关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论 (1)

关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论 (1)

椭圆、双曲线的对偶性质结论 1．（1）椭圆中，PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

证明：延长F2H至M，交PF1于M ∵PT平分∠MPF2 ，

又F2H⊥PT，∴|PM||PF|

2又|PF||PF|2a，∴|PM||PF|2a|FM|2|OH||OH|a.

1211∴H轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴

端点.

（2）双曲线中，PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.

证明：延长F1H到M，交PF2于M，则PMPF，

1又|PF||PF|2a，∴|FM|2a

122又H、O为MF1、F1F2中点，

FM|OH|a ∴OH 122∴ H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.

2．（1）椭圆中，以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

证明：设PQ中点S，作PM⊥l于M，SA⊥l于A，QN⊥l于N

11|SA|(|PM||QN|)(|PF2||QF2|)22e11(|PF2||QF2|)|PQ|r22

∴以PQ为直径的圆必与对应准线相离.

（2）双曲线中，以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

证明：PB为焦点弦，S为PQ中点，作PCl于C

SMl于M，QDl于D

11则|SM|1(|PC||QD|)(|PF||FQ|)|PQ| 22e2|PQ||SA| ∴12∴以PQ为直径的圆必与对应准线相

离.

注：抛物线中，以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相切. 3．（1）椭圆中，椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.

3

证明：如图，设以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1，圆心为O1，

由椭圆定义知|MF||MF||AB||MF||AB||MF|

1|MF|(|AB||MF|)ar ∴⊙O、⊙O1∴|OO|12212121121相内切

（2）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).

证明：以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1，

圆心为O1；以MF1为直径的圆的半径为r2，圆心为O2，

由双曲线定义知|MF||MF||AB|

1∴|OO|1|FM|(|MF||AB|)ra， 22121121∴圆O1与圆O外切 又

|MF1||AB||MF2|22

121∴|OO|1|FM|(|MF||AB|)ra， 22∴圆O2与圆O内切

4．（1）设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，

4

必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.

证明：设旁切圆切x轴于A'，切PF于M，F1P于

2N，

则|PN||PM|

1|MF2||MA'|122

|F1N||F1A'|

∴|PF||PM||FF||MF|

|PF1||PF2||F2A'||F1F2||F2A'|2a2c2|F2A'||F2A'|ac|F2A2|

∴A'与A2重合.

（2）设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2的内切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）. 证明：设AA切X轴于点A'，与PF切于M，PF2

121切于N

∵|PF||PF|2a|PM||MF||PN||NF|2a

1212∵|PM|=|PN|,|MF1|,|NF2|=|A'F|

2∴|FA'||A'F|2a

12又|FA'||A'F|2c

12∴|A'F|ca|AF|，∴A'与A重合.

2222注：可知，圆心在直线xa或直线xa上.

xy5．（1）椭圆a1（a＞b＞o）的两个顶点为b2222A1(a,0)

,A(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于25

P1、P2时，A1P1与A2P2交点的轨迹方程xy是a1. b2222证明：设交点S(x,y)，P(m,n)，P(m,n)

0012∵K∴ 又 ∴

P1A1KA1S

KP2A2KP2S，

y0nmaxa2y0y0y0nnn20222ymamaxaxaamx0a2n000max0am2n2n2m2n2b212122a2b2baam2a2

x2y21a2b2222y0x0y0b22212x0a2a2ab，即轨迹方程为

（2）双曲线

1x2y21a2b22（a＞0,b＞0）的两个顶点为A(a,0),A(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨xy迹方程是a1. b2222证明：设交点S(x,y),P(m,n),P(m,n)

0012∵K∴

P1A1KA1S

KP2A2KP2S，

y0nmaxa2y0y0y0nnn20222ymamaxaxaamx0a2n000max0a又∴

m2n2n2m2n2b2122122a2b2baam2a222y0x0y0b22221 2x0a2aab，

6

即

x2y21a2b2*6．（1）若P(x,y)在椭圆000x2y21a2b2上，则过P的椭圆0的切线方程是xaxyby1.

0202证明：求导可得：

2x2yy'20a2b ∴

x0b2y'y0a2，

∴切线方程：

x0b2yy0(xx0)y0a2

2222y0ya2y0axx0b2x0b2222y0ya2xx0b2x0by0aa2b2 ∴xxax2y21a2b202yy01b2

（2）若P(x,y)在双曲线0000（a＞0,b＞0）上，0202则过P的双曲线的切线方程是xaxyby1. 证明：求导可得：

x0b2x0xy0yyy0(xx)210y0a2a2b000x0b22x2yy20y'a2by0a2，切线方程

x2y21a2b27．（1）若P(x,y)在椭圆外 ，则过P0作椭0202圆的两条切线，切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是xaxyby1.

证明：设P(x,y)，P(x,y)，则过点P、P切线分别为xxyyxxyyl:1,l:1 abab111222121121222222∵P在l、l上 ∴xax012102y1y01b202，xax

202y2y01b2

∴过P1，P2方程xaxyyb021 7

（2）若P(x,y)在双曲线000x2y21a2b2（a＞0,b＞0）外 ，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是xaxyby1. 0202证明：设P(x,y),P(x,y)，则过PP切线分别为l:xaxyby1，xxyyl:1 ab111222121121222222∵P在l、l上 ∴xax012102y1y01b2，xax202y2y01b2

∴过PP方程xaxyby1

1202028．（1）AB是椭圆x2y21a2b2的不平行于对称轴且OM不过原点的弦，M为AB的中点，则k证明：设A(x,y),B(x,y) 则M(xAABBAkABb22a. xByAyB,)22

kABb22aKOMKAByAyByAyByA2yB22xAxBxAxBxAxB2①

∴kOM又

xA2yA2xB2yB2xA2xB2yA2yB22122a2baba2b2x2y21a2b2

（2）AB是双曲线

（a＞0,b＞0）的不

2平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kkb. aOMAB2证明：设A(x,y),B(x,y)，则M(xAABBAxByAyB)22，

KABb22aKOMKAB22yAyByAyByAyB22xAxBxAxBxAxB ，∴KOM又

22222222xAxbxAyAxByByAyBa2b2a2b2a2b2

8

9．（1）若P(x,y)在椭圆000x2y21a2b2内，则被P0所平分. 的中点弦的方程是

x0xy0yx02y02222a2bab证明：设中点弦交椭圆一个定点为A(m,n)，则另一个为B(2xm,2yn)

∴(2xam)(2ybn)002200221① ，

m2n21a2b2②

①－②得：又

22x0x0my0y0n2ab22y02ny0nb2x0kAB2x02mx0my0a2∴弦AB方程为

22b2x0yy0xx0y0x0yy0(xx0)2222y0a2baba

证明二：由第9题得：k∴弦AB方程为

000ABkOP0b2x0b2b2y02kAB22aax0ay0，

22b2x0yy0xx0y0x0yy0(xx0)2222y0a2baba

（2）若P(x,y)在双曲线x2y21a2b2（a＞0,b＞0）内，x0xy0yx02y02222a2bab则被P0所平分的中点弦的方程是一个B(2xm,2yn)

∴(2xam)00. 证明：设中点弦交双曲线一个交点A(m,n)，则另

202(2y0n)21 b22002

22x0x0ny0y0nm2n21a2b2a2b2

2y2nbx又K弦2， x2mya00 9

∴方程为

00022b2x0x0xy0yx0y0yy0(xx0)2222y0a2abab

10．（1）若P(x,y)在椭圆中点的轨迹方程是212212222222x2y21a2b2内，则过P0的弦x2y2x0xy0y22a2b2ab. 222证明：设弦交椭圆于P(x,y)，P(x,y)中点S(m,n).

nyxyxy(xx)bmb a 1kkmxbab(yy)ana11212120P1P222P0S120 ∴

m2n2x0my0nmbmx0bnany0a2222abab222222000 即

x2y2x0xy0y22a2b2ab.

（2）若P(x,y)在双曲线

x2y21a2b2（a＞0,b＞0）内，

x2y2x0xy0y22a2b2ab22则过P0的弦中点的轨迹方程是

1112212212222222212.

证明：设弦与双曲线交于P(x,y),P(x,y)，中点S(m,n)

nyxyxy(xx)bmbKK mxabab(yy)ana20P1P222POS120m2n2x0my0ymbmbx0nanay02222abab222222，

即

x2y2x0xy0y22a2b2ab

(a＞0, b＞0)上任一点11．（1）过椭圆A(x0,y0)x2y21a2b2任意作两条倾斜角互补的直线交0椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且bxk（常数）. ay2BC20证明：设两直线与椭圆交于点(x,y)　　(x,y).

1122 10

y1y0x1x0kAB2222x1x0y1y0x0y0x12y12x2y21a2b2a2b2a2b2ky2y0x2x0ACx2x0y2y0b22　①ab　②a22

由题意得①＝② ∴

y1y0x2x0b2x1x0y2y0a2，

y2y0x1x0b2x2x0y1y0a2

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2222(y1y2y0y2y0y1y0)a(x1x2x2x0x1x0x0)b　③2222(y1y2y0y1y0y2y0)a(x1x2x1x0x2x0x0)b　④2a2y0(y1y2)2b2x0(x1x2)

（定值）

（a＞0,b＞o）上任一 ③－④得：

y1y2b2x0KBCx1x2a2y0（2）过双曲线

00x2y21a2b2点A(x,y)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定

bx向且ka（常数）. y20BC20证明：设两直线与双曲线交于点(x,y),(x,y)，则

1122kAB222222x1y1x2y2x0y2a2b2a2b2a2b2kACy1y0x1x0b2　①x1x0y1y0a2y2y0x2x0b2　②x2x0y2y0a2

由题意得①＝－② ∴

y1y0(x2x0)b2y2y0x1x0b2,x1x0y2y0a2x2x0y1y0a2

11

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2222(y1y2y0y2y1y0y0)ab(x1x2x0x2x0x1x0)02222(y1y2y0y1y0y2y0)ab(x1x2x0x1x0x2x0)0③④

③－④

12．（1）椭圆b2x0y1y22KBCx1x2ay0（定值）

x2y21a2b2 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点FPF，则椭圆的焦点三角形12的面积为

2b2|PF1||PF2|1cos；

SF1PF2b2tan2；a2b222P(cbtan,tan)c2c2 . ，

证明：设|PF|m，|PF|n，则mn2a.

12由余弦定理mn222mncos4c24a24b2(mn)24b22b22b(1cos)mn|PF1||PF2|1cos2.

，

S△F1PF2112b2mnsinsinb2tanc|yP|221cos2∴

b2a2yPtanxPcb2tan2c2c2 （2）双曲线

x2y21a2b2（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上异于顶点任意一点FPF，则双曲线的焦点三角形的面积为122b2|PF1||PF2|1cos；S1F1PF2bcot22；a2b222P(cbtan,cot)c2c2 . 证明：设|PF|m,|PF|n,|mn|2a，

2 12

m2n22mncos4c24a24b2(mn)24b2，

，

2b22bmn(cos1)|PF1||PF2|1cos2

, SF1PF21sinmnsinb2b2cotc|yp|2cos12∴

cb2ypcotxp1c2b2tan2c2c213．（1）若P为椭圆x2y21a2b2（a＞b＞0）上异于PF1F2长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF2F1ac，则atancot. c2211证明：设|PF|r

1212|PF2|r2.

r1r22a，|rFFr|a ① c1212sin又|rFFr|sinsin()coscos2222sincoscos2221tan1tan2sincoscos

22coscos22sinsin2sinsin22tantan2 ②

2222ac由①、②得：tan tan22ac（2）若P为双曲线

x2y21a2b2（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2ca是焦点, PFF, PFF，则ctancota221221ca（或ctancot）. a22证明：设P在左支，|PF|PF|2a，|FF|2c |PF||PF|a ① |FF|c21122112 13

|PF2||PF1|sinsin|F1F2|sin()2222sincossin2222sincossin

sinsin2coscos2sinsin22coscos221tan1tan22cotcot22cot

②

22由①、②得：ac2catancotca221tancot2221tanca同理，P在右支时，ctancot a2214．（1）椭圆,x2y21a2b2（a＞b＞0）的焦半径公式：F2(c,0)|MF1|aex0|MF2|aex0.(F(c,0) , 1，M(x,y)). 00证明：椭圆上点M到左右准线距离

a2d2x0ca2d1x0c，

，∴|MF|aex

10|MF2|aex0

（2）双曲线式：(F(c,0) , 11x2y21a2b2（a＞0,b＞o）的焦半径公00，M(x,y)

|MF|(exa),|MF|(exa). F2(c,0)0200当xa2d2x0c0时，取“+”；当x

|MF2|ex0a00时，取“－”. a2d1x0c证明：若M在右支，则M到左准线距离

，|MF|deexa

11002，

，

a2d2x0c若M在左支，则

|MF|deaex |MF|aex

110a2d1x0c，

14

15．（1）P为椭圆x2y21a2b2（a＞b＞0）上任一点,F1、F2为左、右焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF||PA||PF|2a|AF|,当且仅当A,F,P三点共2112线时，等号成立.

证明：若A、F2、P不共线，

在△APF2中|PA||AF||PF|　　　|PA||AF||PF2|

222∴|PF||AF||PA||PF||AF|，2a|AF||PA||PF|2a|AF|

2222222当A、P、F2共线时取等号.

xy（2）P为双曲线a（a＞0,b＞0）上任一1b2222点,F1,F2为左、右焦点，A为双曲线内一定点，则|AF|2a|PA||PF|,当且仅当A,F,P三点共线且P和A,F在y轴同侧时，等号成立.

2122证明：若A、P、F2不共线，

在

APF2中

1|AF2||PA||PF2||AF2||PA||PF1||PF2||PF1|2a

∴|AF|2a|PA||PF|

2当且仅当P和A、F2在y同侧且共线

时，|AF||PA||PF|，

22此时|AF|2a|PA||PF|

21 15

16．（1）椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线l：yk(xx)对称的充要条件是x(aabbk).

x2y21a2b2022222022分析：该问题等价于在椭圆上找两点，过这两点直线l，斜率为1，其中垂线l为yk(xx) k10则

(a2b2)2x<2ab2k2201。

证明：设l方程为y1xm 即xmkky，中点为k(x,y)

得(bka)y2mbkybkmab0

2mbkmbk yyyabkabk22222222222222212222222ma2kxmkmy022bka2m2k2(a2b2)2mk(a2b2)2x0x02(a2b2k2)2ab2k2

yyk(xx) 代入

(x0,0)，

又△＞0

a2k2b2mk22，∴

(a2b2)2x02ab2k2注：还可以用点差法.

xy（2）双曲线a1（a＞0,b＞0）上存在两b2222点关于直线l：yk(xx)对称的充要条件是(ab). xabk022222022证明：该问题等价于在双曲线找两点，过这两

点直线l，斜率为1， 其中垂线l为yk(xx)，k10则

(a2b2)2x222abk20

16

设l方程为

11yxmk

xmkky 代入

x2y21a2b2，

得(bk22a2)y22mb2k2yb2k2m2a2b202mb2k2y1y222bka2，中点为，即

42mka2mb2k2(22,)bka2b2k2a2，

0则l可以写成得

mk(a2b2)x022bka2mb2k2mka2y22k(x22)bka2bka2m2k2(a2b2)2x(b2k2a2)220代入(x,0)

2其中①，得

20a2b2k24mbk4b(kma)(bka)0mk222222222代入

(a2b2)2x222abk

xacos17．（1）P是椭圆（a＞b＞0）上一点，ybsin则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e211sin2.

12证明：P(acos,bsin),FP(acosc,bsin)，FP(acosc,bsin)，FPFP

∴(acosc)(acosc)bsin1 acoscbsin1

1又cos1sin，a(1sin)cbsin1∴e1sin 122222222222222222xasec（2）P是双曲线（a＞0，b＞0）上ybtan一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充1要条件是e1tan. 22证明：设P(asec,btan)，双曲线方程为 设焦半径为C，c

2x2y21a2b21，

2a2b2,焦点C(c,0),C(c,0)，

17

PC1PC2， ∴PCPC120，即(asecc)(asecc)btan0

22a2sec2b2tan2c20a2(tan21)b2tan2c20211tan2

x2y2a2b218．（1）已知椭圆

x2y21a2b2（ a>b>0）和

（01 ），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.

证明：设直线方程为ykxm,

x2y2x2(kxm)21k222kmm2222(22)x2x20ba2ababbbykxm

x2y21a2b2视作1的特殊情况.

2km2xx1xD12b2221ka2b2DD弦中点坐标而yD 与无关.

kxDm ∴D(x,y)与无关.∴线段AD,BC中

22点重合|AB||CD|.

x（2）已知双曲线ax2y2a2b2y221b（a＞0,b＞0）和

（01 ），一条直线顺次与它们

相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.

证明：设直线方程为ykxm，代入双曲线方程

x2y21k222kmm222(22)x2x20baabbbykxm

x2y21a2b2

视作1的特殊情况

18

弦中点坐标

DD2km2xx1xD12b2221ka2b2与无关

∴D(x,y)与无关，∴AD、BC的中点同为T，

|AT||DT|且|BT||CT|

22∴|AB||AT||BT||DT||CT||CD|

xy19．（1）已知椭圆a1（ a＞b＞0）,A、B、b22是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分

bab线与x轴相交于点P(x,0), 则aa. xa222200证明：设A为(x,y)B为(x,y)

1122x12x121(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)xDyDa2b2k222222ababx2y21a2b2

∴∵

yD1a2b2PDxoxDyDkxDxoxDka2

a2b2a2b2axDaxDaax2y21a2b2

（a＞0,b＞0）,A、

（2）已知双曲线

B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x,0), 则abab或. xxaa0222200xy证明：设A为(x,y)，B为(x,y)，由点差法得：k ab①

bx1xkyx，由①得k又有：x0yxk，ay1122中2中22中中0中中20中中 19

b2a

20

∴

b2a2x0x中a2

a2b2x中≤-a显然或

a2x0≥