一、选择题（共10小题）.
1．（5分）在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（ ） A．第一象限 2．（5分）直线x﹣A．30°
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
y+1＝0的倾斜角为（ ） B．45°
C．60°
D．90°
3．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（ ） A．1
B．
C．
D．2
4．（5分）直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直，则实数a的值为（ ） A．﹣1
B．1
C．﹣1或1
D．以上都不对
5．（5分）已知向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（ ） A．﹣1
B．1
C．1或﹣1
D．1或0
，则BE1与DF1所成的角
6．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个
，则|z|的最大值为（ ）
C．
D．6个
8．（5分）设复数z满足A．
B．2
D．4
9．（5分）通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角．已知l1：2x﹣3y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2夹角的余弦值是（ ） A．
B．
C．
D．
10．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，点C（cosθ，sinθ），且＝，A．相离 C．相交
二、填空题（共5小题）. 11．（5分）复数z＝
，则|z|＝ ．
＝，则直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系是（ ）
B．相切
D．以上三种情况都有可能
12．（5分）已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为 ．
13．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为 ，若圆C关于直线l对称，则k＝ ． 14．（5分）直线l：y＝kx+最大时，k＝ ．
15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D1B，点H在棱D1D上运动，则二面角H﹣AC﹣P的余弦值的取值范围是 ．
与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，当△AOB的面积达到
三、解答题共5小题，共45分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16．（8分）已知复数z＝1﹣i（i是虚数单位）． （Ⅰ）求z2﹣z；
（Ⅱ）如图，复数z1，z2在复平面上的对应点分别是A，B，求．
17．（8分）已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点． （1）求圆C的方程；
（2）若圆C与圆D：（x﹣1）2+y2＝r2有公共点，求r的取值范围．
18．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD＝1，E为线段AD的中点．PE⊥底面ABCD，且PE＝的中点，平面BEF与棱PD相交于点G． （1）求证：BE∥FG；
（2）求直线PB与平面BEF所成角的正弦值；
（3）设H为PB中点，DH∩平面BEF＝M．求BM的长．
，点F是棱PC
19．（10分）已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程； （2）求四边形QAMB面积的最小值； （3）若|AB|＝
，求直线MQ的方程．
20．（9分）已知集合Rn＝{（x1，x2，…，xn）|xi∈R，i＝1，2，…，n}（n≥1），定义Rn
上两点A（a1，a2，…，an），B（b1，b2…，bn）的距离d（A，B）＝（1）当n＝2时，以下命题正确的有 （不需证明）： ①若A（1，2），B（4，6），则d（A，B）＝7；
|ai﹣bi|．
②在△ABC中，若∠C＝90°，则[d（A，C）]2+[d（C，B）]2＝[d（A，B）]2； ③在△ABC中，若d（A，B）＝d（A，C），则∠B＝∠C；
（2）当n＝2时，证明R2中任意三点A，B，C之间的距离满足d（A，B）≤d（A，C）+d（C，B）；
（3）当n＝3时，设A（0，0，0），B（4，4，4），P（x，y，z）其中x，y，z∈Z，d（A，P）+d（P，B）＝d（A，B）．
求满足条件的P点的个数n，并证明从这n个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或以它们为顶点的三棱锥体积不大于．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解：复数z＝1+i的共轭复数为z＝1﹣i， 对应的点为（1，﹣1）， 所以该点位于第四象限， 故选：D． 2．（5分）直线x﹣A．30°
y+1＝0的倾斜角为（ ） B．45°
C．60°
D．90°
解：根据题意，设直线x﹣直线x﹣
y+1＝0的倾斜角为θ，
x+
，
y+1＝0可以变形为y＝
，
其斜率k＝tanθ＝
又由0°≤θ＜180°， 则θ＝30°； 故选：A．
3．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（ ） A．1
B．
C．
D．2
解：点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离： d＝
＝
≤2，
∴当k＝0时，点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离取最大值为2． 故选：D．
4．（5分）直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直，则实数a的值为（ ） A．﹣1
B．1
C．﹣1或1
D．以上都不对
解：∵直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直，∴（a+2）•（a﹣1）+（1﹣a）•（2a+3）＝0，求得a＝±1． 故选：C．
5．（5分）已知向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（ ） A．﹣1
B．1
C．1或﹣1
D．1或0
解：∵向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），，，共面， ∴设＝∴
，即（1，x，﹣2）＝（0，m，2m）+（n，0，0）＝（n，m，2m）， ，解得
．
∴x＝﹣1． 故选：A．
6．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝的余弦值是（ ）
，则BE1与DF1所成的角
A． B． C． D．
解：如图
先将F1D平移到AF，再平移到E1E， ∠EE1B为BE1与DF1所成的角 设边长为4则，E1E＝E1B＝cos∠EE1B＝故选：A．
，
，BE＝2
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|＝3，
则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3）， ∴
＝（﹣3，﹣3，3），
设P（x，y，z）， ∵∴
∴|PA|＝|PC|＝|PB1|＝|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝|PB|＝|PD1|＝
，
＝
．
，3，
，
共4个．
＝（﹣1，﹣1，1），
＝（2，2，1）．
＝，
，
故P到各顶点的距离的不同取值有故选：B．
8．（5分）设复数z满足A．
B．2
，则|z|的最大值为（ ）
C．
，
为半径的圆，
D．4
解：因为：复数z满足
所以：复数z对应复平面上的点是以（1，1）为圆心，故|z|的最大值即为圆的直径故选：C．
．
9．（5分）通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角．已知l1：2x﹣3y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2夹角的余弦值是（ ） A．
B．
C．
D．
解：直线l1、l2的斜率分别为k1＝，k2＝﹣2，
设两条直线的夹角为α，则tanα＝|∵α为锐角， ∴cosα＝故选：A．
＝
．
|＝8，
10．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，点C（cosθ，sinθ），且＝，A．相离 C．相交 解：|OC|＝
故C在圆x2+y2＝1上，
＝1，
＝，则直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系是（ ）
B．相切
D．以上三种情况都有可能
∵＝，＝，
在上的投影为＝，在上的投影为＝，
在OC上取点D，使得OD＝OC＝，过点D作OC的垂线l， 设P为直线l上任意一点，则∴点A，B都在直线l上， ∴直线AB与圆x2+y2＝1相交． 故选：C．
在
上的投影为OD＝，
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）复数z＝解：化简可得复数＝
∴|z|＝|﹣i|＝1 故答案为：1
12．（5分）已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为 （5，13，﹣3） ． 解：由平行四边形的两条对角线互相平分，得 A，C两点的坐标和等于B、D两点的坐标和 设D点坐标为（x，y，z） 则
＝
，则|z|＝ 1 ．
＝﹣i
解得：
故答案为：（5，13，﹣3）
13．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为 （1，2） ，若圆C关于直线l对称，则k＝ 1 ． 解：由圆C的标准方程可得圆心坐标为（1，2）； 因为圆C关于直线l对称，所以圆心在直线l上， ∴2＝k（1+1），解得k＝1． 故答案为：（1，2），1． 14．（5分）直线l：y＝kx+最大时，k＝
．
与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，当△AOB的面积达到
解：圆O：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径r＝1， 由y＝kx+
，得kx﹣y+
＝0，
，
∴圆心O（0，0）到直线AB的距离d＝
弦AB的长度|AB|＝2∴S△AOB＝|AB|•d＝d当且仅当d2＝时取等号， 此时故答案为：±
，即k＝±．
，
，
，
15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D1B，点H在棱D1D上运动，则二面角H﹣AC﹣P的余弦值的取值范围是 [﹣
，] ．
解：如图，
连接AC，AB1，B1C，BD，由正方体的结构特征可得AC⊥BD，D1D⊥AC， 又DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面D1DB，得AC⊥BD1， 同理可证AB1⊥BD1，而AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面AB1C， ∵点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D1B， ∴P在线段B1C上（不含端点），则平面PAC与平面B1AC重合， 点H在棱D1D上运动，设AC∩BD＝O，连接B1O，HO，
HO⊥AC， 由AC⊥平面D1DB，可得B1O⊥AC，则∠HOB1为二面角H﹣AC﹣P的平面角．当H与D1重合时，∠D1OB1最小，此时cos∠D1OB1＝cos2∠OB1B＝2cos2∠OB1B﹣1， 设正方体的棱长为2，则cos∠D1OB1＝2cos2∠OB1B﹣1＝2×当H与D重合时，此时∠DOB1最大，cos∠DOB1＝﹣cos∠BOB1＝∴二面角H﹣AC﹣P的余弦值的取值范围是[﹣故答案为：[﹣
，]．
，]．
＝；
．
三、解答题共5小题，共45分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16．（8分）已知复数z＝1﹣i（i是虚数单位）． （Ⅰ）求z2﹣z；
（Ⅱ）如图，复数z1，z2在复平面上的对应点分别是A，B，求
．
解：（Ⅰ）∵z＝1﹣i，
∴z2﹣z＝（1﹣i）2﹣（1﹣i）＝1﹣2i+i2﹣1+i＝﹣1﹣i； （Ⅱ）∵z1＝2i，z2＝2+i， ∴
＝
＝
．
17．（8分）已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点． （1）求圆C的方程；
（2）若圆C与圆D：（x﹣1）2+y2＝r2有公共点，求r的取值范围． 解：（1）设圆心C（0，b），由于圆过（0，0），（0，2）两点，
∴0+（b﹣0）2＝0+（b﹣2）2，求得b＝1，半径为|b|＝1，故圆C的方程为 x2+（y﹣1）
2
＝1．
（2）若圆C与圆D：（x﹣1）2+y2＝r2有公共点，
则两圆的圆心距大于或等于半径之差而小于或等于半径之和， 即|r﹣1|≤
≤1+r，求得
﹣1≤r≤
+1．
18．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD＝1，E为线段AD的中点．PE⊥底面ABCD，且PE＝的中点，平面BEF与棱PD相交于点G． （1）求证：BE∥FG；
（2）求直线PB与平面BEF所成角的正弦值；
（3）设H为PB中点，DH∩平面BEF＝M．求BM的长．
，点F是棱PC
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，BC∥AD，BC＝AD， ∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，又BE⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， ∴BE∥平面PCD，
又BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG， ∴BE∥FG．
（2）解：∵∠ADC＝90°，∴平行四边形BCDE是矩形， ∴BE⊥AD，
以EA，EB，EP为坐标轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示， 则P（0，0，∴
），B（0，1，0），E（0，0，0），F（﹣，，
），
＝（0，1，0），
＝（﹣，﹣，
）， ），
＝（0，1，﹣
设平面BEF的法向量为＝（x，y，z），则令z＝1可得＝（∴cos＜
，＞＝
，0，1），
＝
＝﹣
，
，即，
∴直线PB与平面BEF所成角的正弦值为（3）解：D（﹣1，0，0），H（0，，0），
． ），∴
＝（1，，
），
＝（1，0，
∴cos＜＞＝＝＝，
设DH与平面BEF所成角为θ，则sinθ＝，
又D到平面BEF的距离d＝＝＝，
且sinθ＝又DH＝∴
＝
，∴DM＝，∴
＝
＝，
），又
＝（1，1，0），
＝（，，
），
＝（﹣，﹣，|＝
＝
．
∴BM＝|
19．（10分）已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程； （2）求四边形QAMB面积的最小值； （3）若|AB|＝
，求直线MQ的方程．
解：（1）当过Q的直线无斜率时，直线方程为x＝1，显然与圆相切，符合题意； 当过Q的直线有斜率时，设切线方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0， ∴圆心（0，2）到切线的距离d＝
＝1，
解得k＝﹣．
综上，切线QA，QB的方程分别为x＝1，3x+4y﹣3＝0． （2）S四边形QAMB＝2S△MAQ＝2××1×∴当MQ⊥x轴时，MQ取得最小值2， ∴四边形QAMB面积的最小值为 （3）圆心M到弦AB的距离为 设MQ＝x，则QA2＝x2﹣1， 又AB⊥MQ， ∴（x﹣解得x＝
）2+（．
）2＝x2﹣1，
．
＝
， ＝
．
设Q（a，0），
∴a2+22＝∴Q（
⇒a＝±，0）或Q（﹣
． ，0）． x+2或y＝
x+2．
∴直线MQ的方程为y＝﹣
20．（9分）已知集合Rn＝{（x1，x2，…，xn）|xi∈R，i＝1，2，…，n}（n≥1），定义Rn
上两点A（a1，a2，…，an），B（b1，b2…，bn）的距离d（A，B）＝（1）当n＝2时，以下命题正确的有 ① （不需证明）： ①若A（1，2），B（4，6），则d（A，B）＝7；
②在△ABC中，若∠C＝90°，则[d（A，C）]2+[d（C，B）]2＝[d（A，B）]2； ③在△ABC中，若d（A，B）＝d（A，C），则∠B＝∠C；
（2）当n＝2时，证明R2中任意三点A，B，C之间的距离满足d（A，B）≤d（A，C）+d（C，B）；
（3）当n＝3时，设A（0，0，0），B（4，4，4），P（x，y，z）其中x，y，z∈Z，d（A，P）+d（P，B）＝d（A，B）．
求满足条件的P点的个数n，并证明从这n个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或以它们为顶点的三棱锥体积不大于．
解：（1）当 n＝2 时，①若 A（1，2），B（4，6），则 d（A，B）＝|4﹣1|+|6﹣2|＝7，①正确；
②在△ABC 中，若∠C＝90°，则|AC|2+|BC|2＝|AB|2，设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， 所以 而
，
|ai﹣bi|．
， [d
（
A
，
C
）
]2+[d
（
C
，
B
）
]2
＝
，
但 2|（x1﹣x3）（y1﹣y3）|+2|（x2﹣x3）（y2﹣y3）|＝2|（x1﹣x2）（y1﹣y2）|不一定成立，②错误；
③在△ABC 中，若 d（A，B）＝d（A，C）， 在②中的点坐标，有|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|x1﹣x3|+|y1﹣y3|， 但2|x1﹣x2|⋅|y1﹣y2|＝2|x1﹣x3|⋅|y1﹣y3|不一定成立， 因此|AB|＝|AC|不一定成立，
从而∠B＝∠C 不一定成立，③错误； 故正确的命题为①．
（2）证明：设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
根据绝对值的性质有|x1﹣x3|+|x2﹣x3|≥|x1﹣x2|，|y1﹣y3|+|y2﹣y3|≥|y1﹣y2| 所以 d（A，C）+d（B，C）≥d（A，B）．
（3）d（A，B）＝12，|x|+|x﹣4|≥4，|y|+|y﹣4|≥4，|z|+|z﹣4|≥4， 所以 d（A，P）+d（B，P）≥12，
当且仅当以上三个等号同时成立，d（A，P）+d（B，P）＝12，
又由已知 d（A，P）+d（P，B）＝d（A，B），∴0≤x≤4，0≤y≤4，0≤z≤4 又x，y，z∈Z，∴x，y，z＝0，1，2，3，4，5×5×5＝125，
点 P 是以 AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共 125 个，n＝125． 这 125 个点在 z＝0，z＝1，z＝2，z＝3，z＝4 这五面内．
这三个平面内，一个面上取不共线的 3 点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥． 则这个三棱锥的体积最大为
现在任取 11 个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无 4 点共面， 但 11 个点分在 5 个平面上至少有一个平面内有 3 个点（显然不共线 ），
若这三点在 z＝1，z＝2，z＝3 这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，
那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过 否则还有 8 个点在平面 z＝0 和 z＝4 上，不合题意，
若这三个点在平面 z＝0 或 z＝5 上，不妨设在平面 z＝0，若在平面 z＝1 在一个点， 则同样四点构成的三棱锥体积不超过 平面上，只能是 3，3，2 分布，
，否则剩下的 8 个点在 z＝2，z＝3，z＝4 三个
，
不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过 ，
综上，任取 11 个点，其中必存在 4 个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于
．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容