一、填空题：
1、2310的所有约数的和是_______。
5151、、120分别去除某一个分数，结果都是整数，那么这个分数最小是 。2、用2856
3、今年2月9日是星期五，问经过1994 1994……1994天，是星期________。（包括今天）
1994个1994
4、甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件共花3.15元；如果购买甲4件、乙10件、丙1件共花4.20元，那么购买甲、乙、丙各1件需_____元钱。
5、从1、2、3、…、1998、1989这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个
数的差不等于4？
6、（如图）三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2厘米，CD＝2厘米, CB=3厘米,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积是______平方厘米。
98％，晾晒后的蘑菇重____千克。
7、六年级同学采了10千克蘑菇，这些蘑菇的含水量为99％，稍经晾晒后，含水量下降到
8、从楼下经过一些台阶走到楼上，规定你每一步只能跨上一级或两级台阶。问： （1）从楼下登上第五级台阶，有多少种不同的走法？ （2）从楼下登上第十级台阶，有多少种不同的走法？
9、图中一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式。那么所得的乘积是 。
10、一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是时刻？
二、解答题：
11、有50名学生参加联欢会。第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，三个到会的女生只差 2个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生？
12、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校。每个站都有学生上车。第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时，车上最少有多少学生？
13、一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。求水流的速度。
14、一空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管.单开甲管需5分钟注满水池,单开乙管需10分钟注满水池,满池水如果单开排水管需6分钟流尽.某次池中没有水,打开甲管若干分钟后,发现排水管未关上,随即关上排水管,同时打开乙管,又过了同样长的时间,水池的1/4注了水.如果继续注满水池,前后一共要花多少时间?
15．下面是一个算式： 1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋1×2×3×4×5×
6这个算式的得数能否是某个数的平方？
16．四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是
20，而且每个小三角形顶点上的数之和相等。问这六个质数的积是多少？
17．能不能将（1）505；（2）1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如
果不能，说明理由。
18．22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，
已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女教师比妈妈多2人，至少有1名男教师，那么在这22人中，爸爸有多少人？
19．长方形草地ABCD被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如图），其中图形甲的长和
宽的比是a ：b=2 ：1，其中图形乙的长和宽的比为（ ） ：（ ）
20．甲、乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/时，中间三分之一
路程的行走速度是4.5千米/小时，最后三分之一路程的行走速度是4千米/小时；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小时，后二分之一路程的行走速度是4千米/小时。已知甲比乙早到30秒，A地到B地的路程是（ ）千米。
北京首师大附中初一分班考试试题讲解
一、填空题：
1、2310的所有约数的和是_______。
先分解质因数, 2310=2*3*5*7*11
求约数个数，质因数的指数加一，相乘。 (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=32
求所有约数和，对于每个质因数,从1开始,加到对应质因数的最高次数,然后再相乘。 （1+2）*（1+3）*（1+5）*(1+7）*(1+11)= 6912 例如:
99=3×3×11=3²×11 所有约数的和,就是: (1+3+3²)×(1+11)=156
5151、、120分别去除某一个分数，结果都是整数，那么这个分数最小是 。 2、用2856
用5/28、15/56、1又1/20分别去除某分数，相当于用28 / 5、56 / 15、20 / 21去乘它，所以此数分子必定是这些数分母的最小公倍数（为了让它最小），分母必定是它们分子的最大公约数（为了让它最小），所以：
28、56、20的最大公约数是4，5、15、21的最小公倍数是105，所以它是105/4。
3、今年2月9日是星期五，问经过1994 1994……1994天，是星期 ________。（包括今天）
1994个1994
1994÷7=284…6 即每经历1994天星期几就得往前推6天
如“今年2月9日是星期五”，历经一个1994天后是星期四（星期五再往前推6天）
但要经历1994个1994天，而每个1994天就必须把星期几往前推6天，于是，就必须往后推1994×6=11964天
而11964÷7=1709…1，即往后推一天，故是星期六。
4、甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件共花3.15元；如果购买甲4件、乙10件、丙1件共花4.20元，那么购买甲、乙、丙各1件需_____元钱。
设甲乙丙分别单价分别是X,Y,Z元 3X+7Y+Z=3.15, (1) 4X+10Y+Z=4.2, (2)
(2)-(1): X+3Y=4.2-3.15=1.05
代回（1）： 3X+7Y+Z=3(X＋3Y)-2Y+Z=3*1.05-2Y+Z=3.15 Z-2Y=0, Z=2Y.
X+Y+Z=X+Y+2Y=X+3Y=1.05
5、从1、2、3、…、1998、1989这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个
数的差不等于4？
解：每8个连续自然数中，至少只能取四个数，其中每两个数的差不等于4. 把1989个数依次每8个分成一组，最后5个数也成一组，即 1，2，3，4，5，6，7，8；
9，10，11，12，13，14，15，16； …
1977，1978，1979，1980，1981，1982，1983，1984； 1985，1986，1987，1988，1989. 又 1989÷8 = 248……5
因此可以分成249组，每一组都取前4个数，显然这些取出的数满足要求.这样共取出数
249×4 = 996（个） 答：最多可以取出996个数.
6、（如图）三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2厘米，CD＝2厘米, CB=3厘米,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积是______平方厘米。
98％，晾晒后的蘑菇重____千克。
解：蘑菇含水量99%时，干蘑菇重10x(1-99%)=0.1KG 含水量为98%时，蘑菇重为0.1/(1-98%)=5KG 此时蘑菇重5公斤。
7、六年级同学采了10千克蘑菇，这些蘑菇的含水量为99％，稍经晾晒后，含水量下降到
8、从楼下经过一些台阶走到楼上，规定你每一步只能跨上一级或两级台阶。问： （1）从楼下登上第五级台阶，有多少种不同的走法？ （2）从楼下登上第十级台阶，有多少种不同的走法？ 解： 用递推即可
到达第一级有a1=1种方法，
到达第二级有a2=2种方法，（一步，或两步） 到达第三级可以从第一级上，也可以从第二级上 所以 a3=a1+a2=3 同理 a4=a3+a2=5 a5=a4+a3=8 即共有8种登法 a6=a5+a4=13 a7=a6+a5=21
a8=a7+a6=34 a9=a8+a7=55 a10=a9+a8=89
即共有89种登法
9、图中一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式。那么所得的乘积是 。
76 X396 ———— 456 684 228 ———— 30096
先说那个9
设两位数为ab，三位数为def，假设结果是ABCD
ab*d得到220多，a*d=3*7，4*5不可能，其他更不可能，所以a=7,d=3或者a=3,d=7 ab*e得到三位数，A不是2，最多是3
那么ab*e的百位+2再加进位超过10，进位可能进1进2，所以ab*e的百位至少是6，可能是7，8 所以a>6，e=9 所以a=7,d=3
7b*3=220多，4<=b<=6，74*3=222不符合，所以5<=b<=6
如果b是5，75*3=225，75*9=685=>最终四位数百位向千位进位至少是2 5+8=13，20-13=7，75*f>700这样的f是不存在的 所以b是6
ab=76，76*3=228，76*9=684=>76*f>400，6<=f<=9 f=7，76*7=532，含2不符合
f=8，76*8=608，最终四位数百位是2，不符合 f=9，76*9=684，最终四位数十位是2，不符合 所以f=6
所以是76*396=30096
10、一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是时刻？
有两个答案：
设一个是4时x分，另一个是5时y分。 x－25＝25－（4×5＋1/12x） x＝27又9/13
5×5＋1/12y－25＝25－y y＝23又1/13
以钟面上60个小格为计算单位
分针每分钟跑1格，时针每分钟跑1/12格 假设时针在前，分针在后，此时是4时x分 150-(120+0.5x)=6x-150 6.5x=180 x=360/13 x=27又9/13
所以此时是4时27又9/13分
假设时针在后，分针在前，此时是5时x分 0.5x=150-6x 6.5x=150 x=300/13 x=23又1/13
所以此时是5时23又1/13分
二、解答题：
11、有50名学生参加联欢会。第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，三个到会的女生只差 2个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生？
解：设女生有a人，男生有b人。 a + b = 50 (方程一） 1个女生 b个男生 2个女生 b-1个男生 3个女生 b-2个男生 ......
a个女生 b -（a - 1) b -（a - 1) = 7 （方程二） 解得b = 28 答：男生有28人。
12、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校。每个站都有学生上车。第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时，车上最少有多少学生？
1+2+4+8+16=31... 加上司机32不加司机31人
13、一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。求水流的速度。
顺水速：逆水速=（120-60）：（120-80）=60:40=3:2 顺水速（120+80×3/2）÷16=240÷16=15千米/小时 逆水速（120×2/3+80）÷16=160÷16=10千米/小时 水速（15-10）÷2=2.5千米/小时
14、一空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管.单开甲管需5分钟注满水池,单开乙管需10分钟注满水池,满池水如果单开排水管需6分钟流尽.某次池中没有水,打开甲管若干分钟后,发现排水管未关上,随即关上排水管,同时打开乙管,又过了同样长的时间,水池的1/4注了水.如果继续注满水池,前后一共要花多少时间?
单开甲管需5分钟注满水池，则甲每分钟注入1/5；
单开乙管需10分钟注满水池，则乙每分钟注入1/10； 单开排水管需6分钟流尽，则排水管每分钟排水1/6；
1)假设水池的1/4注满水，花的时间为2n
由题意可列方程： （1/5-1/6）n+（1/5+1/10）n=1/4 解之得n=3/4 2n=3/2
2)再假设注满水池剩下的3/4，需要的时间为m 由题意可列方程：（1/5+1/10）m=3/4
解之得m=5/2
答：前后一共需要的时间为2n+m=4分钟
【5 10 6】30
设：水池的注水量为30份。
水池的1/4：30x1/4=7.5份 还剩下：30-7.5=22.5份
甲管1分钟能注：30÷5=6份 乙管1分钟能注：30÷10=3份 丙管1分钟能排：30÷6=5份
甲乙1分钟：6+3=9份 甲丙1分钟：6-5=1份 9+1=10份 7.5份÷10份=3/4 1x3/4=3/4（分钟）
前后一共要花：
3/4+3/4+22.5/9=4（分钟）
15．下面是一个算式： 1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋1×2×3×4×5×
6
这个算式的得数能否是某个数的平方？
这六个加数的个位依次是1、2、6、4、0、0，可见这个算式的和的个位为3，不可能是是某个数的平方.
这个算式还可以加长一些，比方加到前10个数的和，结论是一样的，因为从1起的连续自然数的积，乘到5以后个位都是0。
1!+2!+...+9!=409113
sqrt(409113)=639.6194
所以不是某个数的平方数
设：第五个数为X 则十个数之和为：
(X-4)+(X-3)+(X-2)+(X-1)+X+(X+1)+(X+2)+(X+3)+(X+4)+(X+5)=10X+5 所以这种数必须是被十除余5的数 所以1010不行，而505可以
16．四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是
20，而且每个小三角形顶点上的数之和相等。问这六个质数的积是多少？
900. 【解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S。4个小三角形的和S相加时，中间三角形每个顶点上的数被算了3次，所以：4S＝2S＋20，从而：S＝10，这样，每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2，3，5，从而六个质数是2，2，3，3，5，5，它们的积是：2×2×3×3×5×5＝900
六个质数和是20,所以这六个数为，20=2+3+5+2+3+5 2 5 3 3 2 5
17．能不能将（1）505；（2）1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如
果不能，说明理由。
10个连续自然数中，最小的自然数为N,则最大的自然数为N+9, 则这10个连续自然数的平均数为[N+(N+9)]/2=N+4.5, 10个连续自然数的和为10N+45=10(N+4)+5, 同时10N+45≥10+45=55，
所以，只有个位数字为5，且该数大于或等于55时，才能写成10个连续自然数的和。 因此505可以写成10个自然数的和，而1010不行。
505=10N+45,解得N=46，
所以505=46+47+48+49+50+51+52+53+54+55
18．22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，
已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女教师比妈妈多2人，至少有1名男教师，那么在这22人中，爸爸有多少人？
设爸爸X 妈妈Y 男老师B女老师A A+B+X+Y=22 B>=1 A-2=Y X+Y>A+B Y>X
X+Y>A+B=22-(X+Y) 所以X+Y>11 同样A+B<11 先取B=1 则A<10
而由于A=Y+2 所以Y<8 而2Y>X+Y>11 所以Y>=6
19．长方形草地ABCD被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如图），其中图形甲的长和
宽的比是a ：b=2 ：1，其中图形乙的长和宽的比为（ ） ：（ ）
先假定甲的长（BC）=7、宽=3（这在数学上是可以的） 这样:甲的面积=21 （甲乙丙丁的面积均为21）
设乙的长宽分别为x和y（CD上乙的那段为x，AD上乙的那段为y） 乙的面积=甲的面积 x×y=21……①
再看丙的面积（丙为直角三角形，面积=底×高÷2） 丙的底=7-y、高=x 丙的面积=（7-y）×x/2=21
上式为7x-x×y=42 将①式代入上式得 x=9
从①式可知y=7/3 x/y=27/7
解：设AB边上的交点为E，CD边上的交点为F，EF边上的交点为G,AD边上的交点为K. 根据你的条件先假定甲的长（BC）=7、宽=3（这在数学上是可以的）
因为乙和丁的面积相等，所以FG：GE=1:2，又因为BC=7所以FG=7/3,GE=14/3. 又因为甲和乙的面积相等，所以DF=甲的面积/FG=21/FG=9 所以DF/FG=9/7/3=27/7
20．甲、乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/时，中间三分之一
路程的行走速度是4.5千米/小时，最后三分之一路程的行走速度是4千米/小时；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小时，后二分之一路程的行走速度是4千米/小时。已知甲比乙早到30秒，A地到B地的路程是（ ）千米。
设a地到b地的路程是x千米。
甲的时间(x/3)/4 + (x/3)/5 + (x/3)/4.5 乙 的时间（x/2)/5 + (x/2)/4
(x/3)/4 + (x/3)/5 + (x/3)/4.5 = （x/2)/5 + (x/2)/4 - 1/120 x=9
a地到b地的路程是9千米
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