（共22题）
一、选择题（共10题）
1. 如图所示，在斜三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 的底面 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，且 𝐵𝐶1⊥𝐴𝐶，过 𝐶1作𝐶1𝐻⊥底面𝐴𝐵𝐶，垂足为 𝐻，则点 𝐻 在 ( )
2. 已知矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的顶点都在半径为 4 的球 𝑂 的球面上，且 𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=2√3，则棱锥 𝑂−𝐴𝐵𝐶𝐷 的体积为 ( )
4. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为 ( )
A． 4√3
B． 8√3
C． 24√3
D． 36√3
A．直线 𝐴𝐶 上
B．直线 𝐴𝐵 上
C．直线 𝐵𝐶 上
D． △𝐴𝐵𝐶 内部
3. 能确定一个平面的条件是 ( )
A．空间三个点 C．无数个点
B．一个点和一条直线 D．两条相交直线
A． 72π
B． 48π
C． 30π
D． 24π
5. 如果两条直线 𝑎 与 𝑏 没有公共点，那么 𝑎 与 𝑏 的位置关系是 ( )
6. 若 𝑙 是平面 𝛼 外的一条直线，则 ( )
7. 下列几何体中，多面体是 ( )
A．平面 𝛼 内所有直线与 𝑙 异面 B．平面 𝛼 内存在有限条直线与 𝑙 相交 C．平面 𝛼 内存在唯一的直线与 𝑙 平行 D．平面 𝛼 内存在无数条直线与 𝑙 垂直 A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
A． B． C． D．
8. 如图 Rt△OʹAʹBʹ 是一平面图形的直观图，直角边 𝑂ʹ𝐵ʹ=1，则这个平面图形的面积是 ( )
10. 两等角的一组对应边平行，则
二、填空题（共6题）
11. 体积为 √3 的三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 的顶点都在球 𝑂 的球面上．𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝑃𝐴=2，∠𝐴𝐵𝐶=
120∘，则球 𝑂 的表面积的最小值为 ．
2
A． 2√2 B． 1 C． √2 D． 4√2
9. 设 𝑎，𝑏 是两条不同的直线，𝛼，𝛽 是两个不同的平面，则 𝛼∥𝛽 的一个充分条件是 ( )
A．存在一条直线 𝑎，𝑎∥𝛼，𝑎∥𝛽 B．存在一条直线 𝑎，𝑎⊂𝛼，𝑎∥𝛽
C．存在两条平行直线 𝑎，𝑏，𝑎⊂𝛼，𝑏⊂𝛽，𝑎∥𝛽，𝑏∥𝛼 D．存在两条异面直线 𝑎，𝑏，𝑎⊂𝛼，𝑏⊂𝛽，𝑎∥𝛽，𝑏∥𝛼
A．另一组对应边平行 C．另一组对应边不可能垂直
B．另一组对应边不平行 D．以上都不对
12. 如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和
3，则该几何体的体积为 ．
13. 如图，四棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 的底面 𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，𝐸 为 𝑃𝐷 上一点，且 𝑃𝐸=2𝐸𝐷．设三棱锥
𝑃−𝐴𝐶𝐸 的体积为 𝑉1，三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 的体积为 𝑉2，则 𝑉1:𝑉2= ．
14. 如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 对．
15. 如图所示，用符号表示以下各概念：
①点 𝐴，𝐵 在直线 𝑎 上 ； ②直线 𝑎 在平面 𝛼 内 ； 点 𝐶 在平面 𝛼 内 ； ③点 𝐷 不在平面 𝛼 内 ； 直线 𝑏 平行平面 𝛼 ．
16. 按“斜二测”作图法，平行线段的直观图是 ．
三、解答题（共6题）
3
17. 如图所示，△𝐴𝐵𝐶 与 △𝐴ʹ𝐵ʹ𝐶ʹ 不在同一平面内，如果三条直线 𝐴𝐴ʹ，𝐵𝐵ʹ，𝐶𝐶ʹ 两两相交．证明：
三条直线 𝐴𝐴ʹ，𝐵𝐵ʹ，𝐶𝐶ʹ 共点．
18. 如图所示，梯形 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 是一平面图形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的直观图．若 𝐴1𝐷1∥𝑦ʹ轴，𝐴1𝐵1∥𝐶1𝐷1，
𝐴1𝐵1=3𝐶1𝐷1=2，𝐴1𝐷1=𝑂ʹ𝐷1=1．试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．
2
19. 如图，在四棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵∥𝐷𝐶，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐷𝐶=6，𝐴𝐷=8，𝐵𝐶=
10，𝑃𝐷=9，𝐸 为 𝑃𝐴 的中点．
(1) 求证：𝐷𝐸∥平面𝐵𝑃𝐶．
(2) 在线段 𝐴𝐵 上是否存在一点 𝐹，满足 𝐶𝐹⊥𝐷𝐵？若存在，试求出此时三棱锥 𝐵−𝑃𝐶𝐹 的体
积；若不存在，请说明理由．
20. 如图，直三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 中，𝐴𝐶=𝐵𝐶=1，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐷 是 𝐴1𝐵1 的中点，𝐹 在
𝐵𝐵1 上．
4
(1) 求证：𝐶1𝐷⊥平面𝐴𝐴1𝐵1𝐵；
(2) 在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使 𝐴𝐵1⊥平面𝐶1𝐷𝐹？并证明你的结论．
① 𝐹 为 𝐵𝐵1 的中点；② 𝐴𝐵1=√3；③ 𝐴𝐴1=√2．
21. 如图，已知直三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝑀 为 𝐴𝐵 的中点．
(1) 求证：𝐶𝑀⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1； (2) 求证：𝐴𝐶1∥平面𝐶𝑀𝐵1．
22. 一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm，高为
20 cm 的一个圆锥形铅锤，请问当铅锤从中取出后，杯中水面将下降多少？
5
答案
一、选择题（共10题） 1. 【答案】B
【解析】由 𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶1，𝐴𝐵∩𝐵𝐶1=𝐵⇒𝐴𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶1， 又 𝐴𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶， 所以 平面𝐴𝐵𝐶1⊥平面𝐴𝐵𝐶，
又 平面𝐴𝐵𝐶1∩平面𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵，𝐶1𝐻⊥平面𝐴𝐵𝐶， 所以 𝐶1𝐻⊥𝐴𝐵， 所以垂足 𝐻 在 𝐴𝐵 上．
【知识点】平面与平面垂直关系的判定
2. 【答案】B
【知识点】棱锥的表面积与体积
3. 【答案】D
【知识点】平面的概念与基本性质
4. 【答案】C
【解析】由三视图还原几何体，原几何体下面是一个圆锥，上面是半球， 所以 𝑉=3π×32×4+2×3π×33=30π．
【知识点】圆锥的表面积与体积、球的表面积与体积、由三视图还原空间几何体
5. 【答案】D
【解析】空间中两条直线的位置关系有：相交、平行和异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故 𝑎 与 𝑏 的位置关系是平行或异面． 【知识点】直线与直线的位置关系
6. 【答案】D
【解析】若直线 𝑙 与平面 𝛼 平行，则 𝛼 内存在无数条直线与 𝛼 平行，故A，C错误； 若 𝑙 与平面相交于点 𝑃，则在 𝛼 内过 𝑃 存在无数条直线与 𝑙 相交，故B错误； 对于D，若直线垂直 𝑙 在 𝛼 上的射影，则该直线与 𝑙 垂直，故D正确． 【知识点】平面的概念与基本性质
7. 【答案】B
【解析】选项A中给的几何体是球，它是旋转体，故A错误；选项B中给的几何体是三棱柱，它是多面体，故B正确；选项C中给的几何体是圆柱，它是旋转体，故C错误；选项D中给的几何体是圆锥，它是旋转体，故D错误．故选B．
【知识点】球的结构特征、棱柱的结构特征、圆锥的结构特征、圆柱的结构特征
6
1
1
4
8. 【答案】C
【知识点】直观图
9. 【答案】D
【解析】对于选项A，若存在一条直线 𝑎，𝑎∥𝛼，𝑎∥𝛽，则 𝛼∥𝛽 或 𝛼 与 𝛽 相交；若 𝛼∥𝛽，则存在一条直线 𝑎，使得 𝑎∥𝛼，𝑎∥𝛽，所以选项A的内容是 𝛼∥𝛽 的一个必要条件．同理，选项B，C的内容也是 𝛼∥𝛽 的一个必要条件而不是充分条件．对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有 𝛼∥𝛽，所以选项D的内容是 𝛼∥𝛽 的一个充分条件．
【知识点】平面与平面平行关系的判定
10. 【答案】D
【知识点】平面的概念与基本性质
二、填空题（共6题） 11. 【答案】
28√7π 3
【知识点】球的表面积与体积
12. 【答案】 10π
【解析】用一个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱，如图， 则圆柱的体积为 π×22×(2+3)=20π，故所求几何体的体积为 10π．
【知识点】圆柱的表面积与体积
13. 【答案】 2:3
【解析】因为四棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 的底面 𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，𝐸 为 𝑃𝐷 上一点，且 𝑃𝐸=2𝐸𝐷．
7
设 𝑃 到平面 𝐴𝐶𝐷 的距离为 ℎ，则 𝐸 到平面 𝐴𝐶𝐷 的距离为 ，
3
ℎ
设三棱锥 𝑃−𝐴𝐶𝐸 的体积为 𝑉1， 三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 的体积为 𝑉2，
则 𝑉2=𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐶=𝑉𝑃−𝐴𝐶𝐷=3×𝑆△𝐴𝐶𝐷×ℎ， 𝑉1
=𝑉𝑃−𝐴𝐶𝐸
=𝑉𝑃−𝐴𝐶𝐷−𝑉𝐸−𝐴𝐶𝐷
1
1
1
=3𝑆△𝐴𝐶𝐷×ℎ−3𝑆△𝐴𝐶𝐷⋅3=3(3×𝑆△𝐴𝐶𝐷×ℎ)=𝑉2.
3221
ℎ
所以 𝑉1:𝑉2=2:3．
【知识点】棱锥的表面积与体积
14. 【答案】 24
【知识点】直线与直线的位置关系
15. 【答案】 𝐴∈𝑎，𝐵∈𝑎 ； 𝑎⫋𝛼 ； 𝐶∈𝛼 ； 𝐷∉𝛼 ； 𝑏∥𝛼
【知识点】平面的概念与基本性质
16. 【答案】平行线段
【知识点】直观图
三、解答题（共6题）
17. 【答案】因为 𝐴𝐴ʹ，𝐵𝐵ʹ，𝐶𝐶ʹ 两两相交，
所以过 𝐴𝐴ʹ，𝐵𝐵ʹ 确定平面 𝛼，过 𝐵𝐵ʹ，𝐶𝐶ʹ 确定平面 𝛽，过 𝐴𝐴ʹ，𝐶𝐶ʹ 确定平面 𝛾． 所以 𝛼∩𝛽=𝐵𝐵ʹ，𝛽∩𝛾=𝐶𝐶ʹ，𝛼∩𝛾=𝐴𝐴ʹ， 设 𝐴𝐴ʹ∩𝐵𝐵ʹ=𝑃，则 𝑃∈𝐴𝐴ʹ，𝑃∈𝐵𝐵ʹ , 所以 𝑃∈𝛾，𝑃∈𝛽． 又 𝛽∩𝛾=𝐶𝐶ʹ， 所以 𝑃∈𝐶𝐶ʹ，
故三条直线 𝐴𝐴ʹ，𝐵𝐵ʹ，𝐶𝐶ʹ 共点． 【知识点】平面的概念与基本性质
18. 【答案】如图，建立直角坐标系 𝑥𝑂𝑦，在 𝑥 轴上截取 𝑂𝐷=𝑂ʹ𝐷1=1，𝑂𝐶=𝑂ʹ𝐶1=2．
在过点 𝐷 的 𝑦 轴的平行线上截取 𝐷𝐴=2𝐷1𝐴1=2， 在过点 𝐴 的 𝑥 轴的平行线上截取 𝐴𝐵=𝐴1𝐵1=2．
8
连接 𝐵𝐶，即得到了原图形，如图所示．
由图可知，原四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是直角梯形，上、下底长度分别为 𝐴𝐵=2，𝐶𝐷=3，直角腰长度为 𝐴𝐷=2，
所以原图形的面积 𝑆=【知识点】直观图
19. 【答案】
(1) 取 𝑃𝐵 的中点 𝑀，连接 𝐸𝑀，𝐶𝑀，过点 𝐶 作 𝐶𝑁⊥𝐴𝐵，垂足为 𝑁，如图所示． 因为 𝐶𝑁⊥𝐴𝐵，𝐷𝐴⊥𝐴𝐵， 所以 𝐶𝑁∥𝐷𝐴， 又 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
所以四边形 𝐶𝐷𝐴𝑁 为矩形， 所以 𝐶𝑁=𝐴𝐷=8，𝐷𝐶=𝐴𝑁=6．
在 Rt△BNC 中，𝐵𝑁=√𝐵𝐶2−𝐶𝑁2=√102−82=6， 所以 𝐴𝐵=12．
因为 𝐸，𝑀 分别为 𝑃𝐴，𝑃𝐵 的中点， 所以 𝐸𝑀∥𝐴𝐵 且 𝐸𝑀=6， 又 𝐷𝐶∥𝐴𝐵，且 𝐶𝐷=6， 所以 𝐸𝑀∥𝐶𝐷 且 𝐸𝑀=𝐶𝐷， 则四边形 𝐶𝐷𝐸𝑀 为平行四边形， 所以 𝐷𝐸∥𝐶𝑀．
因为 𝐶𝑀⊂平面𝐵𝑃𝐶，𝐷𝐸⊄平面𝐵𝑃𝐶，
所以 𝐷𝐸∥平面𝐵𝑃𝐶．
(2) 存在．理由如下：由题意可得 𝐷𝐴，𝐷𝐶，𝐷𝑃 两两互相垂直，故以 𝐷 为原点，𝐷𝐴，𝐷𝐶，𝐷𝑃 所在直线分别为 𝑥 轴，𝑦 轴，𝑧 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 𝐷𝑥𝑦𝑧． 则 𝐷(0,0,0)，𝐵(8,12,0)，𝐶(0,6,0)，
⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,12,0)． 所以 ⃗𝐷𝐵
假设 𝐴𝐵 上存在一点 𝐹 使 𝐶𝐹⊥𝐵𝐷，设点 𝐹 坐标为 (8,𝑡,0)(0≤𝑡≤12)， ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,𝑡−6,0)， 则 𝐶𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得 64+12(𝑡−6)=12𝑡−8=0， 由 𝐶𝐹𝐷𝐵所以 𝑡=，即 𝐴𝐹=，故 𝐵𝐹=12−=
3
3
3
2
2
2
343
2+32
×2=5．
．
又 𝑃𝐷=9，
所以 𝑉三棱锥𝐵−𝑃𝐶𝐹=𝑉三棱锥𝑃−𝐵𝐶𝐹=××
3
21
1
343
×8×9=136．
【知识点】直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题
20. 【答案】
(1) 因为 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 是直三棱柱， 所以 𝐴1𝐶1=𝐵1𝐶1=1，且 ∠𝐴1𝐶1𝐵1=90∘．
9
又 𝐷 是 𝐴1𝐵1 的中点， 所以 𝐶1𝐷⊥𝐴1𝐵1．
因为 𝐴𝐴1⊥平面𝐴1𝐵1𝐶1，𝐶1𝐷⊂平面𝐴1𝐵1𝐶1， 所以 𝐴𝐴1⊥𝐶1𝐷, 又 𝐴1𝐵1∩𝐴𝐴1=𝐴1， 所以 𝐶1𝐷⊥平面𝐴𝐴1𝐵1𝐵．
(2) 选①③能证明 𝐴𝐵1⊥平面𝐶1𝐷𝐹． 连接 𝐷𝐹，𝐴1𝐵， 所以 𝐷𝐹∥𝐴1𝐵，
在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐶=𝐵𝐶=1，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，则 𝐴𝐵=√2，又 𝐴𝐴1=√2， 则 𝐴1𝐵⊥𝐴𝐵1， 所以 𝐷𝐹⊥𝐴𝐵1，
因为 𝐶1𝐷⊥平面𝐴𝐴1𝐵1𝐵，𝐴𝐵1⊂平面𝐴𝐴1𝐵1𝐵， 所以 𝐶1𝐷⊥𝐴𝐵1． 因为 𝐷𝐹∩𝐶1𝐷=𝐷，
所以 𝐴𝐵1⊥平面𝐶1𝐷𝐹．
【知识点】直线与平面垂直关系的判定
21. 【答案】
(1) 在直三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝑀 为 𝐴𝐵 的中点， 所以 𝐶𝑀⊥𝐴𝐵，
又因为 𝐴𝐴1⊥底面𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑀⊂底面𝐴𝐵𝐶， 所以 𝐴𝐴1⊥𝐶𝑀，
所以 𝐶𝑀⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1．
(2) 连接 𝐵𝐶1，设 𝐵𝐶1 与 𝐵1𝐶 交于 𝑂，则 𝑂 是 𝐵𝐶1 的中点， 连接 𝑀𝑂，则 𝑀𝑂 是 △𝐴𝐵𝐶1 的中位线， 所以 𝑀𝑂∥𝐴𝐶1，
因为 𝐴𝐶1⊄平面𝐶𝑀𝐵1，𝑀𝑂⊂平面𝐶𝑀𝐵1，
所以 𝐴𝐶1∥平面𝐶𝑀𝐵1．
【知识点】直线与平面平行关系的判定、直线与平面垂直关系的判定
22. 【答案】圆锥形铅锤的体积为 1
62
3π⋅(2)×20=60π(cm3)．
设水面下降的高度为 𝑥，则 π(2022)x=60π， 解得 𝑥=0.6(cm)．
所以铅锤取出后，杯中水面下降了 0.6 cm．
【知识点】圆锥的表面积与体积、圆柱的表面积与体积
10
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