（m≠0）过A、B两点， ∴把A、B两点坐标代入可得∴一次函数解析式为y=﹣x+1； （2）在y=﹣x+1中，当x=0时，y=1， ∴C点坐标为（0，1）， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴D点坐标为（0，﹣1）， ∴CD=2，
∴S△ABD=S△ACD+S△BCD=×2×1+×2×2=3．
【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点，掌握两函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键．
，解得
，
23
23．（10分）（2016•重庆校级一模）正值重庆一中85年校庆之际，学校计划利用校友慈善基金购买一些平板电脑和打印机．经市场调查，已知购买1台平板电脑比购买3台打印机多花费600元，购买2台平板电脑和3台打印机共需8400元． （1）求购买1台平板电脑和1台打印机各需多少元？
（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和打印机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买打印机的台数不低于购买平板电脑台数的2倍．请问最多能购买平板电脑多少台？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设购买1台打印机需要x元，购买1台平板电脑需要y元，根据“购买1台平板电脑比购买3台打印机多花费600元，购买2台平板电脑和3台打印机共需8400元”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设需要购买平板电脑m台，则购买打印机（100﹣m）台，根据“购买的总费用不超过168000元，且购买打印机的台数不低于购买平板电脑台数的2倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买1台打印机需要x元，购买1台平板电脑需要y元， 由题意得：解得：
．
，
答：购买1台打印机需要800元，购买1台平板电脑需要3000元． （2）设需要购买平板电脑m台，则购买打印机（100﹣m）台， 由题意得：
，
解得：m≤，
∵m为正整数， ∴m≤33．
答：最多能购买平板电脑33台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用已经一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系列出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或不等式组）是关键．
24
24．（10分）（2016•重庆校级一模）阅读下列材料解决问题：
材料：古希腊著名数学家 毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21…这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数． 把数 1，3，6，10，15，21…换一种方式排列，即 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 …
从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形数“名副其实”．
（1）设第一个三角形数为a1=1，第二个三角形数为a2=3，第三个三角形数为a3=6，请直接写出第n个三角形数为an的表达式（其中n为正整数）．
（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由．
（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由． 【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】（1）根据题意归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）66是三角形数，理由为：根据得出的规律确定出原因即可； （3）表示出的T表示后，利用拆项法整理判断即可． 【解答】解：（1）根据题意得：an=（2）66是三角形数，理由如下： 当
=66时，解得：n=11或n=﹣12（舍去），
（n为正整数）；
则66是第11个三角形数； （2）T=++++﹣+…+﹣∵n为正整数，∴0
+…+）=＜1，
=，
++++…+=2（1﹣+﹣
25
则T＜2．
【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
五、解答题：
25．（12分）（2016•重庆校级一模）已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任一点．
（1）如图（1），若∠A=45°，AB=点，BE，AD交于点F，求DE的长．
，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交
（2）如图（2），若2∠AEB=180°﹣∠BED，∠ABE=60°，求证：BC=BE+DE
（3）如图（3），若点E在的CB延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论． 【考点】四边形综合题．
【分析】（1）首先证明△AFB与△EFD为等腰直角三角形，然后在△ABF中依据勾股定理可求得BF和AF的长，从而得到DF的长，然后在Rt△EDF中，可求得DE的长；
（2）延长DE至K，使EK=EB，联结AK．首先证明∠AEB=∠AEK，然后依据SAS证明△AEB≌△AEK，由全等三角形的性质可得到可等边三角形的判断定理可证明△AKD为等边三角形，于是得到KD=BC，通过等量代换可得到问题的答案；
（3）记AB与DE的交点为O．首先证明依据菱形的性质可得到∠ABC=2∠ABD，然后依据平行四边形的性质可证明∠CDE=∠BOE，最后依据三角形外角的性质可得到问题的答案． 【解答】解：（1）如图1所示：
26
∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=AB=
，AB∥CD．
∴∠A=∠ADE=45°． ∵AD⊥BE， ∴∠AFB=DFE=90°．
∴△AFB与△EFD为等腰直角三角形． ∴BF+AF=AB，即：2BF=6， ∴BF=AF=
．
2
2
2
2
∵△EFD为等腰直角三角形， ∴EF=DF=AD﹣AF=∴DE=
EF=
（
﹣﹣
． ）=2
﹣
．
（2）如图2所示：延长DE至K，使EK=EB，联结AK．
∵2∠AEB=180°﹣∠BED，
∴∠BED=180°﹣2∠AEB=180°﹣∠AEB﹣∠AEK． ∴∠AEB=∠AEK．
27
在△AEB和△AEK中∴△AEB≌△AEK．
∴∠K=∠ABE=60°，Ak=AB． 又∵AB=AD， ∴AK=AE．
∴△AKD为等边三角形． ∴KD=AD． ∴KD=BC． ∵KD=KE+DE， ∴CB=EB+DE．
，
（3）如图3所示：记AB与DE的交点为O．
∵四边形ABCD为菱形， ∴AB∥DC，∠ABC=2∠ABD． ∴∠CDE=∠BOE． ∵∠ABC=∠BED+∠EOB， ∴2∠ABD=∠BED+∠CDE．
【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判断、平行线的性质、三角形外角的性质，掌握问题中辅助线的做法，并征得△AKD为等边三角形是解题的关键．
28
26．（12分）（2016•重庆校级一模）如图1，已知抛物线y=x﹣x﹣3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为
2
D
（1）求出点A，B，D的坐标；
（2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′′B′DC，请求出四边形O′B′DC的周长最小值． （3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN．当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点N的坐标． 【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可求出点A、B的坐标，再利用配方法将抛物线解析式进行配方即可得出顶点D的坐标；
（2）作点C（0，﹣3）关于x轴的对称点C′（0，3），将点C′（0，3）向右平移4个单位得到点C″（4，3），连接DC″，交x轴于点B′，将点B′向左平移4个单位得到点O′，连接CO′，CO″，则四边形O′B′C′C″为平行四边形，此时四边形O′B′DC周长取最小值．再根据两点间的距离公式求出CD、DC″的长度，即可得出结论；
（3）按点M的位置不同分两种情况考虑：①点M在直线y=x﹣3上，联立直线与抛物线解析式求出点M的坐标，结合点C的坐标以及等腰直角三角形的性质即可得出点N的坐标；②点M在直线y=﹣x﹣3上，联立直线与抛物线解析式求出点M的坐标，结合点C的坐标以及等腰直角三角形的性质即可得出点N的坐标．综合两种情况即可得出结论． 【解答】解：（1）令y=x2﹣x﹣3中y=0，则x2﹣x﹣3=0， 解得：x1=﹣2，x2=4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵y=x2﹣x﹣3=（x2﹣2x）﹣3=（x﹣1）2﹣
29
，
∴D（1，﹣
2
）．
（2）令y=x﹣x﹣3中x=0，则y=﹣3， ∴C（0，﹣3）． D（1，﹣
），O′B′=OB=4．
如图1，作点C（0，﹣3）关于x轴的对称点C′（0，3），将点C′（0，3）向右平移4个单位得到点C″（4，3），连接DC″，交x轴于点B′，将点B′向左平移4个单位得到点O′，连接CO′，CO″，则四边形O′B′C′C″为平行四边形，此时四边形O′B′DC周长取最小值．
此时C四边形O′B′DC=CD+O′B′+CO′+DB′=CD+OB′+DC″． ∵O′B′=4，CD=
∴四边形O′B′DC的周长最小值为4+
=+
，C″D=．
=
，
（3）△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形分两种情况（如图2）： ①过点C作直线y=x﹣3交抛物线于点M，
联立直线CM和抛物线的解析式得：，解得：或（舍去），
∴M（，）．
∵△CMN为等腰直角三角形，C（0，﹣3）， ∴点N的坐标为（0，）或（0，
）；
②过点C作直线y=﹣x﹣3交抛物线于点M，
联立直线CM和抛物线的解析式得：，解得：或（舍
去），
∴M（﹣，﹣）．
∵△CMN为等腰直角三角形，C（0，﹣3）， ∴点N的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．
30
综上可知：当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，点N的坐标为（0，）、（0，）、（0，﹣）或（0，﹣）．
【点评】本题考查了解一元二次方程、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及二元二次方程组，解题的关键是：（1）令y=0求出A、B点的横坐标；（2）找出四边形O′B′DC的周长最小时点B′的位置；（3）分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．
31
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