三角函数的图像与性质 知识点与题型归纳

●高考明方向

1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象， 了解三角函数的周期性．

2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数

ππ

在区间－2，2内的单调性．



★备考知考情

三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.

一、知识梳理《名师一号》P55 知识点

二、例题分析： （一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3

1

函数y＝lg(sinx)＋ cosx－的定义域为____________

2

sinx>0，

解析 要使函数有意义必须有 1

cosx－≥0，2

sinx>0，2kπ即解得π 1πcosx≥，－＋2kπ≤x≤＋2kπ233(k∈Z)．

π

∴2kπ3

π

∴函数的定义域为{x|2kπ3

例1．（2）《名师一号》P56 高频考点 例1(1) 函数y＝sinx－cosx的定义域为________．

解:(1)要使函数有意义，必须有sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx，同一坐标系中作出y＝sinx，y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示．

结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，

π5函数的定义域为x2kπ＋4≤x≤2kπ＋4π，k∈Z. 

注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法 (1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解．

例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4

πxπ函数y＝2sin6－3(0≤x≤9)的最大值与最小值之



和为( )

A．2－3 B．0 C．－1 D．－1－3

πππ7π

解:∵0≤x≤9，∴－≤x－≤.

3636

π3π

∴sin6x－3∈－，1.

2

∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3. 注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之一： 利用sinx和cosx的值域(图像)直接求；

例2．（2）8月月考第17题(1)

17．（满分12分）已知函数

f(x)3cos2x2cosxsinxsin2x．

（I）当x[0,]时，求f(x)的值域；

2

f(x)3cos2x2cosxsinxsin2x12cos2xsin2x 2cos2xsin2x ………2分

2(22sin2xcos2x)222sin(2x2sin(2x)2 …………3分

45x[0,]时，2x[,]，……4分

44422， ……5分

4)[2,1]f(x)[1,22]， 即f(x)的值域为[1,22]. …………………6分

注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之二： 化为求yAsin(x)b的值域 如：①yasinxbcosx

合一变换 yAsin(x) ②yasinxbsinxcosxccosx 降幂 ydsin2xecos2xf

22

合一变换 yAsin(2x)b 注意弦函数的有界性！

变式:《名师一号》P58 特色专题 典例1

π

若函数f(x)＝asinx－bcosx在x＝处有最小值－2，

3

则常数a，b的值是( )

A．a＝－1，b＝3 B．a＝1，b＝－3 C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1

解:函数f(x)＝asinx－bcosx的最小值为－a2＋b2. f(x)＝a2＋b2sin(x－φ)

ab

，sinφ＝2其中cosφ＝2， a＋b2a＋b2

则π31

f＝a－322b＝－2，

22－a＋b＝－2，

a＝－3，

解得

b＝1.

【名师点评】 解答本题的两个关键：

①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式； ②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．

例2．(3)《名师一号》P56 高频考点 例1(2)

π7π当x∈6，6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值



是________，最大值是________．

π7π1

解:∵x∈6，6，∴sinx∈－2，1.



又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)

127sinx－＝2＋. 48

17

∴当sinx＝时，ymin＝；

481

当sinx＝－或sinx＝1时，ymax＝2.

2

注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之三：

把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．

练习: (补充)

tan2x1（1）求函数f(x)的值域 2tanx1

【答案】1,1



2sin2x1x（2）求函数f(x)0,的值域 sin2x2

【答案】3,

2sin2x13sin2xcosxf(x)sin2x2sinxcosx3tan2x1113tanx2tanx2tanx

x0,tanx0211f(x)23tanx32tanx注意：求三角函数的值域的常用方法之三：

求三角函数的值域的常用方法：

化为求代数函数的值域

注意约束条件----三角函数自身的值域！

例2．（4）(补充)

求函数f(x)sinxcosxsinxcosx的值域

【答案】12,1 2注意：求三角函数的值域的常用方法之四：

《名师一号》P56 问题探究 问题3 如何求三角函数的值域或最值？

③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(或最值)．

利用sinxcosx1转化为二次函数在指定区间 上的值域问题

变式:

求函数f(x)sinxcosxsinxcosx的值域

22

例2．（5）详见 第一章 第二讲函数值域 7．数形结合法： 例7(2)

《名师一号》P14 问题探究 问题（6） 当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．

(补充)如两点间距离、直线斜率等等

求函数y4sinx1的值域

2cosx4

114sinxsinx44可视作单位圆外一点解:y22cosx2cosx21P2,与圆x2y21上的点cosx,sinx所连线

41段斜率的2倍,设过点P2,的点的直线方程为

411即ykx2kxy2k0

44

351解得k或k 4121k235答案：,

26令

注意：求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法

练习：求函数ycosx1x0,的值域

sinx2

答案：0,

3变式：求函数ycosx1sinx2

答案：0,

2

拓展:8月月考第16题

2k144x,的值域 221

2sin(x)2x2x4函数f(x)的最大值是M，最小值是22xcosxm，则Mm的值是 .

2sin(x)2x2x2sinxcosx2xxsinxx4f(x)12x2cosx2x2cosx2x2cosxsinxx，记g(x)，则g(x)是奇函数且f(x)1g(x)，

2x2cosx所以f(x)的最大值是M1g(x)max，

最小值是m1g(x)min，因为g(x)是奇函数， 所以g(x)maxg(x)min0，

所以Mm1g(x)max1g(x)min2.

（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测5

π

设函数f(x)＝sin2x－2，x∈R，则f(x)是( )



A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数

ππ

C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数

22

答案 B

例1．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（2）

(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，

ππ

2x＋，④y＝tan2x－中，最小正周期为π的所③y＝cos64

有函数为( )

A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③

2π

解：由于y＝cos|2x|＝cos2x，所以该函数的周期为＝π；由

2π

2x＋的周期函数y＝|cosx|的图象易知其周期为π；函数y＝cos6

π2ππ2x－的周期为，为＝π；函数y＝tan故最小正周期为π的函422

数是①②③，故选A.

注意：《名师一号》P56 问题探究 问题1 如何求三角函数的周期？ (1)利用周期函数的定义． (2)利用公式：

y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为

2π， |ω|

y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为

π. |ω|

例1．（3）《名师一号》P58 特色专题 典例2

π

ωx＋＋sinωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距函数f(x)＝sin3

离为2，则ω＝________

【规范解答】 相邻两对称轴之间的距离为2，即T＝4.

π133ωx＋＋sinωx＝sinωx＋cosωx＋sinωx＝f(x)＝sin3222

π3

ωx＋，又因为f(x)相邻两条对称轴之sinωx＋cosωx＝3sin62

2ππ

间的距离为2，所以T＝4，所以＝4，即ω＝.

ω2

注意：【名师点评】 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(x)＝Acos(ωx＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值

π

是函数的半周期，纵坐标之差的绝对值是2A.在解决由三角函

|ω|

数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．

练习:《加加练》P3 第11题

例2．（1）《名师一号》P57 高频考点 例3（1）

x＋φ

(1)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，

3

则φ＝( ) π2π3π5πA. B. C. D. 2323

x＋φ

解： (1)∵f(x)＝sin是偶函数，

3

∴f(0)＝±1.

φφπ∴sin＝±1，∴＝kπ＋(k∈Z)．

332

3π

∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．

2

3π

又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝.故选C.

2

x＋φ

变式：若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是奇函数，则φ＝？

3

例2．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（3）

4π

(3)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点3，0



中心对称，那么|φ|的最小值为( ) ππππA. B. C. D. 6432

解：(3)由题意得

4π2π

2×＋φ＝3cos＋φ＋2π 3cos332π2ππ

＋φ＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z. ＝3cos332ππ

∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为. 66

注意：【规律方法】

(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值，若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.

(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断． 《名师一号》P56 问题探究 问题4

如何确定三角函数的对称轴与对称中心？

若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数， 则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．

若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数， 则当x＝0时，f(x)＝0. 如果求f(x)的对称轴，

π

只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x.

2

(补充)结果写成直线方程！ 如果求f(x)的对称中心的横坐标，

只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可． (补充)结果写点坐标！

同理对于y＝Acos(ωx＋φ)，可求其对称轴与对称中心， 对于y＝Atan(ωx＋φ)可求出对称中心．

练习1：《名师一号》P58 特色专题 典例3

π

|φ|≤为偶已知f(x)＝sinx＋3cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)2函数，则φ的值为________．

【规范解答】 先求出f(x＋φ)的解析式，然后求解．

πx＋. ∵f(x)＝sinx＋3cosx＝2sin3

π

x＋φ＋. ∴f(x＋φ)＝2sin3

ππ

∵函数f(x＋φ)为偶函数，∴φ＋3＝2

＋kπ，k∈Z，

即φ＝π

6＋kπ(k∈Z)．

又∵|φ|≤ππ

2，∴φ＝6.

练习2：《计时双基练》P247 第3题

（四）三角函数的单调性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测6

下列函数中，周期为π，且在ππ4，2上为减函数的是( A．y＝sin2x＋π2 B．y＝cosπ2x＋2 C．y＝sinx＋π2 D．y＝cosx＋π2

解析 由函数的周期为π，可排除C，D.

又函数在ππ4，2

上为减函数，排除B，故选A.

练习1：《计时双基练》P247 第7题

)

函数ycos2x的单调递减区间为

4练习2:《加加练》P1 第11题

（2）《名师一号》P57 高频考点 例2

π

ωx＋(ω>0)的最小正周期为π. 已知函数f(x)＝4cosωx·sin4(1)求ω的值；

π

0，上的单调性． (2)讨论f(x)在区间2

πωx＋＝22sinωx·解：(1)f(x)＝4cosωx·sincosωx＋224π

2ωx＋＋2. cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin4

因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0.

2π

从而有＝π，故ω＝1.

2ω

π

2x＋＋2. (2)由(1)知，f(x)＝2sin4

πππ5π

若0≤x≤，则≤2x＋≤. 2444

ππππ

当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增； 4428

ππ5πππ

当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减． 24482

π

0，上单调递增， 综上可知，f(x)在区间8

ππ在区间8，2上单调递减．

注意：《名师一号》P56 问题探究 问题2 如何求三角函数的单调区间？

(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．

(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

例2．《名师一号》P58 特色专题 典例4

(2014·全国大纲卷)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区ππ

间6，2是减函数，则a的取值范围是________． 

【规范解答】 先化简，再用换元法求解． f(x)＝cos2x＋asinx＝1－2sin2x＋asinx.

ππ令t＝sinx，∵x∈6，2，

1∴t∈2，1.

1∴g(t)＝1－2t2＋at＝－2t2＋at＋12a1

由题意知－≤，∴a≤2.

2×－22

∴a的取值范围为(－∞，2]．

课后作业

一、计时双基练P247 基础1-11、 课本P56变式思考1

二、计时双基练P247培优1-4

课本P56变式思考2、3 预习 第五节

练习：

1、设函数f(x)＝2sin(

x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)

521 2≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )

A．4 B．2 C．1 D.

分析：∵f(x)的最大值为2，最小值为－2，

∴对∀x∈R，－2≤f(x)≤2.

取到最值时x＝

＋kπ，|x1－x2|取最小值，即2f(x1)为最小值，f(x2)为最大值且(x1，f(x1))，(x2，f(x2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期．

T解析：f(x)的周期T＝4，|x1－x2|min＝＝2.

2故选B.

2、为了使函数ysinx(0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，求的最小值。 3、（12天津文7）将函数f(x)sinx(0)的图像向右

3平移个单位长度，所得图像经过点(,0)，则的最小

44值是

特殊情况---三角函数的奇偶性

例2 (补充)（1）（08. 江西）函数f(x)sinxsinx2sinx2是（ ）

A．以4为周期的偶函数 B．以2为周期的奇函数 C．以2为周期的偶函数 D．以4为周期的奇函数

【答案】A

（07年辽宁理） 已知函数

ππxf(x)sinxsinx2cos2，xR

662（其中0）

（I）求函数f(x)的值域；

（II）若对任意的aR，函数yf(x)，x(a，aπ] 的图象与直线y1有且仅有两个不同的交点， 试确定的值（不必证明），并求函数 yf(x)，xR的单调增区间．

答案：（I）fx2sinx1 3,1

6（II）T,2 k,kkZ

63

变式：求函数

yf(x)，x0,的单调增区间．

2

X