二元正态分布的边缘分布推导

边缘分布是指多维随机变量的联合分布中，某几个变量的边际（或边缘）分布。在二元正态分布中，我们考虑了两个随机变量的联合分布，即二维平面中的分布。边缘分布推导使我们能够研究两个变量的单独行为，而不考虑其他变量的影响。

我们先从二元正态分布开始推导。设有两个随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为：

f(x,y) = 1 / (2πσXσY√(1-ρ²)) * exp(-(1/(2(1-ρ²))) * ( ((x-μX)/σX)² - 2ρ((x-μX)(y-μY)/(σXσY)) + ((y-μY)/σY)²) )

其中，μX和μY分别是X和Y的均值，σX和σY是它们的标准差，ρ是它们的相关系数。

我们的目标是推导出X和Y的边缘分布，即fX(x)和fY(y)。为了做到这一点，我们需要通过积分计算边际概率密度函数。具体而言，对于fX(x)，我们需要积分f(x,y)在y整个范围上对y进行求积分。而对于fY(y)，我们需要积分f(x,y)在x整个范围上对x进行求积分。

现在我们来推导fX(x)。我们有： fX(x) = ∫[负无穷,正无穷] f(x,y) dy 代入f(x,y)的表达式，我们得到：

fX(x) = 1 / (2πσXσY√(1-ρ²)) * exp(-(1/(2(1-ρ²))) * ( ((x-μX)/σX)² - 2ρ((x-μX)(y-μY)/(σXσY)) + ((y-μY)/σY)²) ) dy

在这个表达式中，只有y是变量，其他参数如μX、μY、σX、σY和ρ都是常数。我们把这些常数项提出来：

fX(x) = 1 / (2πσX√(1-ρ²)) * exp(-(1/(2(1-ρ²))) * ((x-μX)/σX)² ) * ∫[负无穷,正无穷] exp(- 2ρ((x-μX)(y-μY)/(σXσY)) + ((y-μY)/σY)²) dy

我们需要对这个积分求解。我们注意到积分的形式类似于高斯函数的积分，所以我们将其进行变换。首先，我们定义：

u = (y-μY)/σY

v = ((x-μX) - ρσXu) / σY

通过这个变换，我们可以把积分的形式变为标准形式。我们需要计算积分的雅可比行列式的绝对值，即|J|，其中J是变换的雅可比矩阵。雅可比矩阵J的元素可以通过变量替换的方法计算。

∂(u, v)/∂(y, x) = 1 / (σYσX)

因此，|J| = 1 / (σYσX)。现在我们可以对积分进行变换，得到：

fX(x) = 1 / (2πσX√(1-ρ²)) * exp(-(1/(2(1-ρ²))) * ((x-μX)/σX)² ) * ∫[负无穷,正无穷] exp(-2ρv²) |J| du

将J代入，我们得到：

fX(x) = 1 / (2πσX√(1-ρ²)) * exp(-(1/(2(1-ρ²))) * ((x-μX)/σX)² ) * ∫[负无穷,正无穷] exp(-2ρv²) / (σYσX) du

我们需要对这个积分求解。根据高斯积分的结果，这个积分可以通过替换变量并代入高斯积分的结果进行计算。经过计算，我们得到：

fX(x) = 1 / (√(2π)σX√(1-ρ²)) * exp(-(1/(2(1-ρ²))) * ((x-μX)/σX)² )

这是X的边际概率密度函数，即X的边际分布的表达式。 同样的方式，我们可以推导出Y的边际概率密度函数fY(y)。具体步骤类似，经过计算，我们得到：

fY(y) = 1 / (√(2π)σY√(1-ρ²)) * exp(-(1/(2(1-ρ²))) * ((y-μY)/σY)² )

这是Y的边际概率密度函数，即Y的边际分布的表达式。 综上所述，通过对二元正态分布的联合概率密度函数进行积分，我们可以推导出X和Y的边际概率密度函数，从而能够研究X和Y的单独行为。这种推导为我们分析和应用二元正态分布提供了重要的理论基础。