南京秦淮外国语学校八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试卷(有答案解析)

一、选择题

1．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中ABCD，现添加以下条件，不能判定△ABC≌△ABD的是（ ）

A．ACBADB C．ACAD

B．ABBD D．CABDAB

2．如图，在ABC和DEF中，BDEF,ABDE，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC≌DEF，这个条件是（ ）

A．AD B．BCEF C．ACBF D．ACDF

3．如图所示，已知AB∥CD，BAC与ACD的平分线交于点O，OEAC于点E，且OE3cm，则点O到AB，CD的距离之和是（ ）

A．3cm

B．6cm C．9cm D．12cm

4．如图，BD是四边形ABCD的对角线， AD//BC，ABAD，分别过点A，C作

AEBD，CFBD，垂足分别为点E，F，若BEDF，则图中全等的三角形有( )

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

5．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠A＝105°，∠D＝25°，则∠ABE等于（ ）

A．65° B．60° C．55° D．50°

6．如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

7．点Р在AOB的角平分线上，点Р到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ） A．PQ5

B．PO5

C．PQ 5

D．PO5

8．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=2，△ABC的面积是（ ）

A．20 （ ）

B．24 C．32 D．40

9．如图，C是∠AOB的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC≌△BOC的是

A．OA=OB B．AC=BC C．∠A=∠B D．∠1=∠2

10．如图，在RtABC和Rt△ADE中，ACBAED90,ABAD,ACAE，则下列说法不正确的是（ ）

A．BCDE B．BAEDAC C．OCOE D．EACABC

11．如图，要判定△ABD≌△ACD，已知AB＝AC，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）

A．CD⊥AD，BD⊥AD B．CD＝BD C．∠1＝∠2 D．∠CAD＝∠BAD

12．如图，AD是ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且

DEDF，连结BF，CE．下列说法：①CEBF；②△ACE和△CDE面积相；

③BF//CE；④BDF≌CDE．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

13．如图，AC=BC，请你添加一个条件，使AE=BD．你添加的条件是：________．

14．如图，已知在ABC和ADC中，ACBACD,请你添加一个条件：_________，使ABCADC(只添一个即可）．

15．如图，点C在AOB的平分线上，CDOA于点D，且CD2，如果E是射线OB上一点，那么CE长度的最小值是___________．

16．如图所示，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，DEAB，

DFAC，垂足分别是E，F．则下面结论中（1）DA平分EDF；（2）AEAF，DEDF；（3）AD上的点到B，C两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．

17．已知点P(2m,m1)，当m____时，点P在二、四象限的角平分线上． 18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝_____时，△ABC和△APQ全等．

19．如图，ABC的面积为15cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交

1AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两

2弧交于点P，作射线AP，过点C作CDAP于点D，连接DB，则DAB的面积是

______cm2．

20．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点P，已知AD＝AE．若△ABE≌△ACD，则可添加的条件为_____．

三、解答题

21．已知：MON，点P是MON平分线上一点，点A在射线OM上，作

APB180，交直线ON于点B，作PCON于点C．

（1）观察猜想：如图1，当MON90时，PA和PB的数量关系是______． （2）探究证明：如图2，当MON60时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA，PB之间另外的数量关系．

（3）拓展延伸：如图3，当MON60，点B在射线ON的反向延长线上时，请直接写出线段OC，OA及BC之间的数量关系：______． 22．阅读下面材料：

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为在ABC和DEF中，ACDF，

BCEF，BE．小聪的探究方法是对B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

第一种情况：当B是直角时，如图1，在ABC和DEF中，ACDF，

BCEF，BE90，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第二种情况：当B是锐角时，如图2，BE90，BCEF．

（1）在射线EM上是否存在点D，使DFAC？若存在，请在图中作出这个点，并连接DF；若不存在，请说明理由；

（2）这种情形下，ABC和DEF的关系是 （选填“全等”“不全等”或“不一定全等”）；

第三种情况：当B是钝角时，如图3，在ABC和DEF中，ACDF，

BCEF，BE90．

（3）请判断这种情形下，ABC和DEF是否全等，并说明理由．

23．按要求作图

（1）如图，已知线段a,b，用尺规做一条线段，使它等于ab（不要求写作法，只保留作图痕迹）

（2）已知：∠α，求作∠AOB=∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）

24．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD． 求证：AB=DE．

25．已知BC4,BABC，射线CMBC，动点P在BC上，PDPA交CM于

D．

（1）如图1，当BP3,AB1时，求DC的长；

（2）如图2，连接AD，当DP平分ADC时，求BP的长．

26．已知：如图，AB ＝ AD．请添加一个条件使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

根据已知条件可得∠ABC=∠ABD=90°，AB=AB，结合全等三角形的判定定理依次对各个选项判断． 【详解】

解：∵ABCD， ∴∠ABC=∠ABD=90°， ∵AB=AB，

∴若添加ACBADB，可借助AAS证明△ABC≌△ABD，A选项不符合题意； 若添加ABBD，无法证明△ABC≌△ABD，B选项符合题意； 若添加ACAD，可借助HL证明△ABC≌△ABD，C选项不符合题意； 若添加CABDAB，可借助ASA证明△ABC≌△ABD，D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】

本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能结合题上已知条件选取合适的定理是解题关键．

2．D

解析：D 【分析】

根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案． 【详解】

解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，

∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； 添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； 添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；

添加ACDF，不符合任何一个全等判定定理，不能证明△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．

3．B

解析：B 【分析】

过点O作MN，MN⊥AB于M，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可． 【详解】

如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，

∵AB∥CD， ∴MN⊥CD，

∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm， ∴OM＝OE＝3cm，

∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD， ∴ON＝OE＝3cm， ∴MN＝OM＋ON＝6cm， 即AB与CD之间的距离是6cm， 故选B

【点睛】

此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．

4．C

解析：C 【分析】

根据AD//BC证得ADBCBD，由BEDF得到BF=DE，由此证明

△ADE≌△CBF，得到AE=CF，AD=CB，由此证得△ABE≌△CDF，得到AB=CD，由此利用SSS证明△ABD≌△CDB. 【详解】

解：∵AD//BC， ∴ADBCBD，

BEDF， BFDE，

AEBD，CFBD，

AEDCFB90， ADECBFASA，

AECF，ADCB，

∵∠AEB=∠CFD90，BE=DF，

ABECDFSAS，

ABCD，

BDDB，AB=CD，ADCB， ABDCDBSSS,

则图中全等的三角形有：3对， 故选:C. 【点睛】

此题考查三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到对应的边或角是解题的关键.

5．D

解析：D 【分析】

依据SAS即可得判定△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质，得出∠D＝∠E＝25°，由三角形内角和定理可求出答案． 【详解】

解：在△ABE和△ACD中，

ABACBAECAD， AEAD∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠D＝∠E， ∵∠D＝25°， ∴∠E＝25°，

∴∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠E＝180°﹣105°﹣25°＝50°． 故选：D． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

6．C

解析：C 【分析】

要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断． 【详解】

解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF． 第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF． 第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF． 第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF． 所以有3组能证明△ABC≌△DEF． 故符合条件的有3组． 故选：C． 【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．

7．B

解析：B 【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【详解】

∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5， ∴点P到OB的距离为5， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴PQ≥5．

故选：B． 【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．

8．A

解析：A 【分析】

连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F；然后利用角平分线定理可得OF=OE=DO=2,然后用S△ABC=S△AOC+S△OBC+S△ABO求解即可． 【详解】

解：如图:连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F,

∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OD=OE,OF=OD,即OF=OE=DO=2, ∴S△ABC==

111×2AC+×2BC +×2AB 2221×2（AC+BC+AB） 2= AC+BC+AB

=20． 故答案为A． 【点睛】

本题主要考查了角平分线定理，正确作出辅助线、利用角平分线定理得到OF=OE=DO=2是解答本题的关键．

9．B

解析：B 【分析】

根据题意可以得到∠AOC=∠BOC，OC=OC，然后即可判断各个选项中条件是否能判定△AOC≌△BOC，从而可以解答本题． 【详解】

解：由已知可得，∠AOC=∠BOC，OC=OC，

∴若添加条件OA=OB，则△AOC≌△BOC（SAS），故选项A不符合题意；

若添加条件AC=BC，则无法判断△AOC≌△BOC，故选项B符合题意； 若添加条件∠A=∠B，则△AOC≌△BOC（AAS），故选项C不符合题意；

若添加条件∠1=∠2，则∠ACO=∠BCO，则△AOC≌△BOC（ASA），故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】

本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

10．D

解析：D 【分析】

根据HL定理分别证明Rt△ABC≌Rt△ADE和Rt△AEO≌Rt△ACO，根据全等三角形的性质可判断各选项． 【详解】

解：解：∵ACBAED90,ABAD,ACAE， ∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL） ∴BCDE，∠BAC=∠DAE， 故A选项正确；

∴∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC，即BAEDAC， 故B选项正确； 连接AO，

∵AE=AC，AO=AO，

∴Rt△AEO≌Rt△ACO（HL）， ∴OCOE，故C选项正确；

无法得出EACABC，故D选项错误； 故选：D． 【点睛】

本题全等三角形的性质与判断．掌握证明直角三角形全等的HL定理是解题关键．

11．C

解析：C 【分析】

在△ACD和△ABD中，AD=AD，AB=AC，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可． 【详解】

解：添加A选项中条件可用HL判定两个三角形全等，故选项A不符合题意；

添加B选项中的条件可用SSS判定两个三角形全等，故选项B不符合题意；

添加C选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA，结合已知条件不SS判定两个三角形全等，故选项C符合题意；

添加D选项中的条件可用SAS判定两个三角形全等，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，判断直角三角形全等的方法：“HL”．

12．C

解析：C 【分析】

根据“SAS”可证明△CDE≌△BDF，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于AE和DE不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠ECD=∠FBD，则利用平行线的判定方法可对③进行判断； 【详解】

∵ AD是△ABC的中线， ∴ CD=BD，

∵ DE=DF，∠CDE=∠BDF，

∴ △CDE≌△BDF(SAS)，所以④正确； ∴ CE=BF，所以①正确； ∵ AE与DE不能确定相等，

∴ △ACE和△CDE面积不一定相等，所以②错误； ∵ △CDE≌△BDF， ∴∠ECD=∠FBD， ∴BF∥CE，所以③正确； 故选：C． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积 ，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．

二、填空题

13．∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC等【分析】根据全等三角形的判定解答即可【详解】解：因为AC=BC∠C=∠C所以添加∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC可得△ADC与△

解析：∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC等 【分析】

根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】

解：因为AC=BC，∠C=∠C，所以添加∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC，可得△ADC与△BEC全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE， 故答案为：∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC． 【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

14．或或【分析】要判定△ABC≌△ADC已知AC是公共边具备了一组边和一组角对应相等故添加CB=CD∠BAC=∠DAC∠B=∠D后可分别根据SASASAAAS能判定△ABC≌△ADC【详解】解：添加CB

解析： BCDC或CABCAD或BD 【分析】

要判定△ABC≌△ADC，已知ACB∠ACD，AC是公共边，具备了一组边和一组角对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△ADC． 【详解】

解：添加CB=CD，结合ACB∠ACD，AC=AC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC； 添加∠BAC=∠DAC，结合ACB∠ACD，AC=AC，根据ASA，能判定△ABC≌△ADC； 添加∠B=∠D，结合ACB∠ACD，AC=AC，根据AAS，能判定△ABC≌△ADC； 故添加的条件是 BCDC或CABCAD或BD． 【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

15．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时CE的长度最小∵点C在∠AOB的平分线上CD⊥OA∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目

解析：2 【分析】

根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ． 【详解】 解：如图，

由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时，CE 的长度最小， ∵点C在 ∠AOB 的平分线上，CD⊥OA， ∴CE=CD=2， 故答案为2 ． 【点睛】

本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．

16．（1）（2）（3）（4）【分析】在△ABC中AB=ACAD是△ABC的平分线可知直线AD为△ABC的对称轴再根据图形的对称性逐一判断【详解】解：（1）∵在中是的角平分线∴∵∴∴∴平分故（1）正确；（

解析：（1）（2）（3）（4） 【分析】

在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分线，可知直线AD为△ABC的对称轴，再根据图形的对称性，逐一判断． 【详解】

解：（1）∵在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线， ∴BADCAD． ∵DEAB，DFAC，

ADE90BAD，ADF90CAD， ∴ADEADF，

∴

∴DA平分EDF，故（1）正确； （2）由（1）可知，ADEADF， 在AED和AFD中，

EADFAD,ADAD, ADEADF,∴

AEDAFDASA，

∴AEAF，DEDF，故（2）正确； （3）在AD上取一点M，连结BM，CM．

在ABM和ACM中，

ABACBADCAD AMAM∴

ABMACMSAS，

∴BMCM，故（3）正确； （4）在ABD和ACD中，

ABACBADCAD ADAD∴

ABDACDSAS．

∵DEAB，DFAC， ∴∠AED=∠AFD=90° 在ADE和ADF中，

AED=AFDBADCAD ADAD∴∵

ADEADFAAS． ABDACD

∴∠ABC=∠ACB，BD=CD， ∵DEAB，DFAC， ∴∠BED=∠CFD 在

BED和△CFD中，

EBDFCDBEDCFD BDCD∴

BEDCFDAAS，

∴图中共有3对全等三角形，故（4）正确． 故答案为：（1）（2）（3）（4）． 【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形全等是正确解答本题的关键．

17．【分析】根据第二四象限角平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数列方程求解即可【详解】解：∵点P（2mm-1）在二四象限的角平分线上∴2m=-（m-1）解得m=故答案为：【点睛】本题考查了点的坐标熟记第

1解析：

3【分析】

根据第二四象限角平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数列方程求解即可． 【详解】

解：∵点P（2m，m-1）在二、四象限的角平分线上， ∴2m=-（m-1）， 解得m=

1． 3故答案为：【点睛】

1． 3本题考查了点的坐标，熟记第二四象限角平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数是解题的关键．

18．8cm或15cm【分析】分情况讨论：①AP＝BC＝8cm时Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当P运动到与C点重合时Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）此时AP＝AC＝15cm【详解】解：①当P运动

解析：8cm或15cm 【分析】

分情况讨论：①AP＝BC＝8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；

②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP＝AC＝15cm． 【详解】

解：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：

在Rt△ABC和Rt△QPA中，ABQP，

BCPA∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 即AP＝B＝8cm；

②当P运动到与C点重合时，如图2所示：

在Rt△ABC和Rt△PQA中，

ABPQ， ACPA∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）， 即AP＝AC＝15cm．

综上所述，AP的长度是8cm或15cm． 故答案为：8cm或15cm． 【点睛】

本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．

19．【分析】如图延长CD交AB于E由题意得AP平分∠CAB证明

△ADC≌△ADE得到CD=DE由此得到推出即可得到答案【详解】如图延长CD交AB于E由题意得AP平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵CD⊥A 解析：

15 2【分析】

如图，延长CD交AB于E，由题意得AP平分∠CAB，证明△ADC≌△ADE，得到CD=DE，由此得到SACDSADE,SBCDSBED，推出

SACDSBCDSADESBED，即可得到答

案． 【详解】

如图，延长CD交AB于E， 由题意得AP平分∠CAB， ∴∠CAD=∠EAD, ∵CD⊥AD， ∴∠ADC=∠ADE， ∵AD=AD， ∴△ADC≌△ADE， ∴CD=DE， ∴S∴S∴SACDACDSSADEBCD,SBCDSBED，BED

15， 2SADES，

ABDSADESBED1S2ABC=

故答案为：

15． 2．

【点睛】

此题考查三角形角平分线的作图方法，全等三角形的判定及性质，证出CD=DE得到

SACDSADE,SBCDSBED是解此题的关键．

20．AB＝AC或∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理（SASASAAASSSS）即可得出答案【详解】解：添加条件：AB＝AC在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△A

解析：AB＝AC或∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（答案不唯一） 【分析】

根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）即可得出答案． 【详解】

解：添加条件：AB＝AC， 在△ABE和△ACD中，

ABAC

AA， AEAD

∴△ABE≌△ACD（SAS）；

添加条件：∠B＝∠C， 在△ABE和△ACD中，

BC

AA， AEAD

∴△ABE≌△ACD（AAS）； 添加条件：∠AEB＝∠ADC， 在△ABE和△ACD中，

AEBADC， AEADAA∴△ABE≌△ACD（ASA）；

故答案为：AB＝AC或∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（答案不唯一）． 【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

三、解答题

21．（1）PA=PB；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC 【分析】

（1）作PD⊥OM于点D，根据角平分线的性质得到PC=PD，证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质定理证明；

（2）作PD⊥OM于点D，根据角平分线的性质得到PC=PD，证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质定理证明；

（3）仿照（2）的解法得出△APD≌△BPC，从而得出AD=BC，再根据HL得出Rt△OPD≌△RtOPC，得出OC=OD，继而得出结论． 【详解】

（1）作PD⊥OM于点D，

∵点P在∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于C， ∴PC=PD， ∵∠MON=90°，

∴∠APB=90°，∠CPD=90°，

∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90° ∴∠APD=∠BPC， ∵∠PDA=∠PCB=90°， 在△APD和△BPC中，

APDBPC PDPCADPBCP∴△APD≌△BPC（ASA）， ∴AP=BP．

（2）（1）中的结论还成立

理由如下：如图2，作PD⊥OM于点D，

∵点P在∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于C， ∴PC=PD， ∵∠MON=60°， ∴∠APB=120°，

在四边形OCPD中，∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°， ∴∠APD+∠BPD=120°，∠BPC+∠BPD=120° ∴∠APD=∠BPC， ∵∠PDA=∠PCB=90°， 在△APD和△BPC中，

APDBPC PDPCADPBCP∴△APD≌△BPC（ASA）， ∴AP=BP． （3）OA=2BC-OB．

理由如下：如图3，作PD⊥OM于点D， 同（2），可证△APD≌△BPC， ∴AD=BC，

点P在∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于C， ∴PC=PD，

在Rt△OPD和RtOPC中，

PCPD OPOP∴Rt△OPD≌△RtOPC， ∴OC=OD， ∴OA-AD=OD=OC， ∴OA-BC=OC， ∴OA=BC+OC． 【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．

22．（1）存在，见解析；（2）不一定全等；（3）全等，见解析 【分析】

（1）根据尺规作图的方法画出图形即可．

（2）根据题（1）所得两种情况及全等三角形的判定即可求解；

（3）第三种情况：如图所示，过点C作AB边的垂线交AB的延长线于点M，过点F作DE边的垂线交DE的延长线于N,先证明△CMA≌△FND，推出AM=DN，推出AB=DE，再证明△ABC≌△DEF即可． 【详解】

解：（1）存在，如图所示．

射线EM上有两个点满足要求． （2）不一定全等．

如题（1）所示：由于满足条件的D有两个，故△ABC和△DEF不一定全等， 故答案为：不一定全等； （3）△ABC和△DEF全等．

理由如下：如图所示，过点C作AB边的垂线交AB的延长线于点M，过点F作DE边的垂线交DE的延长线于N．

∵ABCDEF， ∴CBMFEN． ∵CMAB，FNDE， ∴CMBFNE90． 在△CBM和△FEN中，

CMBFNE,∵CBMFEN, BCEF,∴△CBM≌△FEN （AAS）． ∴BMEN， ∴CMFN．

在Rt△ACM和Rt△DFN中，

ACDF,∵

CMFN,∴Rt△ACM≌Rt△DFN（HL）． ∴AMDN，

∴AMBMDNEN，即ABDE． 又∵BCEF，

∴△ABC和△DEF（SSS）． 【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，学会作辅助线，难度适中．

23．（1）作图见解析；（2）作图见解析． 【分析】

（1）根据题意，作一条长射线，在射线上连续截取a和b即可； （2）作射线OA，通过截取角度即可得解． 【详解】

（1）作射线CF，在射线上顺次截取CD=a，DE=b，如下图所示，线段CE即为所求：

（2）首先作射线OA，如下图所示，∠AOB即为所求：

【点睛】

本题主要考查了尺规作图，属于基础题，熟练掌握尺规作图的相关方法是解决本题的关键． 24．见详解 【分析】

先根据条件求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA推出△ABC≌△DEF即可． 【详解】 ∵FB＝CE， ∴FB+FC=FC+CE， 即BC=FE，

又∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE， 在△ABC和△DEF中，

BE ， BCFEACBDFE∴△ABC≌△DEF（ASA） ∴AB=DE． 【点睛】

本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理论证能力．

25．（1）3；（2）2 【分析】

（1）根据同角的余角相等证得∠1=∠3，再利用AAS证明ABPPCDAAS，然后根据全等三角形的性质解答即可；

（2）过P作PHAD于H，利用角平分线的性质进行解答即可． 【详解】 解：（1）如图，

∵

APPD， ∴1290， ∵PCCD， ∴2390

∴13， ∵BP3,BC4， ∴PCBCBP1， 又∵AB1， ∴ABPC， 又∵ABBP， ∴BC90， ∴ABPPCDAAS， ∴CDBP3；

（2）作PHAD于H，如图2，

∵DP平分ADC， ∴∠1=∠2，

∵C90，PHAD ∴∠HDP=∠CDP， ∴PHPC，

又∵1390，2490， ∴34，

又∵B90，PHAD ∴∠HAP=∠BAP， ∴PHBP， ∴BPPC【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线灵活运用角平分线的性质是解答的关键．

26．BC=CD,证明见解析（答案不唯一）． 【分析】

已知两组对应边相等，则找另一组边相等或找另一组对应角相等均可证明△ABC≌△ADC． 【详解】

解：若添加条件为：BC=CD,证明如下： 在△ABC和△ADC中

1BC2． 2ACAC

BCCD ABAD

∴△ABC≌△ADC（SSS）（答案不唯一）． 【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解答本题的关键．