乒乓球垂直运动的计算机仿真

维普资讯 http://www.cqvip.com 中国科技论文统计源期刊　实验技术与管理　Ｖｔｌ１．２３　Ｎｏ．２　（中国科技核心期刊）　ＥＸＰＥＲＩＭＥＮ　Ｉ＇ＡＬ　ＴＥＣＨＮ０【ＤＧＹ　ＡＮＤ　ＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴ　ＦＥＢ．２ｏｏ６　乒乓球垂直运动的计算机仿真　杨宏伟，张云　（南京农业大学物理系，江苏南京２１００９５）　摘要：描述了乒乓球垂直下落过程中与台面相撞的运动状态，求取了该运动的数学方程和差分方程，设　计了相应的程序，并通过图像直观地反映了乒乓球的运动轨迹随参数的变化情况，对于促进和提高学生学　习物理、力学、数学及计算机应用技术的兴趣和水平具有积极的作用。　关键词：乒乓球；运动；差分方程；模拟　中图分类号：ＴＰ３９１．９　文献标识码：Ｂ　文章编号：１００２－４９５６（２００６）０２—００５９—０２　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｖｅｒｔｉｃａｌ　Ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｐｉｎｇ　Ｐｏｎｇ　ＹＡＮＧ　Ｈｏｎｇ－ｗｅｉ，ＺＨＡＮＧ　Ｙｕｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ　ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｎａｎｊｎｇ　２１００９５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｉｎ　ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ，ｗｅ　ｅｘｐｌａｉｎｅｄ　ｔｈｅ　ｍｏｖｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｉｎｇ　ｐｏｎｇ，ｐｒｏｃｕｒｅｄ　ｉｔｓ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｅ－　ｑｕａｔｉｏｎ，ｄｅｓｉｇｎｅｄ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｐｒｏｇｒａｍ，ａｎｄ　ｓｔａｔｅｄ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ　ｖｉｓｕａｌｌｙ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｐｉｃｔｕｒｅ．ｉｔ’ｓ　ｖｅｒｙ　ａｃｔｉｖｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｓｔｕｄｙｉｎｇ　ｐｈｙｓｉｃｓ，ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，ａｎｄ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｉｎｇ　ｐａｎｇ；ｍｏｔｉｏｎ；ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　乒乓球的运动过程非常复杂，包括垂直运动，　损失）。振动台台面的位移是一ｆｌｓｉｎｔｏｔ，乒乓球初　与地面或台面撞击反弹，或者用球拍不停地上下掂　始时刻在离台面垂直距离ｈ（ｌｆ＜ｚｈ）处，然后为自由　球的运动等。本文将乒乓球看成是仅有垂直方向的　落体运动，如图１所示。假定ｔｊ为第　次碰撞时　运动情况，仅研究当球上升、下降，与其它物体相　刻，而第－『次碰撞前的速度为一“（ｔ　），第＿『次碰撞　互作用后，反弹上升的基本情况。如果忽略其它因　后的速度ｕ（ｔｊ）。由于第　＋１碰撞前的速度“（ｔｊ＋。）　素的影响，用自由落体运动和完全弹性碰撞就能解　的大小等于第－『次碰撞后的速度，方向相反，所　释其运动规律。但如果碰撞面也是处于一个运动状　以，有：“（ｔｊ＋１）＝一ｖ（．ｔｊ）。　态的话就带来计算复杂性。本文根据其物理运动原　理，首次推导了其运动方程，并将其化为差分方　程，运用计算机进行了其运动规律研究，取得了很　好的效果，对于促进和提高学生学习物理、力学、　数学及计算机应用技术的兴趣和水平具有积极的　作用。　１乒乓球运动的数学方程和差分方程　图１运动示意图　；　设乒乓球只沿垂直方向运动，乒乓球与振动台　将振动台台面的运动速度记为　（ｔ），则　之间的碰撞恢复系数为０ｃ，０ｃ≤１（０ｃ＝１表示乒乓　（ｔ）＝一＃ｔｏｃｏ￣（ｔｏｔ）　球与振动台面是弹性碰撞，即碰撞时机械能量没有　由自由落体公式可知：　收稿日期：２００５．０４—０１　＋１—　＝２ｖ（ｔｊ）／ｇ　（１）　作者简介：杨宏伟（１９６３一），男，河南汝州市人，博士后，副教　下面引进两个无量纲的参量作为系统的状态参量：　授，主要研究方向：计算物理学、生物信息学　西＝ｔＯｔ，Ｖ＝２一Ｏｔｙ　（２）　基金项目：全国高等学校教学研究中心研究计划立项课题　ｇ　（Ｂ１Ａ０１００９２．１１０４）；南京农业大学重点课程建设资助项目．　这里西视为碰撞时刻的相位，　视为碰撞后的速　维普资讯 http://www.cqvip.com 实验技术　Ｉ．ｊ符州　度。再引进一个无量纲的参量作为系统的控制参量　ｙ，其中　为描述耗散作用的参量，ｙ为描述力的　振幅作用的参量，且　Ｖ＝一ｖ：　＿±．垡　　ｇ　（３）－），　由上述推导可知，对应时刻乒乓球的速度解析表达　式比较复杂，为此，下面选择用差分方法求解。为　推导方便，以下ｔ，（ｔｊ）改记为ｔ，　。在（１）式两边乘　以　得　４，ｊ＋Ｉ＝　，＋ｖｊ　（４）　乒乓球在　＋．时刻碰撞前的速度一ｕｊ＋．加上台面振　动的速度Ｗ（ｔｉ＋。），经台面受阻产生耗散作用，即　乘上耗散因子Ｏｔ后等于乒乓球在时刻ｔｊ＋．碰撞后的　速度ｖｉ＋．减去台面振动的速度Ｗ（ｔｊ＋。），即　＋ｌ—Ｗ（０＋１）＝　（一　＋ｌ＋Ｗ（ｔｉ＋１））　ｖｊ＋ｌ＝　＋（１＋Ｏ１）Ｗ（ｔｊ＋１）　＝．ｖｉ＋（１＋ＯＺ）（一　）Ｏ）ＣＯＳ（ｏ）ｔｊ＋１）　（５）　将上式两边乘以　，得　二【　ｔ，，＋ｌ＝　ｔ，／一＇ｙｃｏｓ（　ｆ＋１）　（６）　（６）式是以　与ｔ，　为状态变量的二阶差分非线形　方程组。　２程序设计和结果分析　为了更直观的描述反弹速度与ａ，ｌｌ；－］的关系，用　一些数据进行说明显得极为重要。根据上面所得的　方程，结合初始条件得到初值，经过迭代后得到一　系列数据，整个计算的流程图如图２所示。为了更　好的描述问题的物理性质，我们用不振动的台面进　行比较，分别设计出程序得到相应的数据，从而更　形象的表述本文的模型特征。　对上述程序给定无量纲初值：　＝０．８，　＝０．　０１，　＝３．１４，ｈ＝１．０，Ｇ＝１０．０，得到一系列的　数据。从数据中我们可估计到速度的大体变化情　况：速度是呈降低的趋势。得到如图３所示的结　果：图中的纵坐标表示下落后乒乓球的反弹速度，　图中点的个数就表示了乒乓球反弹的次数。由自由　落体的公式ｔ，＝￣／２ｇｈ可以知道，速度ｔ，与高度ｈ　成正相应关系，所以图中的纵坐标也就大体上反映　了反弹高度的情况。图３中的直线是台面不振动的　情况，曲线是台面的振动下得到的数据，进行对比　后我们会发现：台面的振动，使得乒乓球的振动时　间延长了，并且反弹高度变高；从数据中我们同时　发现这种情况下在桌面上振动的次数变少了，台面　不振动时为６９次，台面参与运动时为２７次（直线　图２计算流程图　的下半段是由很多密集的点连在一起）。　删　图３乒乓球反弹速度与时间关系图　３　结论　本文首次推导了乒乓球垂直下落过程中与台面　相撞的数学方程和差分疗程，设计了相应的程序，　得到了相应的结果，并通过图像直观地反应了乒乓　球的运动轨迹随参数的变化情况。该结论对研究乒　乓球的运动规律，在物理实验教学中模拟乒乓球的　运动，促进和提高学生学习物理、力学、数学及计　算机应用技术的兴趣和水平具有积极的作用。　参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：　［ｉ］聂勤务，蒋伟进．抛物运动的计算机仿真研究［Ｊ］．计算机仿　真，２００３，２０（１２）：８９－９ｉ．　［２］阮炯．差分方程和常微分方程［Ｍ］．上海：复旦大学出版　社。２００２．　［３］谭浩强．Ｃ程序没计［Ｍ］．北京：清华大学出版社．１９９９．　［４］倪少玲，ｒ　ｉ少新．船舶阻力教学实验的计算机模拟与仿真　［Ｊ］．实验技术与符理，２００３，２０（６）：４１—４５．　【５］｝　晓同，刘东梅．非线性动态电路状态轨迹的仿真［Ｊ］．实验　技术　管　，２（Ｘ）４，２１（３）：３２—３４．