最小割集、径集

相关概念

割集——也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。

径集——也叫通集或导通集，即如果事故树中某些基本事件不发生，顶上事件就不发生。那么，这些基本事件的集合称为径集。不引起顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合叫最小径集。

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最小割集求解方法

行列法 结构法

布尔代数化简法 行列法

行列法是1972年福塞尔提出的方法，所以也称其为福塞尔法。其理论依据是：“与门”使割集容量增加，而不增加割集的数量；“或门”使割集的数量增加，而不增加割集的容量。这种方法是从顶上事件开始，用下一层事件代替上一层事件，把“与门”连接的事件，按行横向排列；把“或门”连接的事件，按列纵横向摆开。这样，逐层向下，直至各基本事件，列出若干行，最后利用布尔代数化简。化简结果，就得出若干最小割集。

为了说明这种计算方法，我们以图4—25所示的事故树为例，求其最小割集。

事故树示意图

我们看到，顶上事件T与中间事件A1、A2是用“或门”连接的，所以，应当成列摆开，即

A1、A2与下一层事件B1、B2、X1、X2、X4的连结均为“与门”，所以成行排列：

下面依此类推：

整理上式得：

下面对这四组集合用布尔代数化简，根据A·A＝A，则X1·X1

＝X1，X4·X4＝X4，即

又根据A＋A·B＝A，则X1·X2＋X1·X2·X3＝X1·X2，即

于是，就得到三个最小割集{X1，X2}，{ X4，X5}，{ X4，按最小割集化简后的事故树，如图4－26所示:

事故树等效图

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X6}。

结构法

这种方法的理论根据是：事故树的结构完全可以用最小割集来表示。

下面再来分析图4－25事故树示意图： A1∪A2＝X1·B1·X2∪X4·B2

＝X1·(X1∪X3)·X2∪X4·(C∪X6)

＝X1·X2∪X1·X3·X2∪X4·(X4·X5∪X6) ＝X1·X2∪X1·X2·X3∪X4·X4·X5∪X4·X6 ＝X1·X2∪X1·X2·X3∪X4·X5∪X4·X6 ＝X1·X2∪X4·X5∪X4·X6

这样，得到的三个最小割集{ X1，X2}、{X4，X5}、{X4，X6}完全与上例用行列法得到的结果一致。说明这种方法是正确的。

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布尔代数化简法

这种方法的理论依据是：上述结构法完全和布尔代数化简事故树法相似，所不同的只是“∪”与“+”的问题。实质上，布尔代数化简法中的“+”和结构式中的“∪”是一致的。这样，用布尔代数化简法，最后求出的若干事件逻辑积的逻辑和，其中，每个逻辑积就是最小割集。现在还以图4－25为例，进行化简。

T＝A1＋A2＝X1·B1·X2＋X4·B2

＝X1·(X1＋X3)·X2＋X4·(C＋X6)

＝X1·X1·X2＋X1·X3·X2＋X4·(X4·X5＋X6) ＝X1·X2＋X1·X2·X3＋X4·X4·X5＋X4·X6 ＝X1·X2＋X1·X2·X3＋X4·X5＋X4·X6 ＝X1·X2＋X4·X5＋X4·X6

所得的三个最小割集{ X1，X2}、{X4，X5}、{X4，X6}与第一、第二种算法的结果相同。

总的来说，三种求法都可应用，而以第三种算法最为简单，较为普遍采用

最小径集求法

求最小径集是利用它与最小割集的对偶性，首先作出与事故树对偶的成功树，就是把原来事故树的“与门”换成“或门”，“或门”换“与门”，各类事件发生换成不发生。然后，利用上节所述方法，求出成功树的最小割集经对偶变换后就是事故树的最小径集。图4-27给出了两种常用的转换方法。

与事故树对偶的成功树的转换关系图

为什么要这样转换呢？因为，对于“与门”连接输入事件和输出事件的情况，只要有一个事件不发生，输出事件就可以不发生，所以，在成功树中换用“或门”连接输入事件和输出事件；而对于“或门”连接的输入事件和输出事件的情况，则必须所有输入事件均不发生，输出事件才不发生，所以，在成功树中换用“与门”连接输入事件和输出事件。例如图4-27所示，其中：T’、X1’、X2’表示事件T，X1，X2不发生。

例如，与图4-25事故树对偶的成功树，如图4-28所示。

事故树对偶的成功树图

用T’、A1’、A2’、B1’、B2’、C’、X1’、X2’、X3’、X4’、X5’、X6’分别表示各事件T、A1、A2、B1、B2、C、X1、X2、X3、X4、X5、X6不发生。

用求最小割集的第三种方法，即用布尔代数化简法，求最小径集： T’＝A1’· A2’

＝(X1’＋B1’＋X2’)·(X4’＋B2’)

＝ (X1’＋X1’· X3’＋X2’)·(X4’＋C’·X6’) ＝(X1’＋X2’)·[X4’＋( X4’＋X5’)·X6’］

＝(X1’＋X2’)·(X4’＋X4’· X6’＋X5’· X6’) ＝(X1’＋X2’)·(X4’＋X5’· X6’)

＝X1’· X4’＋X1’· X5’· X6’＋X2’· X4’＋

X2’· X5’· X6’

这样，就得到成功树的四个最小割集，经对偶变换就是事故树的四个最小径集，即

T＝(X1＋X4) ·( X1＋X5＋X6) ·( X2＋X4) ·( X2＋X5＋X6)

每一个逻辑和就是一个最小径集，则得到事故树的四个最小径集为 {X1,X4}，{X2,X4}，{ X1,X5,X6}，{X2,X5,X6}

同样，也可以用最小径集表示事故树，如图4—29所示。其中P1,P2,P3,P4分别表示四个最小径集。

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