第三节刚度矩阵

第三节 刚度矩阵

——节点载荷与节点位移之间的关系

一、 单元刚度矩阵

1. 单元刚度矩阵

RymRxmmRyjRxjyRyiiRxixj

单元e是在节点力作用下处于平衡。节点i的节点力为

TRiRxiRyi （i , j , m轮换）

则单元e的节点力列阵为

1

ReRiTRTjTRmTTRRRRRRxmymxiyixjyj单元应力列阵为

T

exyxy

假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元e的三个节点的虚位移为

*eui*vi*u*jv*j*umT*vm

单元虚应变列阵为

****xyxyT

参照式（3-7），则单元虚应变为

**Bee

作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为：

2

*eTRe

单元内的应力在虚应变上所做的功为：

eT*tdxdy

根据虚位移原理，可得单元的虚功方程

eTeT*Re*tdxdy

或

eTeT*Re*BTtdxdy

故有

ReBTtdxdy

将式（3-10）代入，的

3

ReBeDBBTTetdxdyeDBtdxdy （3-27）

简记为

keR （3-29）

e--------上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程）

其中

keDBtdxdyB （3-28）

Tke称之为单元刚度矩阵（简称为单刚），是66矩阵。

如果单元的材料是均质的，矩阵D中的元素也是常量，且在三角形常应变的情况下，

4

B矩阵中的元素也是常数，当单元的厚度也是常数时，注意到

单元刚度矩阵可简化为

dxdy，于是

keDBtBT （3-30）

将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式：

k66ekiikjikmikijkimkjjkjmkmjkmm （3-31）

其中任一子块

krsT (r，s=i，j，m）是一个2×2子矩阵，为

krsBDBt (r，s=i，j，m）

rs（1）对于平面应力问题

将

B和平面应力问题的弹性矩阵D代入，得

5

BrDBst krsT1bbccrsrsEt2241cb1bcrsrs21brcscrbs21crcsbrbs2

(r，s=i，j，m） （3-32）

（2）对于平面应变问题

BD将和平面应变问题的弹性矩阵代入，得

12ccbbrs21rsE1tekrs4112crbs12brcs121bc12cb1rs21rscrcs12brbs21

(r,s=i，j，m） （3-33）

E2E,1（注：是将式（3-32）中的分别换成 和1）

2. 单元刚度矩阵的性质

6

k（1）  的物理意义

e式（3-29）可完整写为

eUiVUVUVijjmmek11k21k31k41k51k61k12k22k32k42k52k62k13k23k33k43k53k63k14k24k34k44k54k64k15k25k35k45k55k65k16vk26ikuj36k46vjk56umk66vmui

可见每个节点在x和y方向上有二个平衡方程，3个节点共有六个平衡方程。

e单元刚度矩阵

k中的任一元素称为刚度系数，其物理意义为：

kij-----当单元的第j个节点有单位位移，而其它节点位移为零时，需在单元第i个节

点位移方向上施加的节点力的大小。 例如， 位移（即

k23表示是第3个节点有水平（x）方向单位

2个节点所引起的铅垂（y）

u31）时，而其它节点位移分量均为零时，在第

方向的节点力。

（2）单元刚度矩阵只取决于单元形状，大小，方向和弹性常数，而与单元的位置无关。即ke不随单元坐标平移而改变，这叫单元刚度的平移原理。

7

a2mj4imja6i ②①i1jm3i ④ ③ mj5a

例如图示结构，有

kB(1)k(3)

(1)另外，可以证明

B(2)

k则有

(1)k(2)

180即单元旋转后，单元刚度矩阵相等。这是单元刚度旋转原理。

（3） 单元刚度矩阵是对称矩阵。

因为

keBTDBt

所以有

kBDBeTTTt

8

BDBtBTDBt

TTTTek

（4）单元刚度矩阵是奇异矩阵。

即

ek0

因为

ekeeR

当节点位移已知时，节点力是唯一确定的，而为单元没有支承，可以产生任意的刚体位移。

eRe不能唯一确定，因

已知时，

根据上述性质：对于上图结构，在节点力为零时，单元仍可产生刚体位移，即

U0kukvkukvkukvi11i12i13j14j15m16m此时

uuuuvvvvijm0 ，ijm0 ，单元产生刚体位移u0，v0为任意的。

故有

k11k13k15u0k12k14k16v00u,v由于00的任意性，则

9

kkk0kkk01113151416 ， 12

从而得

kkkkkk0111315121416

同理可得：单元刚度矩阵任意一行（列）元素之和为零。

（5）单元刚度矩阵主对角线上的元素恒为正。

即

kii0(i1,2,,6)

二、 整体分析

假设弹性体被分成m个单元和n个节点，对每一个单元进行前面的运算，则得到m组型如

keR

ee的方程。把这些方程集合起来，便可得到表征整体弹性体平衡的刚度方程：

kR2n2n2n12n1 （3-37）

 10

式中

2n1-------整体结构的节点位移列阵，1. 是由各节点位移按节点号码从小到大顺

序排列组成的，即

T1T2TTn

iui其中

viT （i=1, 2，…，n）

y4jim1①P32m②ji2PxP3

例如图示结构有

11

TTTT1234TT

uvuvuvuv11223344R2n12. -------整体结构的节点载荷列阵， 是由各节点载荷按节点号码从小到

大顺序排列组成的，即

RTR1TR2TTRn

其中

RRRiixiyT （i=1, 2，…，n）

例如图示结构有

RRT1TR2TR3R4TTPPR1xR1yP0R4xR4y32k

2.

2n2n-------整体结构的刚度矩阵（总刚）

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（1）2n2n的组集（“对号入座”法）

kkke2n2n例图示结构有

me

单元1

kii(1)kkjikmi单元2

kijkimk22kkjjkjm42kkmjkmm12k24k21k44k41k14k11

kii(2)kkjikmikijkimk44kkjjkjm24kkmjkmm34k42k43k22k23k32k33

注：在单元刚度矩阵中，各子块的下标表示该子块在总刚中的位置。

13

则总刚为

(1)k11(1)kk21880k(1)41(1)(2)(2)(1)(2)k22k22k23k24k24(2)(2)(2)k32k33k34(1)(2)(2)(1)(2)k42k42k43k44k44 (1)k120(1)k14（2）总刚的性质

ⅰ. 整体刚度矩阵的物理意义

K中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一个节点在坐标轴方向发生单位位

移，而其它节点都保持为零状态，在各节点上所需要加施加的节点力。

由式可以看出，令节点1在坐标轴x方向有单位位移，即

u11，而其余的节点位移

为零时，即v1=u2=v2=u3=v3=······= u2n=v2n=0，这样就可得到节点载荷列阵等于总刚k的第一列元素组成的列阵，即

TTR1xR1yR2xR2y……RnxRnyK11K21K31K41……K(2n1)1K(2n)1

k是对称矩阵 ⅱ. 总刚

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k是奇异矩阵 ⅲ. 总刚

kⅳ. 总刚主对角线上的元素恒为正，即

kii0(i1,2,,2n)

ⅴ. 总刚

k是一个稀疏矩阵。若遵守一定的节点编号规则，则非零元素集中在主对角

k越稀疏。

线附近呈带状分布。

单元越多，总刚

0krs0rs/r,s同属于一个单元的两个节点号码

非零元素集中在主对角线两侧，在包括对角线元素在内的半个带形区域中，具有最多元素的数目称为最大半带宽（半带宽），用B表示：

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B2n2n

B=（max{单元节点号码的最大差值}+1）×节点自由度数

半带宽取决于节点号码的最大差值。半带宽越窄，计算机的存储量就越少。所以，在划分有限元网格进行节点编号时，要采用合理的编码方式，使同一单元中两节点的号码差尽可能地小，以便使半带宽小，节省存储空间，提高计算效率。而且还可以大幅度减少求解方程所需的运算次数，其效果对大型结构显得尤为突出。

67891024681012345 13579

（a） （b）

对于图（a） B=[(7-1)+1]×2=14

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对于图（b） B=[(4-1)+1]×2=8

ⅳ. 总刚

k的存储方式

通常的有限元程序，一般都利用总刚的对称性和稀疏性的特点，在计算时采用：

半带宽存储-------------只存储上半带的元素

一维变带宽存储

分块一维变带宽存储

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