重要不等式变式的推广及应用

解法探究

2019年10月重要不等式变式的推广及应用*

筅四川内江师范学院数学与信息科学学院筅四川内江师范学院数学与信息科学学院筅四川内江师范学院数学与信息科学学院2最重要的不等式.由（a-b）逸0是中学阶段最基本、2咱1暂杨诗棋宋元妹刘成龙a2b（a-b）逸0出发可以得到一系列变式，比如：逸a-b42x1x2…xn-1xnn.xn1a1等.这些变式（b跃0），逸4a-4b（b跃0），a-1逸1-（a跃0）ba是证明分式不等式的一把利剑.当然，应用广泛，这些变式也存在一些局限：证明的对象仅仅限于一次或二次.有必要对这些变式进一步为突破次数的限制，“升级”.文中仅对ab并运用推广处理一些不逸a-进行推广，b42（n-1）所以姨x2x3…xn，n-12n由推广可得2·=2n·n-1逸nx1-n-1x2x3…xn（姨x2x3…xn）n蓸蔀x12n同理可得x1x3…xnxn2x2x3…xnxn1逸nx1-（x2+x3+…+xn）.逸nx2-（x1+x3+…+xn），…，x1x2…xn-1+1+1+1xn+xn+…+xn12nxnn等式的证明，以此抛砖引玉.一尧变式的推广ann推广院设a，b沂R+，n沂N且n逸2，则n-1逸n-1a-b2nn证明院（2a）+（n-1）bn=（2a）+bn+…+bn逸2nabn-1，则n-1个逸nxn-（x1+x2+…+xn-1）.所以1n+1n+1xn+1+x2+…+xnn（x1+x2+…+xn-1+xn）-（n-1）（x1+x2+…+xn-1+xn）.所以x1x2…xn逸x1+x2+…+xn-1+xn.nx1x2…xn逸n-1b，当且仅当2a=b时取等号.2n当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.例2an1n（2a）逸2nabn-1-（n-1）bn，两边同除2nbn-1可得n-1b.2nan逸a-bn-12n-1n1++…++逸n-1.n-1n-1n-1（a1+a2）（a2+a3）（an-1+an）（an+a1）2n-1且移ai=1，证明：已知ai跃0（i=1，2，…，n），i=1an2ann-1ann二尧推广的应用例1（美国《大学数学杂志》1991年第4期征解题）1n+1n+1+设xi沂R（i=1，2，…，n），求证：xn+1+x2+…+xn逸x1x2…annn-1nn-1逸n-1a2-n（a2+a3），…，逸n-1an-1-n-1n-1（a2+a3）22（an-1+an）2ann-1nn-1n（an-1+an），逸n-1an-n（an+a1）.nn-12（an+a1）22所以n-1（a1+a2）nan2nn-1证明院由推广得逸n-1a1-n（a1+a2），n-1（a1+a2）22an1x（）.nx1+x2+…+xn-1+xn证明院原问题等价于xn-1+xn，且1n+1n+1xn+1+x2+…+xnan1x1x2…xnxn1逸x1+x2+…+xn2++1+1+1xn+xn+…+xn12nn2（n-1）逸a-ai，移移in-1i=1（an+a1）2n-1i=12nnannn-1（a2+a3）an2+…+n-1（an-1+an）ann-1+x1x2…xn=x2x3…xn+x1x3…xn+…+即++…++n-1n-1n-1n-1（a1+a2）（a2+a3）（an-1+an）（an+a1）an1an2ann-1ann*基金项目院四川省野西部卓越中学数学教师协同培养计划冶项目渊ZY16001冤.刘成龙系本文通讯作者.54

高中2019年10月解法探究

n（1+x）1）=nx+1，所以逸1+nx.教学

参谋

1逸n-1.2当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.例3例5（权方和不等式）设ai，bi跃0，i=1，2，…，n，k沂n1ak+i1bi=1，求证：逸.移移n-1i=1i=1（ai+3bi）4n-1nnnin设ai，bi沂R+，i=1，2，…，n，n沂N*，且移ai=ni=1aR+，则移i=1bki逸移ani=1ni=1k+1i（2ai）1证明院原问题等价于移逸.n-1i=1（ai+3bi）2n-2nk+1（sai）不等式等价于移逸1.咱2暂ki=1（tbi）n-1-1证明院令s=（a1+a2+…+an），t=（b1+b2+…+bn），则原移b.ki（2a）i由推广得移逸移n-1i=1（i=1ai+3b）innnn蓘1=移n（4nai-nai+ai-3nbi+3bi）i=12nnnnnn-1·2a-（ai+3b）ii2n-12n蓡k+1k+1（sai）（sai）k因为移=2移，由推广可得：kki=1（tbii=1（2tbi））nnnnk+1（sai）kkk+12移逸22tbi移sai-2k+1移ki=1（2tbii=1）2ki=1knk+1（sai）=（k+1）sai-k移tbi，则移移ki=1i=1i=1（tbi）nnn蓸蔀1=n（移4nai-移nai+移ai-移3nbi+移3bi）i=1i=1i=1i=12i=1n11=n（4n-n+1-3n+3）=n-2.221+nx.例4（伯努利不等式）则（1+x）逸x跃-1，n为正整数，n逸（k+1）移sai-k移tbi=k+1-k=1.nni=1i=1证明院（1+x）=2·nn由推广可得蓸蔀蓸1蔀（1+x）2nnnnn则（1+x）逸2·2n-11nn（1+x）2n逸1n-12n-11n-1.所以移ni=1abkik+1i逸移ani=1ni=1k+1i移b.ki蓘蓘1nn-1（1+x）-2·=n（1+x）-（n-22n蓡1（1+x）-n-1.22n蓡参考文献院咱1暂刘成龙袁余小芬.巧用变式妙证分式不等式咱J暂.中学数学研究袁2008渊3冤.咱2暂赵思林.初等代数研究咱M暂.北京院科学出版社袁2017.W渊上接第53页冤22 12姨PN=x+y2-姨2xycos45毅=x2+y2-xy.22 蓸蔀姨3.3 且M沂AC，由于M，N相互独立，N沂BF，所以MN的 在Rt吟MPN中，MN=姨MP2+PN2= （2）因为MN=姨x2+y2-xy-姨2x+1 =姨x+y-xy-姨2x+1（0约x约姨2，0约y约姨2）. 22 姨蓸 1-姨2x2 x+y-xy蔀+122223这个最小值姨就是异面直线AC、BF之间的距离.3解答也十分完教师点评：两位同学改题都很成功，让大家再次看整.两种不同改法，得到两个不同的结论，清了两条异面直线距离的“真面目”，同时也再次感受到“联合作战”的威力，了代数知识与几何知识请大家为这（学生鼓掌雷动）两位同学的精彩发言鼓掌.至此，学生对两条异面直线距离的代数求法有了一个清晰的认识，同时也对“异面直线的距离”这个概念有了更深层次的理解.W高中=22x2所以当x=姨且y==姨时，MN有最小值323 姨蓸蔀蓸xy-22 322姨+x-34蔀21+，355