枚举方法举例

在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂。我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。为了便于掌握，根据这类题的特点，我们可以分成如下几类：

一、列表枚举

特点是有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为有限个。

例1 有一张伍圆币，4张贰圆币，8张壹圆币。要拿出8元，可以有多少种不同的拿法？

分析与解答 如果随便拿出8元，那是比较容易做到的。但要把所有的情况都想到，并且做到不重复、不遗漏，可以按伍圆、贰圆、壹圆的顺序来列表枚举。

二、画图枚举

为了更清楚地表示出所有可能的情形。用画树图枚举法，能做到形象直观，条理分明，简炼易懂。特别适用于找出所有的情形或结果。

例2 暑假里，一个学生在A、B、C三个城市游览。他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假如他第一天在A市，第五天又回到A市，问他有几种不同的游览方案？

分析与解答 根据游览要求，第二天可能是B市或C市，若为B市，第三天又可能是A市或C市；若为C市，第三天可能是A市或B市……如此考虑，极可能会把自己弄糊涂了。但画一个树形图，则会清晰明了地显示出所有的游览方案：

从树形图（图1）中可以看出：在三个城市游览，第五天回到A市，只有4种符合要求的方案。

三、标数枚举

例3 如图2，在中国象棋盘上，红兵要走最短的距离到对方老将处，共有多少种不同的走法？

分析与解答 红兵要走最短的距离到老将处，只能向下向右。因此图2可简化为图3。兵走过第一排各点、第一列各点处都是1种走法，在各点处分别标上“1”；经过第二排、第二列各点时，走法则是它前边相邻两点走法的总和……依次标数如图4，共得到15种不同的走法。

运用该方法的关键，是要找准后面每一点的前面相邻两点的数目。

当然，此题还可以这样考虑：由题意可知，红兵到对方将处的各条最短路线中，都必须先后经过两小横段与四小竖段。这实际上是它们之间相距最近的不同的组合问题，可得解如下：

四、例推枚举 适用于规律性强，情形较多的题。可以避免许多相似的列举，简化解答过程。

例4 从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取法？

分析与解答 在1到100中，每次取出两个数，使它们和大于100，取法肯定繁多。但其中一定有一个较小的数，因此我们可以采用例举类推法，通过枚举较小数的所有可能性来例举分析，类推解答。

较小的数是1，只有一种取法，即[1，100]。

较小的数是2，有两种取法，即[2，99]、[2，100]。

较小的数是3，有三种取法，即[3，98]、[3，99]、[3，100]。

……

较小的数是50，有50种取法，即[50，51]、[50，52]……[50，100]。

较小的数是51，有49种取法，即[51，52]、[51，53]……[51，100]。

……

较小的数是99的只有一种取法，即[99，100]。

因此一共有：1＋2＋3＋……＋50＋49＋……＋2＋1=502=2500（种）。

五、公式枚举 此法比较适合于题目涉及的对象比较富有规律性，且情形繁多，数目很大，不宜用逐一列举来解。但通过适当的分类，逐一分析后，可利用公式解答。

例5 用5种颜色染方格图（2×2），要求每个小格染同一种颜色，相邻（即有公共边的）方格要染不同的颜色。有几种不同的染色方法？

分析与解答 此题可分四步染色：左上角先染色，有5种颜色可以选择，再染右上角，有4种颜色可选，接着染左下角，如果与右上角同色，则最后一格可有4种颜色选择；如果左下角与右上角不同色，则最后只剩3种颜色可选。此时不必逐一或分类列举，可借用乘法、加法原理得到：5×4×4＋5×4×3×3=80+180=260（种）。

综上所述可以看出，前三种方法适合于数目、种类不很繁杂的题；后两种比较适用于可能情形及答案较多，需分类枚举的，这是我们应重点学习掌握的。分析时应尽量做到分类全面、不重不漏。