周周测12 圆锥曲线的综合测试 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． x2y21．已知焦点在y轴上的椭圆10＋m＝1的长轴长为8，则m等于( ) A．4 B．8 C．16 D．18 答案：C 解析：椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16，故选C. x2y22．已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的方程为( ) 2x2y2yA.4－16＝1 B．x2－4＝1 2x2y2yC.2－3＝1 D．x2－6＝1 答案：A x2y2解析：因为双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，所以a＝2，c由离心率为5，可得a＝5，c＝25，所以b＝c2－a2＝20－4＝x2y24，则双曲线的方程为4－16＝1. 4x2y23．(2018·西安二模)设F1，F2是椭圆49＋6＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1PF2|＝，则△PF1F2的面积为( ) A．4 B．6 C．22 D．42 答案：B 解析：由题意知，|PF1|＋|PF2|＝7且|PF1PF2|＝，得|PF1|4922＝4，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2× －6＝5，显然，|PF|＋|PF|12＝4
1|F1F2|，所以△PF1F2为直角三角形，故△PF1F2的面积为2×3×4＝6. x2y24．从双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线l，切点为T，且l交双曲线的右支于点P，若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则|OM|－|TM|＝( ) b－aA.2 B．b－a a＋bbC.2 D．a＋2 答案：B 2 解析：如图，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，由三角形中位11线的性质及双曲线的定义可知|OM|－|TM|＝2|PF1|－2|PF|－|TF|＝1|TF|－2(|PF|－|PF1|)＝c2－a2－a＝b－a. 5．(2018·广东汕头黄图盛中学第三次质检)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( ) 43A.5 B.5 34C．－5 D．－5 答案：D 解析：∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F，∴点F的坐标为(1,0)．又∵直线y＝2x－4与C交于A，B两点，∴A，B两点坐标分别为(1，→→－8FA·FB→→＝(3,4)，∴cos∠AFB＝－2)，(4,4)，则FA＝(0，－2)，FB＝10→→|FA||FB|4＝－5.故选D. 6．(2018·湖南长沙望城一中第三次调研)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝4x C．y2＝±8x D．y2＝8x 答案：C a解析：∵抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为4，0，∴直线laa的方程为y＝2x－4.∵直线l与y轴的交点为A0，－2，∴△OAF1aa2＝4，解得a＝±的面积为24·8.∴抛物线的方程为y＝±8x，故选2C. x2y27．(2017·新课标全国卷Ⅲ，10)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( ) 6321A.3 B.3 C.3 D.3 答案：A 解析：本题考查椭圆的性质，直线与圆的位置关系．以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，|b×0－a×0＋2ab|∴＝a，即2b＝a2＋b2，∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，b2＋－a2c22c6∴a2＝3，∴e＝a＝3. x2y28．已知F1，F2分别是椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，452点1，在椭圆上，且点(－1,0)到直线PF2的距离为5，其中点2P(－1，－4)，则椭圆的标准方程为( ) y2x222A．x＋4＝1 B.4＋y＝1 22yxC．x2＋2＝1 D.2＋y2＝1 答案：D 4解析：设F2的坐标为(c,0)(c＞0)，则kPF2＝，故直线PF2c＋1444c的方程为y＝(x－c)，即x－y－＝0，点(－1,0)到直线PF2c＋1c＋1c＋1
44c－－c＋1c＋1的距离d＝＝42c＋1＋144452＝5，即＝4， c＋142c＋1＋1解得c＝1或c＝－3(舍去)，所以a2－b2＝1.① 1122又点1，在椭圆E上，所以a2＋b2＝1，② 2a2＝2，由①②可得2b＝1，x2y29．(2018·龙岩二模)已知c是双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的半b－c焦距，则a的取值范围是( ) 1A.－1，－2 B．(－2，－1) 3－1，－C.4 D．(－1,0) 答案：D b－c解析：由a＝e＞1，且函数y＝－取值范围是(－1,0)． c2－a2－c＝a1e2－1－e＝－1e－1＋e2 x22所以椭圆的标准方程为2＋y＝1.故选D. ，由于b－c在(1，＋∞)上是增函数，那么a的2x－1＋xx2y210．(2018·辽宁师大附中期中)如图，F1，F2是双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点．若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为( ) A．2＋2 B．2＋6 C.2＋2 D.2＋6
答案：C x2y2解析：将y＝x代入a2－b2＝1，可得x＝± 角线长相等，得2·a2b2.由矩形的对22b－aa2b222222222＝c，∴2ab＝(b－a)c，∴2a(c－a)22b－a＝(c2－2a2)c2，∴2(e2－1)＝e4－2e2，∴e4－4e2＋2＝0，又∵e＞1，∴e2＝2＋2，∴e＝2＋2.故选C. 11．(2018·河南南阳期中)已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2→＝2FB→，＝4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点．若AF则|k|＝( ) A．22 B.3 23C.4 D.3 答案：A 解析：设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，与抛物线y2＝4x相交y2＝4x，于A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立y＝kx＋m， 得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.由Δ＝(2km－4)2－4k2m2＝16－16km＞0，得km＜1.x1＋x2＝4－2kmm22→→，x21x2＝2.由y＝4x得其焦点为F(1,0)．由AF＝2FB，得(1－kk1－x1＝2x2－2，①x1，－y1)＝2(x2－1，y2)，所以－y1＝2y2.② 由①得x1＋2x23m→＝2FB→，得|AF→|＝3，③ 由②得x1＋2x2＝－k.所以m＝－k.再由AF→|，所以x＋1＝2(x＋1)，即x－2x＝1.④ ＝2|FB12124－2km51由③④得x1＝2，x2＝2，所以x1＋x2＝k2＝2. 4－2k－k5把m＝－k代入得＝2，解得|k|＝22，满足mk＝－8k2＜1.所以|k|＝22.故选A. 12．(2018·南昌一模)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，23B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝3|AB|，则∠AFB
的最大值为( ) π3πA.3 B.4 5π2πC.6 D.3 答案：D 23解析：因为x1＋x2＋4＝3|AB|，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4，所以|AF|23＋|BF|＝3|AB|.在△AFB中，由余弦定理得cos∠AFB＝42222222|AB|－|AB||AF|＋|BF|－|AB||AF|＋|BF|－2|AF||BF|－|AB|3＝＝2|AF||BF|－12|AF||BF|2|AF||BF|12|AB|323＝2|AF||BF|－1.又|AF|＋|BF|＝3|AB|≥2|AF||BF|，当且仅当|AF|＝12|AB|312|BF|时等号成立，所以|AF||BF|≤3|AB|，所以cos∠AFB≥1－22×3|AB|12π2π1＝－2，所以∠AFB≤3，即∠AFB的最大值为3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上． x2y213．当双曲线C：m2－＝1(－2＜m＜0)的焦距取得最小值2m＋4时，双曲线C的渐近线方程为________． 答案：y＝±2x 解析：由题意可得c2＝m2＋2m＋4＝(m＋1)2＋3，所以当m＝－1y22时，焦距2c取得最小值，此时双曲线C：x－2＝1，其渐近线方程为y＝±2x. x2y214．(2018·江苏暨阳中学月考)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)，A为左顶点，B为上顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于________． 5－1答案：2 →·→解析：由题意得A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，∵AB⊥BF，∴ABBF
＝0，∴(a，b)·(c，－b)＝ac－b2＝ac－a2＋c2＝0，∴e－1＋e2＝0，解5－1得e＝2. 15．(2018·揭阳一模)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________． 答案：±4 解析：由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)．由定义p知P到准线的距离为4，故2＋2＝4，得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y，代入点P的坐标得m＝±4. x2y216．(2018·广西陆川中学综合检测)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F1(1,0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上，设直线AB的斜率为k，若0＜k≤3，则e的取值范围为________． 答案：3－1≤e＜1 m＋1－m＋1－nn解析：设A(m，n)，则B(－m，－n)，M，N，，，2222m＋1→－m＋1－nn→→·→＝所以OM＝，ON＝.故由题设可得OMON，22，2222mn0，即m2＋n2＝1，将其与a2＋b2＝1联立可得b2m2＋(1－m2)a2＝a2b2，故m2＝a2－a2b2＝1－b4，n2＝b4.由题设0＜k≤3可得n2≤3m2，即331222b≤3(1－b)，则b≤2，则a≤1＋2.故e＝a2≥，即e2≥42＋3442－23，所以e≥3－1，所以3－1≤e＜1. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) x2y2(2018·吉林长春外国语学校期中)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞
0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上任意一点，且|PF1|＋|PF2|＝22，它的焦距为2. (1)求椭圆C的方程． (2)是否存在正实数t，使直线x－y＋t＝0与椭圆C交于不同的两5点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝6上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 解析：(1)∵F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，且|PF1|＋|PF2|＝22，∴a＝2. ∵2c＝2，∴c＝1，∴b＝a2－c2＝1， x22∴椭圆C的方程为2＋y＝1. x－y＋t＝0，(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x222＋y＝1，＋2t2－2＝0.① 化简得3x2＋4tx4t2t由①知x1＋x2＝－3，∴y1＋y2＝x1＋x2＋2t＝3. 5∵线段AB的中点在圆x＋y＝6上， 2t2t256∴－3＋3＝6，解得t＝2(负值舍去)， 6故存在t＝2满足题意． 18．(本小题满分12分) (2018·湖北枣阳七中一模)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1,2)为抛物线C上一点． (1)求C的方程； (2)若点B(1，－2)在C上，过点B作C的两弦BP与BQ，若kBP·kBQ＝－2，求证：直线PQ过定点． 1解析：(1)解：由题得C的方程为y2＝4x或x2＝2y. 22(2)证明：∵点B(1，－2)在C上，∴曲线C的方程为y2＝4x. 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ：x＝my＋b，显然m存在，与方程y2＝4x联立，消去x得
y2－4my－4b＝0，Δ＝16(m2＋b)＞0.∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4b. y1＋2y2＋244∵kBP·kBQ＝－2，∴·＝－2，∴·＝－2，即x1－1x2－1y1－2y2－2y1y2－2(y1＋y2)＋12＝0.∴－4b－8m＋12＝0，即b＝3－2m. 直线PQ：x＝my＋b＝my＋3－2m，即x－3＝m(y－2)． ∴直线PQ过定点(3,2)． 19．(本小题满分12分) x2y2(2018·吉林普通中学第二次调研)如图，已知椭圆E：4＋b2＝1(0→·→＝－2. ＜b＜2)，点P(0,1)在短轴CD上，且PCPD(1)求椭圆E的方程及离心率； (2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是→·→＋λP→→为定值？若存在，求出λ的值；否存在常数λ，使得OAOBA·PB若不存在，请说明理由． 解析：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)，又→·→＝－2，即1－b2＝－2，解得b2＝3. 点P的坐标为(0,1)，且PCPDx2y2所以椭圆E的方程为4＋3＝1.因为c＝1，a＝2， 1所以离心率e＝2. (2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．联立＋8kx－8＝0. 其判别式Δ＞0，所以x1＋x2＝，x1x2＝2. 4k＋34k＋322x2y4＋3＝1， y＝kx＋1 得(4k2＋3)x2－8k－8→·→＋λP→→＝xx＋yy＋λ[xx＋(y－1)(y－1)] 从而OAOBA·PB12121212
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 －81＋λ1＋k2－4k2＋34－2λ＝＝2－2λ－3. 24k＋34k＋3所以当λ＝2时，－2λ－3＝－7， 4k＋324－2λ→·→＋λP→→＝－7为定值． 即OAOBA·PB→·→当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时OAOB→→＝OC→·→＋2PC→·→＝－3－4＝－7. ＋λPA·PBODPD→·→＋λP→→为定值－7. 故存在常数λ＝2，使得OAOBA·PB20．(本小题满分12分) (2018·福建泉州检测)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝32py(p＞0)的焦点为F，点A在C上．若|AO|＝|AF|＝2. (1)求C的方程； (2)设直线l与C交于点P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值． p解析：(1)抛物线C的焦点F的坐标为0，2. 3因为|AO|＝|AF|＝2， p1236－p，4. 所以可求得A点坐标为±41p将A点坐标代入x2＝2py得16(36－p2)＝2p·4， 解得p＝2，或p＝－2(舍去)． 故抛物线C的方程为x2＝4y. (2)依题意，可知l与x轴不垂直，故可设l的方程为y＝kx＋b，b＞0. 并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为M(x0,1)． y＝kx＋b，联立方程组2x＝4y， 消去y，得x2－4kx－4b＝0， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.
因为线段PQ的中点的纵坐标为1， 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝4k2＋2b＝2，即2k2＝1－b，则1－b≥0，即b≤1. 11SΔOPQ＝2b·|x1－x2|＝2b·x1＋x22－4x1x2 11＝2b·16k2＋16b＝2b8＋8b＝2b3＋2b2(0＜b≤1)． 令y＝2b3＋2b2，则y′＝6b2＋4b＞0， ∴函数在(0,1]上单调递增， ∴当b＝1时，SΔOPQ取得最大值2. 21．(本小题满分12分) (2018·贵州贵阳一中第二次适应性考试) 3如图，已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率为2，以椭圆E的短轴的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为8，直线l：y＝kx＋m与y轴交于点M，与椭圆E交于不同两点A，B. (1)求椭圆E的标准方程； →＝－3BM→，求m2的取值范围． (2)若AMx2＋b2＝1(a＞b＞0)． y2解析：(1)由于椭圆E的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为a2 由椭圆E的短轴的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为4a，得4a＝8，即a＝2. c3∵离心率e＝a＝2，∴c＝3. ∴b2＝a2－c2＝1. y22∴椭圆E的标准方程为4＋x＝1. (2)根据已知得M(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，
y＝kx＋m，由2y2x＋4＝1 得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0， 则Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)＞0，即k2－m2＋4＞0. 2m－42km由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－，x1x2＝. 224＋k4＋k→＝－3BM→，得－x＝3x，即x＝－3x. 由AM12122224m－412km2222由3(x1＋x2)＋4x1x2＝0得2＋＝0，即mk＋m－22k＋4k＋4k2－4＝0. 当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立， ∴m2≠1， 24－m∴k2＝2. m－1∵k2－m2＋4＞0， 224－m24－mm∴2－m2＋4＞0，即＞0. 2m－1m－1∴1＜m2＜4， ∴m2的取值范围为(1,4)． 22．(本小题满分12分) (2018·吉林长春实验中学第五次模拟)已知中心在原点O，焦点在3x轴上的椭圆的一个顶点坐标为(2,0)，离心率为2. (1)求椭圆的方程； (2)若A(0,1)，设M，N是椭圆上异于点A的任意两点，且AM⊥AN，
线段MN的中垂线l与x轴的交点为(m,0)，求m的取值范围． x2y2c解析：(1)设椭圆的方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)，可得a＝2，e＝a3x2222＝2，解得c＝3，b＝a－c＝1，故椭圆的方程为4＋y＝1. x1＋x2(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点的横坐标为2. 设直线MN：y＝kx＋t，将其代入椭圆方程x2＋4y2＝4，可得(1＋4k2)·x2＋8ktx＋4t2－4＝0， 则Δ＝64k2t2－16(1＋4k2)(t2－1)＞0，即1＋4k2＞t2. 4t2－48kt则x1＋x2＝－，x1x2＝， 221＋4k1＋4k4ktt－，故线段MN的中点坐标为22. 1＋4k1＋4k4ktt1x＋则中垂线l的方程为y－＝－2，令y＝0，可得2k1＋4k1＋4k3ktx＝m＝－. 21＋4ky1－1y2－1由AM⊥AN，可得x·x＝－1，即(1＋k2)x1x2＋(t－1)2＋k(t1－1)(x1＋x2)＝0，化为(1＋k2)(4t－4)＋(t－1)2(1＋4k2)＋k(t－1)(－8kt)3＝0，解得t＝1或－5. 当t＝1时直线MN过A点，不合题意，故舍去． 39k当t＝－5时，m＝. 251＋4k9k99当k＞0时，m＝＝≤； 212051＋4k54k＋k99当k＜0时，m＝－≥－120； －4k＋5－k当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，此时m＝0. 22
99综上，m的取值范围是－20，20.
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