2020年陕西省榆林市高考数学三模试卷(理科)

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2020年陕西省榆林市高考数学三模试卷（理科）

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A{x|3x1m}，若1A且2A，则实数m的取值范围是( ) A．2m5

B．2m5

C．2m5

D．2m5

2．下面关于复数z1i（其中i为虚数单位）的结论正确的是( ) A．z对应的点在第一象限 C．z的虚部为i

B．|z||z1| D．zz0

3．如图所示，给出了样本容量均为7的A，B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则( )

A．r1r2

B．r1r2

C．r1r2

D．无法判定

4．已知数列{an}为等差数列，且a34，a58，则该数列的前10项之和S10( ) A．80

B．90

C．100

D．110

5．已知m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是( )

A．若m//，m//，则// C．若m，n，则m//n

B．若m//，n//，则m//n D．若，，则//

6．设x1，x2，x3均为实数，且ex1lnx1,ex2ln(x21),ex3lgx3，则( ) A．x1x2x3

B．x1x3x2

C．x2x3x1

D．x2x1x3

|AC|2，7．已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB|3，若APABAC且APBC，

1

则实数的值为( ) A．

3 7B．

7 3C．

7 12D．

12 78．瑞士数学家欧拉(LeonharEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知ABC的顶点A(4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为xy20，则顶点C的坐标可以是( ) A．(1,3)

B．(3,1)

C．(2,0)

D．(0,2)

9．若函数f(x)3sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于(在[2，0)对称，则函数f(x)，]上的最小值是( ) 46B．3 2A．1

1C．

2D．3 2x2y210．抛物线y8x的焦点F是双曲线221(a0,b0)的一个焦点，A(m，n)(n0)为

ab抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若|AF|8，则该双曲线的离心率为(

) A．2

B．3 C．2

D．5

11．新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，广大医务工作者积极响应党中央号召，舍小家，为大家，不顾个人安危，生动诠释了敬佑生命、救死扶伤、甘于奉献、大爱无疆的崇高精神．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是( ) A．男医生

B．男护士

C．女医生

D．女护士

12．已知三棱锥PABC中，PAPB2，CACB7，AB23，PC3．关于该三棱锥有以下结论：

①三棱锥PABC的表面积为53； ②三棱锥PABC的内切球的半径r③点P到平面ABC的距离为3； 223d，则动点M的轨迹为抛33； 5④若侧面PAB内的动点M到平面ABC的距离为d，且MP物线的一部分．

2

其中正确结论的序号为( ) A．①②

B．③④

C．①②③

D．①②③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

xy213．设x，y满足约束条件x1，则目标函数z2xy的取值范围为 ．

y214．若曲线y2x与函数f(x)aex在公共点处有相同的切线，则实数a的值为 ． 15．已知数列{an}的前n项之和为Sn，对任意的nN*，都有3Snan16．若

bna1a2an,nN*，则数列{an}的通项公式an ；数列{bn}的最大项为 ． 16．定义在R上的偶函数yf(x)满足f(x2)f(x)，当x[0，1)时，f(x)1x2，有以下4个结论：①2是yf(x)的一个周期；②f（1）0；③函数yf(x1)是奇函数；④若函数yf(x1)在(1,2)上递增．则这4个结论中正确的是 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（--）必考题：共60分．

17．（12分）已知ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

(sinBsinC)2sin2AsinBsinC． （1）求A；

（2）若bc6，ABC的面积为23，求a．

18．（12分）如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，AB2，ABC120，AC与BD相交于点O，四边形BDEF为直角梯形，DE//BF，BDDE，DE3，BF3，平面

BDEF平面ABCD．

（1）证明：平面AEF平面AFC； （2）求二面角EACF的余弦值？

3

x2y2119．（12分）已知椭圆E:21(a3)的离心率e．直线xt(t0)与曲线E交于

a32不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C． （1）求椭圆E的方程；

（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求ABC的面积的最大值．

20．（12分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）． 阶梯级别 月用电范围（度) 第一阶梯 [0，210] 第二阶梯 (210，400] 第三阶梯 (400,) 某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电户编号 用电量（度) 1 2 3 4 5 6 7 8 225 9 10 53 86 90 124 132 200 215 300 410 （1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？ （2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值． 21．（12分）已知x13e是函数f(x)xnlnx的极值点．

（1）求f(x)的最小值； （2）设函数g(x)的取值范围．

选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

4

mx，若对任意x1(0,)，存在x2R，使得f(x1)g(x2)，求实数mex

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为8sin．若过点P(5,3)，倾斜角为，且cos的直线交曲线C于P1、P2两点． （1）求|PP1||PP2|的值； （2）求P1P2的中点M的坐标． [选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．对aR，|a1||a1|的最小值为M．

x2y2z2（1）若三个正数x，y，z满足xyzM，证明：yzx2；

35（2）若三个正数x，y，z满足xyzM，且(x2)2(y1)2(zm)2实数m的取值范围．

1恒成立，求3 5

2020年陕西省榆林市高考数学三模试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A{x|3x1m}，若1A且2A，则实数m的取值范围是( ) A．2m5

B．2m5

C．2m5

D．2m5

解：因为集合A{x|3x1m}，若1A且2A， 311m且321m；解得2m5；

故选：C．

点评：本题主要考查描述法表示一个集合以及元素与集合的关系、不等式的解法，属于基础题目．

2．下面关于复数z1i（其中i为虚数单位）的结论正确的是( ) A．z对应的点在第一象限 C．z的虚部为i 解：

B．|z||z1| D．zz0

z1i，z对应的点的坐标为(1,1)，在第二象限，故A错；

|z1||i|1，|z|(1)2122，故B错误； z的虚部为1；故C错误；

zz(1i)(1i)20，故D正确．

故选：D．

点评：本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．

3．如图所示，给出了样本容量均为7的A，B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则( )

A．r1r2

B．r1r2

C．r1r2

D．无法判定

6

解：根据A、B两组样本数据的散点图知，

A组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，

相关系数为r1应最接近1，

B组数据分散在一条直线附近，也成正相关，

相关系数为r2满足r2r1，

即r1r2． 故选：C．

点评：本题考查了散点图与相关系数的应用问题，是基础题．

4．已知数列{an}为等差数列，且a34，a58，则该数列的前10项之和S10( ) A．80

B．90

C．100

D．110

解：设等差数列{an}的公差为d，a34，a58，a12d4，a14d8， 联立解得：a10，d2， 则该数列的前10项之和S100故选：B．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5．已知m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是( )

A．若m//，m//，则// C．若m，n，则m//n 解：对于A，若B．若m//，n//，则m//n D．若，，则//

109290． 2n，m//n，则m//，m//，所以A错误；

对于B，若m//，n//，则m与n可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线，所以B错误；

对于C，若m，n，由线面垂直的性质定理知m//n，所以C正确； 对于D，若，，则与可能相交，也可能平行，所以D错误． 故选：C．

点评：本题考查了空间中的直线、平面之间的位置关系应用问题，是基础题．

7

6．设x1，x2，x3均为实数，且ex1lnx1,ex2ln(x21),ex3lgx3，则( ) A．x1x2x3

B．x1x3x2

C．x2x3x1

D．x2x1x3

1解：画出函数y()x，ylnx，yln(x1)，ylgx，3个函数的函数图象，如图所示：

e，

由图象可知：x2x1x3， 故选：D．

点评：本题主要考查了指数函数与对数函数的图象，以及数形结合法的运用，是中档题． |AC|2，7．已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB|3，若APABAC且APBC，

则实数的值为( ) A．

3 7B．

7 3C．

7 12D．

12 7解：向量AB与AC的夹角为120，且|AB|3，|AC|2， 可得ABAC32cos1203， 若APABAC且APBC，

则APBC(ABAC)(ACAB)ACAB(1)ABAC 493(1)0，

22解得7． 12故选：C．

8

点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量垂直的条件：数量积为0，向量平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．

8．瑞士数学家欧拉(LeonharEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知ABC的顶点A(4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为xy20，则顶点C的坐标可以是( ) A．(1,3) 解：

B．(3,1)

C．(2,0)

D．(0,2)

A(4,0)，B(0,4)，AB的垂直平分线方程为xy0，

又外心在欧拉线xy20上，

xy0联立，解得三角形ABC的外心G(1,1)，

xy20又r|GA|(14)2(10)210， ABC外接圆的方程为(x1)2(y1)210．

设C(x,y)，则三角形ABC的重心(整理得xy20．

x4y4x4y4,)在欧拉线上，即20． 3333(x1)2(y1)210x0x2联立，解得或．

y2y0xy20顶点C的坐标可以是(0,2)．

故选：D．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 9．若函数f(x)3sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于(在[2，0)对称，则函数f(x)，]上的最小值是( ) 46B．3 1C．

2A．1 D．3 2解：函数f(x)3sin(2x)cos(2x)2sin(2x)(0)的图象关于(，0)62对称， 226即kkZ，k，

755，，f(x)2sin(2x )2sin2x，6666在[，]上，2x[，]，故当2x时，函数f(x)取得最小值为3， 46332故选：B．

9

点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．

x2y210．抛物线y8x的焦点F是双曲线221(a0,b0)的一个焦点，A(m，n)(n0)为

ab2抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若|AF|8，则该双曲线的离心率为(

) A．2

B．3 C．2

D．5

解：抛物线y28x的焦点F(2,0)，即双曲线的右焦点为(2,0)，

x2y2双曲线221的渐近线方程分别为bxay0，bxay0，

ab抛物线的准线方程为x2，

由A(m，n)(n0)为抛物线上一点，可得m0，且|AF|m28， 解得m6，n43，

即A(6，43)，由直线AF与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF与渐近线bxay0平行， 可得kAF430b3， 62acb2则双曲线的离心率为e12132．

aa故选：C．

点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查渐近线方程的运用，以及离心率的求法，化简运算能力，属于中档题．

11．新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，广大医务工作者积极响应党中央号召，舍小家，为大家，不顾个人安危，生动诠释了敬佑生命、救死扶伤、甘于奉献、大爱无疆的崇高精神．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是( ) A．男医生

B．男护士

C．女医生

D．女护士

解：设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有： ①abcd， ②ca，

10

③ab， ④d2，

得出：cabd2， 假设：d2，

仅有：a5，b4，c6，d2时符合条件，

又因为使a、b、c、d中一个数减一人符合条件，只有b1符合，即女医生． 假设：d2，则没有能满足条件的情况． 综上，这位说话的人是女医生， 故选：C．

点评：本题考查的知识点是逻辑推理，难度中档．

12．已知三棱锥PABC中，PAPB2，CACB7，AB23，PC3．关于该三棱锥有以下结论：

①三棱锥PABC的表面积为53； ②三棱锥PABC的内切球的半径r③点P到平面ABC的距离为3； 223d，则动点M的轨迹为抛33； 5④若侧面PAB内的动点M到平面ABC的距离为d，且MP物线的一部分．

其中正确结论的序号为( ) A．①②

B．③④

C．①②③

D．①②③④

解：对于①，取AB的中点D，连接PD、CD，则ABCD，ABPD， 又PAPB2，CACB7，AB23，PC3，

所以三棱锥PABC的表面积为3332353，①正确； 11对于②，三棱锥PABC的体积为V三棱锥PABC3353r，

33解得三棱锥内切球的半径为r3，所以②正确； 5对于③，AB平面CDP，AB平面ABC，所以平面ABC平面CDP； 所以点P到平面ABC的距离即为点P到CD的距离，

11

计算点P到CD的距离为133，所以③正确； 22对于④，侧面PAB内的动点M到平面ABC的距离为d，则动点M到直线AB的距离为23d， 3由MP23d，所以在平面PAB内的动点M到定点P的距离与到直线AB的距离相等，且3PAB，

所以动点M的轨迹为抛物线的一部分，④正确； 综上知，其中正确结论的序号为①②③④． 故选：D．

点评：本题考查了空间中直线与平面的位置关系应用问题，也考查了运算求解与逻辑推理能力，是综合题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

xy213．设x，y满足约束条件x1，则目标函数z2xy的取值范围为 [1，2] ．

y2xy2解：x，y满足约束条件x1的可行域如图：

y2作直线2xy0的平行线，

当目标函数经过可行域的A(0,2)时，目标函数z2xy取得最大值2， 目标函数经过B(1,1)时，目标函数取得最小值：1． 目标函数z2xy的取值范围为[1，2]． 故答案为：[1，2]．

12

点评：本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键，是基本知识的考查，基础题．

14．若曲线y2x与函数f(x)aex在公共点处有相同的切线，则实数a的值为 解：由已知得y1x2e ． e，f(x)aex．

1aex再设两曲线的公共点为(x,y)，则x，

2xaex解得a2e． e2e． e故答案为：点评：本题考查导数的几何意义和切线的求法，利用切点满足的两个条件列出方程组是本题的思路．属于基础题．

15．已知数列{an}的前n项之和为Sn，对任意的nN*，都有3Snan16．若

bna1a2an,nN*，则数列{an}的通项公式an (1)n12为 ．

解：3Snan16，

4n

；数列{bn}的最大项

n2时，3Sn1an116，

两式相减可得，2anan1， n1时，a18，

数列{an}是以8为首项，1为公比的等比数列， 2 13

1所以an8()n1(1)n1224n．

11a58()4，a18，a24，a32，a41，n4时，|an|1，

22bna1a2an,nN*，所以b4最大，最大值为64． 故答案为：(1)n124n；64．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判定与通项，考查数列中各项乘积的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．

16．定义在R上的偶函数yf(x)满足f(x2)f(x)，当x[0，1)时，f(x)1x2，有以下4个结论：①2是yf(x)的一个周期；②f（1）0；③函数yf(x1)是奇函数；④若函数yf(x1)在(1,2)上递增．则这4个结论中正确的是 ②③④ ． 解：

f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，4是函数yf(x)的一个周期，

yf(x)是偶函数，f(x2)f(x)f(x)，函数yf(x)关于点(1,0)对称，

由于当x[0，1)时，f(x)1x2，于是可作出如下的函数图象，

由图可知，①错误，②③④正确． 故答案为：②③④．

点评：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性，函数的平移变换等，熟练掌握函数性质的概念是解题的关键，考查学生的推理论证能力，属于基础题．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（--）必考题：共60分．

17．（12分）已知ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

(sinBsinC)2sin2AsinBsinC． （1）求A；

（2）若bc6，ABC的面积为23，求a． 解：（1）(sinBsinC)2sin2AsinBsinC．

14

由正弦定理得(bc)2a2bc，即b2c2a2bc，

cosA21，A．

32（2）

13SABCbcsinAbc23，

24bc8，结合bc6，(bc)2a2bc，a228．

a27．

点评：本题考查正、余弦定理、面积公式以及三角形中的边角互化．同时考查学生利用转化思想解决问题的意识和计算能力、逻辑推理能力．属于中档题．

18．（12分）如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，AB2，ABC120，AC与BD相交于点O，四边形BDEF为直角梯形，DE//BF，BDDE，DE3，BF3，平面

BDEF平面ABCD．

（1）证明：平面AEF平面AFC； （2）求二面角EACF的余弦值？

解：（1）证明：连接OE，OF， 四边形ABCD为菱形， ACBD，

平面BDEF平面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD， AC平面BDEF， ACEF，

四边形BDEF为直角梯形，DE//BF，BDDE，DE3BF3，OAOB1，

OE10,OF2,EF22，

OE2OF2EF2， EFOF，

15

AC，OF在平面AFC内，ACOFO，

EF平面AEF，

平面AEF平面AFC；

（2）AFCF，AECE，

OEAC，OFAC，

EOF为二面角EACF的平面角，

由（1）可知，cosEOFOF25． OE510

点评：本题考查面面垂直的判定以及二面角的求解，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．

x2y2119．（12分）已知椭圆E:21(a3)的离心率e．直线xt(t0)与曲线E交于

a32不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C． （1）求椭圆E的方程；

（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求ABC的面积的最大值．

x2y21（1）解：椭圆E:21(a3)的离心率e，

a32

a231．（2分） a2解得a2．

x2y2椭圆E的方程为（4分） 1．

43（2）解：依题意，圆心为C(t,0)，(0t2)． xt123t2222由x得y． y4134

16

123t2圆C的半径为r．（6分）

2圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离dt，

123t22210t，即0t．

27123t22t127t2．弦长|AB|2rd2（8分） 422ABC的面积S1t127t22（9分）

127(7t)127t2(7t)2127t237．（12分）

2727142时，等号成立． 7当且仅当7t127t2，即tABC的面积的最大值为37．（14分） 7点评：本题考查椭圆的方程和三解开有的面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

20．（12分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）． 阶梯级别 月用电范围（度) 第一阶梯 [0，210] 第二阶梯 (210，400] 第三阶梯 (400,) 某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电户编号 用电量（度) 1 2 3 4 5 6 7 8 225 9 10 53 86 90 124 132 200 215 300 410 （1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？ （2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．

解：（1）2100.5(400210)0.6(410400)0.8227元（2分）

（2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0，1，

17

31123C7C72C3C7C3C372171p(1)3p(2)3p(3)32，3p(0)3

C1024C1040C1040C10120故的分布列是

 p 所以E()00 7 241 21 402 7 403 1 120721719123（7分） 244040120103（3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X∽B(10,)，

5k3k210k可知p(Xk)C10()()(k0，1，2，3，10)

55k3k210kk13k1210(k1)C()()C()10()2833105555，解得，kN* k55Ck(3)k(2)10kCk1(3)k1(2)10(k1)10105555所以当k6时，概率最大，所以k6（12分）

点评：本题考查独立重复试验概率的求法，分布列以及期望的期望的求法，考查分析问题解决问题的能力． 21．（12分）已知x13e是函数f(x)xnlnx的极值点．

（1）求f(x)的最小值； （2）设函数g(x)的取值范围．

解：（1）f(x)xnlnx，x(0,)．f(x)nxn1lnxxn1． x13mx，若对任意x1(0,)，存在x2R，使得f(x1)g(x2)，求实数mexe是函数f(x)xnlnx的极值点．

n13f(3)e1e1(n1)0，解得n3．

3可得x13e时函数f(x)取得进极小值即最小值．

1111f(x)x3lnx，f(3)()．

e33eef(x)的最小值为：1． 3e（2）对任意x1(0,)，存在x2R，使得f(x1)g(x2)对f(x1)ming(x2)min，x1(0,)，

18

x2R．

由（1）可得：f(x1)min①m0时，g(x)0，1． 3e10，不适合题意，舍去． 3e111m②若m0，g()e1，满足1，适合题意．

m3em(1x)③若m0，g(x)，可得x(,1)时，g(x)0，函数g(x)单调递减；x(1,)ex时，g(x)0，函数g(x)单调递增．

x1时，函数g(x)取得极小值即最小值，g（1）11m，解得m．

33eem． e1综上可得实数m的取值范围是(，)(0，)．

3点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为8sin．若过点P(5,3)，倾斜角为，且cos的直线交曲线C于P1、P2两点． （1）求|PP1||PP2|的值； （2）求P1P2的中点M的坐标．

解：（1）曲线C的极坐标方程为8sin．转换为直角坐标方程为x2y28y， 3x5t35点P(5,3)，倾斜角为，且cos，则直线的参数方程为5y34t535(t为参数），

把直线的参数方程代入圆的方程为t2所以|PP1||PP2||t1t2|58．

86t580， 5 19

（2）由（1）知：t1t2所以tMt1t243， 2586， 53x5t5代入y34t5得到M(497,)． 2525点评：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．对aR，|a1||a1|的最小值为M．

x2y2z2（1）若三个正数x，y，z满足xyzM，证明：yzx2；

（2）若三个正数x，y，z满足xyzM，且(x2)2(y1)2(zm)2实数m的取值范围．

解：（1）证明：由aR，|a1||a1||a1a1|2，

1恒成立，求3当且仅当1a1时取得等号，可得xyz2， x2x2y2x， 又x，y，z0，y2yyy2z2同理可得z2y，x2z，

xzx2y2z2三式相加可得，xyz2，

yzx当且仅当xyzx2y2z2则yzx2时，取得等号， 32；

（2）(x2)2(y1)2(zm)211恒成立，等价为[(x2)2(y1)2(zm)2]min， 33由(121212)[(x2)2(y1)2(zm)2](x2y1zm)2(m1)2， 当且仅当x2y1zm可取得等号． 则

11(m1)2，即|m1|1，解得m2或m0， 33即m的取值范围是(，0][2，)．

点评：本题考查绝对值不等式的性质和基本不等式、柯西不等式的运用，考查化简运算能力

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和推理能力，属于中档题．

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