湖南省邵阳市邵东一中2018_2019学年高一数学下学期期中试题

湖南省邵东一中2019年上学期高一年级期中考试试题

数学

分值：120分 时量：120分钟

一．选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分。下列各题四个选项中只有一个是．．．．最符合题意的。）

1．某校高三级部分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三级部中抽取30名老师去1

参加教研会，已知乙级部中每个老师被抽到的可能性都为，则高三级部的全体老师的个数为3( )

A．10 C．60

B．30 D．90

1

D [因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为，所以高三年级中每个老师被抽到的可

311

能性都为，由30÷＝90(人)，可得全体老师人数．]

33

2．如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为俯视图可以是（ ）

1．则该几何体的2

【答案】C

3．若直线

与直线

互相垂直,则等于( )

A．1 B．-1 C．±1 D．-2 【答案】C 解：①当

时，利用直线的方程分别化为：

，

，此时两条直线相互垂直．

②如果③

，两条直线的方程分别为，当

时，此两条直线的斜率分别为

与

，

，不垂直，故

．

；

两条直线相互垂直， 综上可知：故选：． 4．设A．0 【答案】C

【解析】试题分析：由题意可知，5．P为圆A．1 【答案】B 【详解】 因为

在圆

外，且圆心与

的距离等于

，又P为圆

上任一

.

上任一点，则P与点

B．4

所以

的距离的最小值是（ ） C．5

D．6

，则B．1

的值为（ ）

C．2

D．3

．

，化为

，

点，所以P与点故选B 6．函数

的距离的最小值等于圆心与的距离减去半径，因此最小值为

的零点所在的大致区间是( )

A．（1,2） B．（e，3） C．（2，e） D．（e，+∞） 【答案】C

【解析】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．

又∵f(2)=\"ln2-1\" =ln2-1＜0，f(e)=lne-2e =1-2e ＞0，∴f（2）•f（e）＜0， ∴函数f（x）=\"Inx-2\"x 的零点所在的大致区间是（2，e）． 故选C

7．已知直线平面，直线②

；③

平面，给出下列命题：①；④

．

；

其中正确命题的序号是（ ） A．①③ 【答案】A 【详解】

①中，因为直线平面，②中，因为直线平面，

，所以直线平面，又直线，所以

或

，又直线，所以，所以

平面，所以

；故①正确；

B．②③④

C．②④

D．①②③

平面，所以与可能平行、重合

平面，所以

，

或异面，故②错；③因为直线平面，故③正确；④中，因为直线平面，行或相交，所以④错； 故选A

平面，又直线或

，又直线

平面，所以与平

8．在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为( )

1

A. 21C. 4

1B. 31D. 5

B [所求事件构成的区域长度为2 m，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m，故灯与21

两端距离都大于2 m的概率为＝.]

639．在一次

千米的汽车拉力赛中，

名参赛选手的成绩全部介于

，…，第五组

分钟到

分钟之间，将

比赛成绩分为五组：第一组如图所示，若成绩在

，第二组，其频率分布直方图

之间的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

由频率分布直方图知，成绩在所以，成绩在

内的人数为：

内的频率为：

（人），

，

所以该班成绩良好的人数为11人． 故选D.

10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中

，若

，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找

两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【答案】D

先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中

，所以基本事件总数为

；因为

，就称甲乙“心有灵犀”，

所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”包含的基本事件有：

，共16个基本事件，

所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为

11．若圆：范围是（ ） A．

B．

C．

D．

上有四个不同的点到直线：

的距离为，则的取值.

【答案】C

【解析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心与半径，作出圆与直线的图象，数形结合可得圆心【详解】

到

的距离小于1时符合题意，由点到直线的距离公式可得结果.

将圆：

,半径为

当当圆心即

即即

到

，解得

化为标准方程为

，

，过作直线的垂线，垂足为交圆于，

为1时，圆上有三个点到直线的距离为2， 时，圆上有四个点到直线的距离为2，

的距离小于1，

， ,故选C. ，

，若对任意的

，存在

，使得

，

即的取值范围是12．已知函数

则实数的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

【答案】A 对任意的等价于设

时，

.

当当

时，时，

，综上可得，

，， ，故选A.

.

，存在

的最小值大于

在，使得

时

， 的最小值，

上递增，

二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：

广告费用x(万元) 销售额y(万元) 3 25 4 30 5 40 6 45 ^^^^根据上表可得线性回归方程y＝bx＋a中的b为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元.

－－^^

73.5 [由题表知，x＝4.5，y＝35，代入回归方程得a＝3.5，所以回归方程为y＝7x＋^

3.5，故当x＝10时，y＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．]

14．如图，该程序运行后输出的结果为___________．【答案】45

15．当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，

计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0．则将十进制下的数168转成二进制的数是___________． 答案为：10101000（2）． 16．已知三棱锥直径，且【答案】

的所有顶点都在球的球面上，

是边长为1的正三角形，为球的

，则此棱锥的体积为_______.

【解析】试题分析：根据题意作出图形：

设球心为，过ABC三点的小圆的圆心为，则延长∵∵

交球于点D，则

，∴

是边长为1的正三角形，∴

平面ABC.

，∴高，∴

平面ABC，

，

.

三．解答题

17．(本小题满分8分)已知点

，

，动点P满足

．

若点P为曲线C，求此曲线的方程； 已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且与程． 【答案】（1）设点

， ，

，动点P满足

，

整理得：

，曲线C方程为

． ．

（2）

或

．

中的曲线C只有一个公共点，求直线l的方

设直线l的横截距为a，则直线l的纵截距也为a， 当把

时，直线l过

，设直线方程为

，得： ，

．

代入曲线C的方程

，

直线l与曲线C有两个公共点，已知矛盾；

当把

时，直线方程为代入曲线C的方程

，

，

，得：

直线l与曲线C只有一个公共点，解得

，

或

．

，

直线l的方程为

18．(本小题满分8分)如图，某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项 测试．这25位学生的考分编成的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同．

（Ⅰ）求这两个班学生成绩的中位数及x的值；

（Ⅱ）如果将这些成绩分为“优秀”（得分在175分 以上，包括175分）和“过关”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率． 【答案】（1） x=7；（2）

．

试题解析：（Ⅰ）甲班学生成绩的中位数为

乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157，故x=7； （Ⅱ）用A表示事件“甲班至多有1人入选”． 设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3． 则从5人中选出3人的所有方法种数为：

（A，B，1），（A，B，2），（A，B，3），（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3）， （B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）共10种情况， ．8分 其中至多1名甲班同学的情况共（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）7种．

由古典概型概率计算公式可得P（A）=19．(本小题满分8分)如图，在三棱锥面

平面

,

,

． 中,

是边长为4的正三角形,是的中点.

中点，平

分别是

(1) 求证:(2) 求三棱锥

.

的体积.

.

【答案】（1）见解析； （2）(1) 因为所以所以又

且平面平面

. ,所以,平面.又的距离为

. . . 平面, 是,

,

, ,

(2) 因为所以

平面

,平面平面, 平面,

的中点,

所以,到平面又所以

20．(本小题满分10分)已知以点坐标原点。 （1）求证：（2）设直线

的面积为定值； 与圆交于点

为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，其中为

，若，求圆的方程。

【答案】（Ⅰ）【解析】（1）设圆令

的方程是，得

（Ⅱ）见解析（Ⅲ），

；令

，得

，即：

]

的面积为定值． ． ．

（2）

，

，解得：

当

时，圆心

的坐标为

直线

，

垂直平分线段的方程是

，

此时到直线的距离，

圆当

与直线

时，圆心

相交于两点． 的坐标为

，

，

此时到直线的距离

圆与直线不相交，

不符合题意舍去． 圆

21．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，

的方程为

PA＝2，PD＝22，∠PAB＝60°.

(1)求证：AD⊥平面PAB； (2)求二面角P－BD－A的正切值．

[解析] (1)证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝22， ∴PA＋AD＝PD，∴AD⊥PA． 在矩形ABCD中，AD⊥AB． ∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB．

(2)过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE. ∵AD⊥平面PAB，PH⊂平面ABCD，∴AD⊥PH. 又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD． 又∵PH⊂平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD． 又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE， ∴BD⊥平面PHE.

而PE⊂平面PHE，∴BD⊥PE，

故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角． 由题设可得，PH＝PA·sin60°＝3，

2

2

2

AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2， AD4

BD＝AB2＋AD2＝13，HE＝·BH＝. BD13

∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝∴二面角P－BD－A的正切值为

PHHE39. 4

39. 4

2xa22.(本小题满分12分)已知函数f(x)x.

2b (1)当a4,b2时，求满足f(x)2的x的值；

x

xx (2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)满足f(x)[g(x)2]22，若对

任意xR且x≠0,不等式g(x)mg(x)10恒成立，求实数m的最大值。

2x4 解答：(1)当a4,b2时，f(x)x2x.

22即(2)3240，解得：2x4或2x=−1(舍去)， ∴x=2；

(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，

x2x2xa2xa则f(x)f(x)，即x， x2b2b即(ab)(2x2x)2ab20，解得：a1,b1，或a1,b1

2x1经检验a1,b1满足函数的定义域为R，∴f(x)x.

21当x≠0时,函数g(x)满足f(x)[g(x)2]22，

xx∴f(x)[g(x)2]22,(x≠0)，则g(x)22，

xxxx不等式g(2x)mg(x)10恒成立， 即(22)2m(22)10恒成立， 即m(22)即mtxxxx2xx8恒成立，设t2x2x，则t2， xx228，t2恒成立， t8取最小值42。 t由对勾函数的图象和性质可得：当t22时, t故42，即实数m的最大值为42.