2020最新高一数学教辅第一章 2月12日1.1.2 第1课时蓝本题目

第1课时

学习目标余弦定理

余弦定理及其直接应用

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.知识点一思考1余弦定理根据勾股定理，在△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC.①试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案思考2在c2＝a2＋b2－2abcosC中，abcosC能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？答案梳理余弦定理的公式表达及语言叙述a2＝公式表达b2＝c2＝余弦定理推论语言叙述三角形中任何一边的平方等于，，b2＋c2－a2cosA＝，2bca2＋c2－b2

cosB＝，2aca2＋b2－c2

cosC＝2ab特别提醒：余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量.知识点二思考1适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案思考2观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案梳理余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形.1.勾股定理是余弦定理的特例.()))2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.(3.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.(类型一例1余弦定理的证明已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求c的值.反思与感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方.跟踪训练1例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？类型二用余弦定理解三角形已知两边及其夹角命题角度1例21在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则3)B.15D.17c等于(A.4C.3反思与感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.跟踪训练2在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.命题角度2例3已知三边在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求A，B，C.反思与感悟b2＋c2－a2a2＋c2－b2

已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cosA＝，cosB＝，2bc2acb2＋a2－c2

cosC＝先求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理.2ba跟踪训练3在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判断三角形的形状.31.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的第三边长为(5A.52π3B.213π6π4C.16π12)D.4)2.在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为(A.B.C.D.)3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(A.518B.34C.32D.78..14.在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝，则c2＝32π5.在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝，则a＝31.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角，解三角形.(2)已知三边求三角形的任意一角.2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.