贵溪市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

一、选择题

1． 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ A．10

B．9

C．8

D．5

）

2． 已知数列｛an｝满足an8班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________和m，则Mm（ A．

）

2n7（nN）.若数列｛an｝的最大项和最小项分别为Mn227 2C．

259435 D．32323． 已知两条直线L1:yx,L2:axy0，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,内变动

12B．

时，的取值范围是（ A． 0,1

）

11 23B．3,3

，

3C．3,1U1,3

D．1,34． 若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（A．a＞0　

5． 已知i为虚数单位，则复数

B．﹣1＜a＜0

），则a的取值范围是（

D．0＜a＜1

）

）

C．a＞1

所对应的点在（

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6． 如果A．

是定义在 B．

）

上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）

C． D．

7． 若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（ A．[0，+∞）B．[0，3]

C．（﹣3，0]D．（﹣3，+∞）

8． 如图，棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F是侧面对角线BC1,AD1上一点，若 BED1F 是菱形，则其在底面ABCD上投影的四边形面积（ A．

）

C.

1 2B．

3 42 2）

D．3249． 设f（x）＝（e－x－ex）（1－1），则不等式f（x）＜f（1＋x）的解集为（

2x＋12

A．（0，＋∞） B．（－∞，－1）2

C．（－1，＋∞） D．（－1，0）

2210．三角函数f(x)sin(A．3,62x)cos2x的振幅和最小正周期分别是（ ）

C．2,2B．3,2D．2,第 1 页，共 15 页

(1i)211．复数的值是（ ）

3i1313A．i B．i

444412．设命题p：A．C．

B． D．

C．13i 55D．

13i55【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．

，则

p为（ ）

二、填空题

13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　　．14．设m是实数，若x∈R时，不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，则m的取值范围是　　　　　　．　

15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为　　　　　　．　　

16．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是　　　．　

17．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，在90组数对（xi，yi）（1≤i≤90，i∈N*）中，经统计有25组数对满足

，则以此估计的π值为　　　　　　．第 2 页，共 15 页

18．设函数f（x）=

，则f（f（﹣2））的值为　　．三、解答题

19．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=

﹣alnx．

（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；

（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．　

20．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，，，...，...。

，其中

，集合

..。

（1）当（2）设、

，

，

，..。，则

.

，，

，，...，；

时，用列举法表示集合

、，，

，...，.证明：若

21．已知数列{an}共有2k（k≥2，k∈Z）项，a1=1，前n项和为Sn，前n项乘积为Tn，且an+1=（a﹣1）Sn+2（n=1，2，…，2k﹣1），其中a=2（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

，数列{bn}满足bn=log2

，

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（Ⅱ）若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤，求k的值．

22．已知函数f（x）=ex（ax+b）+x2+2x，曲线y=f（x）经过点P（0，1），且在点P处的切线为l：y=4x+1．（I）求a，b的值；

（Ⅱ）若存在实数k，使得x∈[﹣2，﹣1]时f（x）≥x2+2（k+1）x+k恒成立，求k的取值范围．　　

23．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且

．

（1）求A；（2）若

，求bc的值，并求△ABC的面积．

24．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为若不存在，说明理由．

？若存在，说明点D的位置，

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贵溪市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0，即cos2A=∴cosA=，又a=7，c=6，

根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即49=b2+36﹣解得：b=5或b=﹣则b=5．故选D　

2． 【答案】D【解析】

（舍去），

b，

，A为锐角，

2n72n52n52n7，，a8aan1n1n2n2n12n12n2n522n72n9，当1n4时，an1an,即a5a4a3a2a1；当n5时,an1an,2n12n125911即a5a6a7....因此数列an先增后减,n5,a5为最大项，n,an8，a1,最

3221111259435小项为，mM的值为．故选D.223232试题分析：数列an8考点：数列的函数特性.3． 【答案】C【解析】1111]

试题分析：由直线方程L1:yx，可得直线的倾斜角为45，又因为这两条直线的夹角在0,直线L2:axy0的倾斜角的取值范围是3060且

000，所以12450，所以直线的斜率为

tan300atan600且tan450，即考点：直线的倾斜角与斜率.4． 【答案】A

3a1或1a3，故选C.3【解析】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（∴f′（x）≤0，x∈（

，

）恒成立

，

）恒成立

，）

即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（

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∵1﹣3x2≥0成立∴a＞0故选A

【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．　

5． 【答案】A【解析】解：故选：A．　

6． 【答案】B

【解析】【知识点】函数的奇偶性

【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故故答案为：B7． 【答案】 D

【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，易知当x=0时上式不成立；故a=

令g（x）=2x﹣

=2x﹣

，

=2

，

是偶函数。

=

=1+i，其对应的点为（1，1），

，则g′（x）=2+

故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，

在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；故作g（x）=2x﹣

的图象如下，

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，

g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，

故结合图象可知，a＞﹣3时，方程a=2x﹣

有且只有一个解，

即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，故选：D．　

8． 【答案】B【解析】

试题分析：在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1AD1解得x2，设AFx，则2x1x2，2232，即菱形BED1F的边长为2，则BED1F在底面ABCD上的投影四边形是底边

44433为，高为的平行四边形，其面积为，故选B.44考点：平面图形的投影及其作法.9． 【答案】

【解析】选C.f（x）的定义域为x∈R，由f（x）＝（e－x－ex）（1－1）得

2x＋12

1）f（－x）＝（ex－e－x）（－1－x

2＋12

－11＝（ex－e－x）（＋）

2x＋12

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＝（e－x－ex）（1－1）＝f（x），

2x＋12

∴f（x）在R上为偶函数，

∴不等式f（x）＜f（1＋x）等价于|x|＜|1＋x|，

即x2＜1＋2x＋x2，∴x＞－1，2

即不等式f（x）＜f（1＋x）的解集为{x|x＞－1}，故选C.

2

10．【答案】B【解析】f(x)sin6cos2xcos6sin2xcos2x3331cos2xsin2x3(cos2xsin2x)22223cos(2x)，故选B．

611．【答案】C(1i)22i2i(3i)26i13i．【解析】

3i3i(3i)(3i)105512．【答案】A

【解析】【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，故答案为：A

p为：

。

二、填空题

13．【答案】　12　．

【解析】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，

故答案为：12．　

14．【答案】　[0，2]　．

【解析】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|，故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1，求得0≤m≤2，故答案为：[0，2]．

【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．　

15．【答案】　①②④　．

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【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．

②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．

③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．

④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．

【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．　

16．【答案】　　．

【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）

（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=

=

故答案为：

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【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．　

17．【答案】　

【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所围成的弓形面积S1，由图知，

，又

，所以

　．

【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．　

18．【答案】　﹣4　．

【解析】解：∵函数f（x）=∴f（﹣2）=4﹣2=f（f（﹣2））=f（故答案为：﹣4．　

，）=

=﹣4．

，

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）解：当a=λ时，函数f（x）=f′（x）=

﹣

=

﹣alnx=

﹣，

（x＞0）．

∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0．∴当x＞λ时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜λ时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=λ时，函数f（x）取得极小值，即最小值，∴f（（λ）=

（2）证明：函数f（x）=令u（x）=x﹣λ﹣alnx．

=0，解得λ=﹣alnx=

．

﹣alnx=x﹣

﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．

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u′（x）=1﹣=，可知：当x＞a时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，x→+∞，u（x）→+∞．

一定存在x0＞0，使得当x＞x0时，u（x0）＞0，

∴存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞u（x）＞u（x0）＞0．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　

20．【答案】

【解析】21．【答案】

【解析】（本小题满分13分）解：（1）当n=1时，a2=2a，则

；

当2≤n≤2k﹣1时，an+1=（a﹣1）Sn+2，an=（a﹣1）Sn﹣1+2，所以an+1﹣an=（a﹣1）an，故∴Tn=a1×a2×…×an=2na1+2+…+（n﹣1）=bn=（2）令当n≥k+1时，

=

．…

，

=a，即数列{an}是等比数列，

，

，

，则n≤k+，又n∈N*，故当n≤k时，

．…

|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|=

=（k+1+…+b2k）﹣（b1+…+bk）=[

+k]﹣[

]

+（

）+…+（

）…

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=由

，

，得2k2﹣6k+3≤0，解得

，…

又k≥2，且k∈N*，所以k=2．…

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．　

22．【答案】

【解析】解：（ I）f'（x）=ex（ax+a+b）+2x+2…依题意，

，即

，解得

．…

（ II）由f（x）≥x2+2（k+1）x+k得：ex（x+1）≥k（2x+1）．∵x∈[﹣2，﹣1]时，2x+1＜0，

∴f（x）≥x2+2（k+1）x+k即ex（x+1）≥k（2x+1）恒成立，当且仅当设

由g'（x）=0得当当

…

所以常数k的取值范围为

……；∴

上的最大值为：

…

，

【点评】本题考查函数的导数的综合应用，切线方程，闭区间是函数的最值的求法，构造法的应用，难度比较大，是高考常考题型．　

23．【答案】

【解析】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=∴B+C=则A=（2）∵a=2

，；

，b+c=4，cosA=﹣

，

，

∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，

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解得：bc=4，则S△ABC=

bcsinA=

×4×

=

．

【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．　

24．【答案】

【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），则 D（λ，0，1），所以∵

=（0，1，），∴

•=（=

且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），

，，﹣1），=0，所以DF⊥AE；

．

（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则∵

=（

，，），

=（

，﹣1），

，

∴，即，

令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为∴|cos＜，＞|=解得

或

=

，即

，

=

，

（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

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【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．　

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