圆锥曲线高考复习之我见

第３３卷第３期　２０１５年６月　凯里学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｋａｉｌｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．３３　Ｎｏ．３　Ｊｕｎ．２０１５　・中小学教育教学・　圆锥曲线高考复习之我见　杨　洁　（黔东南州教育科学研究所，贵州凯里５５６０００）　摘要：通过列表分析２０１０—２０１４年全国新课标卷（２０１３、２０１４年全国Ⅱ卷）中圆锥曲线的命题　规律，再结合学生高考中解答圆锥曲线题型的常见问题以及圆锥曲线专题的基本特点，以近几年　的高考试题为主作典型案例分析，提出圆锥曲线高考复习策略．　关键词：圆锥曲线；高考；复习　论文编码：Ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３—９３２９．２０１５．０３．４７　圆锥曲线是高中数学的重要组成部分，在高考　中占有重要的位置．而这部分内容所涉及题型的特　点是：思维量大、知识量大、计算量大，因而在历年　高考复习中都成为高三教师和学生头疼的问题．针　对这种状况，对近几年全国新课标卷中圆锥曲线部　分进行梳理和分析．　１　圆锥曲线的高考比重和命题规律　１．１　圆锥曲线的高考比重　圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是高　考重点考查的内容．近几年来，高考数学对圆锥曲　线的考查一直占有较大的比例，在２０１０—２０１４年　这５年的全国新课标卷中，圆锥曲线内容考查的分　值及其考查知识点情况见表１．　表１　２０１０—２０１４年全国新课标卷中圆锥曲线知识点情况统计　１．２　圆锥曲线的命题规律　圆锥曲线主要包括椭圆、双曲线、抛物线３部　程、几何性质的考查多为选择题和填空题；直线与　椭圆的位置关系３种题型都有体现，但多为解答　题．抛物线的定义和标准方程的考查多为选择题和　填空题，抛物线的几何性质３种题型都有可能　出现．　分内容．椭圆是历年高考必考的重点之一，双曲线　高考考纲要求不高．从近５年高考命题统计来看：　（１）考查内容．圆锥曲线高考命题重点：一是　圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质（尤其是范　围和离心率）；二是直线与圆锥曲线的位置关系，　尤其是直线与椭圆的位置关系．　（２）考查题型．对椭圆、双曲线的定义、标准方　收稿日期：２０１５—０３—０２　（３）考查难度．高考命题对椭圆部分内容要求　以熟练掌握基础知识并灵活运用为主，题目具有较　强的综合性，试题多为中等难度或难题，对基本运　算能力要求较高．对双曲线部分内容的要求较低，　作者简介：杨洁（１９８０一），女，贵州锦屏人，黔东南州教育科学研究所数学教研员（中学一级），研究方向为中学数学教育教学　以基础知识和基本计算为主，题目难度不大．对抛　（２）对于求曲线方程中参数的取值范围（或取　值）问题，应根据题设条件及曲线的几何性质（如　范围、对称性、位置关系等）构造参数满足的不等　物线部分内容的考查以理解和应用为主，试题难度　适中，多为中等难度题目．　（４）考查分值．圆锥曲线内容在高考命题中分　值为：１７～２２分，占试卷总分的１１．２％～１４．６％。　（５）考查形式．对于椭圆的考查主要有２种形　式：一是直接考查椭圆的定义、方程和性质等基础　知识；二是与椭圆有关的距离、面积以及最值、范围　和探究性问题等，注重对数形结合思想、函数思想　以及运算能力的考查．对于双曲线的考查主要有２　式（或等式），通过解不等式（或等式）求出参数的　取值范围（取值），或建立关于参数的目标函数转　化为函数的值域问题求解．具体例子如下．　例１设抛物线Ｙ　＝８ｘ的准线与　轴交于点　ｑ，若过点Ｑ的直线ｆ与抛物线有公共点，则直线ｆ　的斜率的取值范围是（　）　ｒ　１　１　’　Ａ．１一÷，÷ｌ　Ｂ．［一２，２］　Ｃ．［一１，１］　种形式：一是根据已知条件求解双曲线的方程，二　是由双曲线的方程研究双曲线的性质，尤其是双曲　线的渐近线和离心率的求解．对于抛物线考查主要　有２种形式：一是求抛物线的方程，二是利用抛物　线的定义求解最值问题．　２学生解答圆锥曲线高考题常见问题　在数学教学中，经常通过平时的作业、测试卷　的答题情况来判断学生学习的情况，便于下一步针　对性的教学．对２０１５年黔东南州高考模拟考试中　数学试卷进行分析，发现学生在解答圆锥曲线题目　中主要存在以下问题：（１）基础知识不牢，基本功　不扎实，对一些基本的概念、公式不记住，即便记住　了，也只是停留在表面上，一知半解，不能够灵活运　用．（２）不会审题，找不到解题思路，不知如何下　笔．（３）基本计算能力不强．　根据学生解答圆锥曲线高考题常见的问题以　及结合圆锥曲线专题的基本特点，也就是解题思路　比较简单清晰，解题方法的规律性比较强．因此，笔　者认为圆锥曲线的高考备考应着重从２方面人手：　一是知识点的备考，二是学生解题思维模式的　培养．　３高考备考策略　３．１知识点的备考　对圆锥曲线的复习，一要重点掌握圆锥曲线的　定义、标准方程、几何性质等基础知识和基本应用；　二要熟练掌握解决有关圆锥曲线问题的通性通法，　打好扎实的基础；三要熟悉解决圆锥曲线问题的必　要的技能技巧，以提高综合解题能力，如求解直线　与圆锥曲线的位置关系的问题时，常常使用设而不　求的方法、点差法等；四要对本专题常用数学思想　方法，如方程思想、函数思想、数形结合思想等要强　化训练，做到灵活运用．下面具体谈一谈在解圆锥　曲线的综合问题时常见的注意要点：　（１）解答圆锥曲线综合问题应根据曲线的几　何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特　征转化为数量关系（如方程、函数等）再结合其他　知识解答，重视函数与方程等价转化思想的应用．　Ｄ．［一４，４］　解　由题意得ｑ（一２，０）．设Ｚ的方程为　Ｙ＝ｋ（　＋２），代人Ｙ　＝８ｘ得　ｋ２ｘ　＋４（ｋ　一２）　＋４ｋ　＝０，　所以当ｋ＝０时，直线ｆ与抛物线恒有１个交点；当　ｋ≠０时，△＝１６（ｋ　一２）　一１６ｋ　≥０，即ｋ　≤１，　所以一１≤ｋ≤１，且ｋ≠０，综上一１≤ｋ≤１．所　以选Ｃ．　（３）直线与圆锥曲线的位置关系综合问题，体　现了解析几何的基本思想——用代数的手段研究　几何问题（注重数形结合思想）．直线与圆锥曲线　的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程的　二元二次方程组的解的情况来讨论．若方程组消元　后得一个一元一次方程，则它们有一个公共点．值　得注意的是，直线与二次曲线只有一个公共点时未　必相切，还可能相交；若方程消元后得到一个一元　二次方程，则根据△来讨论．　（１）有关弦长问题，应注意运用弦长公式和根　与系数的关系，设而不求（如例３第２问、例４第１　问）；有关中点弦问题，可考虑“点差法”（如例３第　１问）；有关焦点弦问题，要重视圆锥曲线定义的　灵活运用，以简化运算（如例４第１问）．　（２）有关垂直问题，应注意运用斜率关系（如　例２解法一）、平面向量（如例２解法二）以及根与　系数的关系，设而不求，整体处理．　２　，例２　（２０１３年高考安徽卷）设椭圆Ｅ：　＋　０　，２　＿Ｌ　＝１的焦点在　轴上．　上一０　（１）若椭圆Ｅ的焦距为１，求椭圆Ｅ的方程；　（２）设Ｆ　、Ｆ　分别是椭圆Ｅ的左、右焦点，Ｐ为　椭圆　上第一象限内的点，直线Ｆ２Ｐ交Ｙ轴于点Ｑ，　并且Ｆ　Ｐ　ｊ＿Ｆ　Ｑ．证明：当０变化时，点Ｐ在某定直　线上．　解　（１）因为椭圆的焦点在　轴上且焦距为　１　＜　１，所以２ａ　一１＝　１，解得　＝詈，故椭圆Ｅ的方　程为学＋警＿１．　（２）法一：设Ｐ（　。，　。），Ｆ。（一ｃ，０），Ｆ　（ｃ，０），　其中ｃ＝　０　一１．　由题设知　。≠ｃ，则直线Ｆ。Ｐ的斜率　＝　，　直线ＦｚＰ的斜率Ｋ　＝　，故直线ＦｚＰ的方程　为ｙ：　（　一ｃ）．　当　＝０时，ｙ＝　，ＣＸ　０　即点Ｑ坐标为ｆ＼　０，　１Ｃ　ｎ，　．因此，直线Ｆ１Ｑ的斜率为　Ｑ＝　・　由于，　Ｐ上Ｆ　Ｑ，所以　。ＫＦ　Ｑ＝　Ｙｏ’　Ｙｏ＝一１．　化简得ｙ　：　一２ａ　一１．　①　将①代人椭圆Ｅ的方程，由于点Ｐ（　。，Ｙ。）在　第１象限，解得　。＝Ⅱ　，Ｙ。：１一ｏ　，即点Ｐ在定　直线　＋ｙ＝１上．　法二：设Ｐ（　。，Ｙｏ），Ｆ　（一ｃ，０），Ｆ２（Ｃ，０），其中　ｃ：、　由题设知　。≠ｃ，则直线Ｆ　Ｐ的斜率　，　直线Ｆ：Ｐ的斜率Ｋ　‘　＝　．故直线Ｆ：Ｐ的　ｎ—Ｃ　方程为ｙ＝　（　—ｃ）．　当　：０时，ｙ：　，ｃ　Ｏ　即点Ｑ坐标为ｆ＼　０，　１．ＣＸｎ，　　因此　：（　。＋。，ｙ。），　：（。，』　），　Ｃ一　因为Ｆ　Ｐ上Ｆ　Ｑ，所以Ｆ　Ｐ・Ｆ１Ｑ＝０．—————・—｛　・—－－——　　即ｃ（　。＋ｃ）＋盟：０化简得　Ｙｏ２　Ｘ，。＝０　Ａａ　一一　２ａ　一１一，，　②　将②代入椭圆Ｅ的方程，由于点Ｐ（　。，Ｙ。）在　第１象限，解得　。＝０　，Ｙｏ＝１—０　，即点Ｐ在定直　线　＋Ｙ＝１上．　３．２　学生解题思维模式的培养　３．２．１培养学生的审题意识、审题习惯，制定合理　的解题计划　由于高考解题有时间的限定和速度的要求，学　生时常习惯于不明题意就匆忙求解，结果不是无从　下手，就是错漏百出．所以要特别提醒学生“审题　要慢”，细致地审题才能从题目中获得尽可能多　的，尽可能准的解题信息和启示．那么审题审什么？　怎么审？美国著名数学家和数学教育家波利亚在　《怎样解题》一书中指出了解题的第一步弄清问题　的具体内容是：条件是什么？结论是什么？已知什　么？未知什么？隐含什么？条件与结论什么关系？　例３　（２０１３年新课标全国卷）平面直角坐标　，２　２　系ｘＯｙ中，过椭圆　：　０　＋　０　＝１（口＞６＞０）右焦点　的直线　＋），一√３＝０交　于Ａ，　两点，Ｐ为ＡＢ的　中点，且ＯＰ的斜率为÷，　（Ｉ）求　的方程．　（１Ｉ）Ｃ，Ｄ为　上的两点，若四边形ＡＣＢＤ的　对角线ＣＤ＿ＬＡＢ，求四边形ＡＣＢＤ面积的最大值．　分析（Ｉ）求　的方程的条件有：　２　．　２　①椭圆　：　＋　＝１（０＞６＞０）；②直线　口　０　＋Ｙ一　＝０过椭圆　的右焦点；③直线　＋Ｙ一　＝０与椭圆　交于Ａ，Ｂ两点；④ＪＰ为的中点；⑤　１　ＯＰ的斜率为　１．　注释：条件①②：很明显隐含：０。一ｂ　：ｃ　且ｃ＝　；　条件③：显然Ａ，　两点坐标既满足直线方程　又满足椭圆　的方程，且直线ＡＢ的斜率为一１．　条件④：很显然隐含这一条件Ｐ的坐标等于　Ａ，Ｂ两点坐标之和再除以２．　条件⑤：可以直接写出直线ＯＰ的方程．　根据以上的条件，可以列出相关的式子，利用　化归思想，就可把问题解决了．　（１Ｉ）求四边形ＡＣＢＤ面积的最大值的条件：　（除了以上条件外还有以下条件）　⑥通过第１问可求出椭圆　的方程；⑦Ｃ，Ｄ为　上的两点；￣ｃｏ上ＡＢ．　根据椭圆　的方程和直线ＡＢ的方程易求出　１ＡＢ　Ｉ的长，而由条件⑧又可设直线ＣＤ的方程，再　把椭圆　的方程和直线ＣＤ的方程联立方程组消　去Ｙ（或　），由韦达定理和弦长公式求出ｌ　ＣＤ　ｌ的　最大值，进而求出四边形ＡＣＢＤ面积的最大值．　解（Ｉ）设ａ（ｘ　，Ｙ．），Ｂ（　，Ｙ　），则　＋　Ｙｌ＝１（１），　Ｘ２＋鲁：１（２），　由（１）一（２）得　二　＋　二　：０６　一ｕ’，　因为　｛—　＝一１，设Ｐ（ＸＯ　Ｙ。），因为Ｐ￣Ｊ　ＡＢ　的中点，且ＯＰ的斜率为了１所以Ｙｏ：—　。，　，通过这些相关联想再运用化归思想，正确运算　很容易就得到正确的答案．　解　（Ｉ）由椭圆定义知Ｊ　　ＩＡＢ　Ｉ＝了４。ｌ＋ｌ　ＢＦ：Ｊ＋　Ｉ　ＡＢ　ｌ＝４ａ，又２　　ＩＡＢ　Ｉ＝Ｉ　ＡＦ　Ｉ＋ｌ　ＢＦ　Ｉ，得　即Ｙｌ＋Ｙ２＝÷（　ｌ＋　２），所以解得ｒｚ　＝２ｂ　，即　ａ　＝２（ａ。一ｃ　），即ａ　＝２ｃ　，　又因为ｃ＝　，所以ａ　＝６，所以　的方程为　２　２　＋争＝１．　（１Ｉ）因为ＣＤ上ＡＢ，直线ＡＢ方程为　＋Ｙ一　√３＝０，所以设直线ＣＤ方程为Ｙ：　＋ｍ，　将　＋Ｙ一　代入等＋｝＝１得　３　ｚ一４　：０，即Ａ（０，　）、　（半，一拿）．　所以可得ｌ　ＡＢ　Ｉ：　；将Ｙ：　＋ｍ代入　＋等＝１得３　＋４ｍ　＋２ｍ。一６＝０，　设Ｃ（　，Ｙ３），Ｄ（　，Ｙ４），　则　ｌ　ＣＤＩ：　．　：　￣／—１８－—２ｍ２，　又因为△＝１６ｍ　一１２（２ｍ　一６）＞０，即　一３＜ｍ＜３，所以当ｍ＝０时，ｌ　ＣＤ　Ｊ取得最大　值４，所以四边形ＡＣＢＤ面积的最大值为　ｆ　１．１　ｃＤ　Ｉ：　．　３．２．２联想相关知识，从熟悉处入手，逐步理顺　解题思路　例４（２０１１年全国新课标）设Ｆ　，　分别是　椭圆Ｅ：　＋告＝１（０＞ｂ＞０）的左、右焦点，过　Ｆ．斜率为１的直线ｆ与椭圆　相交于　，　两点，且　Ｊ　ｆ，ｌ　ｌ，ｌ　ｌ成等差数列．　（Ｉ）求Ｅ的离心率；　（Ⅱ）设点Ｐ（０，一１）满足Ｉ尸Ａ　Ｉ＝Ｉ　Ｐ　Ｉ，求　的方程．　分析　已知条件有：　①Ａ曰为过焦点的弦且斜率为１；②Ｉ　Ａ　Ｉ，　Ｊ　ＡＢ　ｌ，Ｊ　『成等差数列；③点Ｐ（Ｏ，一１）满足　ｌ　ｌ＝Ｊ朋Ｉ．　注释：条件①可以联想到椭圆的定义、联立方　程组、韦达定理、弦长公式；条件②联想到等差中　项；条件③联想到垂直问题．　．　２的方程为Ｙ：　＋ｃ，其中ｃ＝￣／口　一ｂ　．　设Ａ（ｘ　，Ｙ　），Ｂ（　，Ｙ　），则Ａ，Ｂ两点坐标满足　ｒ　＝　＋ｃ　方程组｛Ｌａ　垂＋乓：１，ｂ　　化简得（ａ　＋ｂ　）　。＋２ａ　ＣＸ，＋ａ　（ｃ　一ｂ　）＝０，贝０　—２口　ｃ　０　ｆ　Ｃ２一ｂ　１　Ｘ１＋Ｘ２　∥　ｚ　■　因为直线４　斜率为１，所以　ｌ　ＡＢ｝＝　１　：一　１＝Ｊ２　Ｅ（　＋Ｘ２）　一４　：］．　得　。＝　，故口２＝２ｂ２，Ｎｒ２　Ｅ＠Ｎ心　＿：　：—￣ａ２ｂ２—：　．　（Ⅱ）设ＡＢ的中点为Ｎ（　，Ｙｏ），由（Ｉ）知　１＋　，　一口２ｃ　２　ｃ　。　丁　一　’Ｙｏ　了‘　由ｌ　ＰＡ　ｌ：｛ＰＢ　ｌ得　：一１．即　＝一１，得　Ｃ＝３，从而ａ＝３√２，ｂ＝３．　故椭圆Ｅ的方程为　＋等＝１．　３．２．３善于利用数形结合思想　解析几何是数和形相结合的一门学科，在求解　圆锥曲线题目时要善于作简图，通过直观的图形可　把错综复杂的“数”的关系变得清晰可辨，从而找　到解题的切入口，把问题化难为易，因此应尽可能　地利用图形帮助解题．　参考文献：　［１］杜志建．高考题库理科数学［Ｍ］．吉林：延边教育出版　社，２０１４．　［２］任志鸿．五年高考数学［Ｍ］．昆明：云南教育出版社，　２０１３：１１５—１２２．　［３］罗增儒．数学审题审什么，怎么审？［Ｊ］．中学数学教　学参考，２０１２（４）：３９—４１．　［责任编辑：孟立霞］