一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若等腰三角形的周长为10𝑐𝑚，其中一边长为2𝑐𝑚，则该等腰三角形的腰长为( )A. 2𝑐𝑚
B. 4𝑐𝑚
C. 6𝑐𝑚
D. 8𝑐𝑚
2. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如果代数式A. 𝑥≠2C. 𝑥≠−1
𝑥+1有意义，那么𝑥的取值范围是( )𝑥−2B. 𝑥≥−1
D. 𝑥≥−1，且𝑥≠2
𝑎124. 若𝑥=4是分式方程𝑥=𝑥−3+𝑥的根，则𝑎的值为( )
A. 6B. −6
𝑚C. 4D. −4
35. 关于𝑥的分式方程𝑥−2−2−𝑥=1有增根，则𝑚的值( )
A. 𝑚=2B. 𝑚=1C. 𝑚=3D. 𝑚=−3
6. 已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是( )A.
B.
C.
D.
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90°，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=4，点𝐷在𝐵𝐶上，以𝐴7. 如图，
𝐶为对角线的▱𝐴𝐷𝐶𝐸中，𝐷𝐸最小的值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8. 如果关于𝑥的不等式(𝑎+2012)𝑥>𝑎+2012的解集为𝑥<1.那么𝑎的取值范围是( )A. 𝑎>−2012
B. 𝑎<−2012
C. 𝑎>2012
D. 𝑎<2012
3𝑥−𝑎19. 已知关于𝑥的方式方程𝑥−3=3的解是非负数，那么𝑎的取值范围是( )
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A. 𝑎>1B. 𝑎≥1且𝑎≠3C. 𝑎≥1且𝑎≠9D. 𝑎≤1
10. 如图，𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐴𝐵=𝐴𝐷+2𝐵𝐸，下列结论正确的有个( )
①𝐴𝐸=(𝐴𝐵+𝐴𝐷)；②∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐷𝐶𝐵=180°；③𝐶𝐷=𝐶𝐵；④𝑆△𝐴𝐶𝐸−𝑆△𝐵𝐶𝐸=𝑆△𝐴𝐷𝐶；⑤𝐴𝐷=𝐴𝐸．
12A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 因式分解：𝑎𝑚2−9𝑎=______．
12. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，∠𝐵=20°，𝑃𝑄垂直平分𝐴𝐵，垂足为𝑄，交𝐵𝐶于点𝑃.
按以下步骤作图：①以点𝐴为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边𝐴𝐶，𝐴𝐵于点𝐷，𝐸；②分别以点𝐷，𝐸为圆心，以大于𝐷𝐸的长为半径作弧，两弧相交于点𝐹；③作射线𝐴𝐹.若𝐴𝐹与𝑃𝑄的夹角为𝛼，则𝛼=______°.
12<𝑥−13有且只有三个整数解，则𝑚的取值范围是______．13. 若关于𝑥的不等式组2𝑥−𝑚≤
2−𝑥
𝑥+214. 若数𝑎使关于𝑥的分式方程𝑥−1+1−𝑥=3的解为非负数，且使关于𝑦的不等式组
𝑎{𝑥−24{𝑦−3𝑦+1−≥432(𝑦−𝑎)<0
−1312的解集为𝑦≤0，则符合条件的所有整数𝑎的积为______．
平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐺平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐷于𝐺，𝐴𝐹⊥𝐶𝐷15. 如图，
于𝐹，𝐴𝐹交𝐵𝐺于𝐸，𝐴𝐵=𝐴𝐹=12，𝐺𝐷=1，则𝐸𝐶=______．
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三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
2𝑥116. (1)解方程：𝑥+3=𝑥+3+1；
4𝑥+2>𝑥−7,
(2)解不等式组：3(𝑥−2)<4+𝑥.
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
{17. (本小题8.0分)
因式分解：8𝑎3−6𝑎2−2𝑎．
18. (本小题8.0分)
先化简：(1+
𝑎1)÷，请在−1，0，1，2，3当中选一个合适的数𝑎代入求值．𝑎−1𝑎2−119. (本小题8.0分)
某公司购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如表：产品资源矿石(吨)煤(吨)
甲
104
乙
48
生产1吨甲产品所需成本费用为4000元，每吨售价4600元；生产1吨乙产品所需成本费用为4500元，每吨售价5500元，
现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品𝑥吨，乙产品𝑚吨，公司获得的总利润为𝑦元．(1)写出𝑚与𝑥之间的关系式；
(2)写出𝑦与𝑥之间的函数表达式，并写出自变量的范围；
(3)若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多少？
20. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐸，𝐶𝐹分别平分∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐷𝐶𝐵，交对角线𝐵𝐷于点𝐸，𝐹．
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(1)若∠𝐵𝐶𝐹=60°，求∠𝐴𝐵𝐶的度数；(2)求证：𝐵𝐸=𝐷𝐹．
21. (本小题8.0分)
甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买𝐴、𝐵两种防疫物资，𝐴种防疫物资每箱15000元，𝐵种防疫物资每箱12000元．若购买𝐵种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来(注：𝐴、𝐵两种防疫物资均需购买，并按整箱配送)．
22. (本小题8.0分)
如图，▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴=45°，∠𝐴𝐵𝐷=90°，点𝐹为平行四边形外一点，连接𝐶𝐹、𝐵𝐹，且𝐵𝐹⊥𝐶𝐹于点𝐹．
(1)如图1，若𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=
169，𝐶𝐹=5，求𝐵𝐹的长度；2(2)如图2，延长𝐵𝐹、𝐷𝐶交于点𝐸，过点𝐷作𝐷𝐺⊥𝐷𝐹交𝐹𝐶的延长线于点𝐺，若𝐶为𝐷𝐸的中点，求证：𝐶𝐺=𝐶𝐹+𝐸𝐹．
23. (本小题8.0分)
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐷为△𝐴𝐵𝐶外一点，连接𝐵𝐷，连接𝐴𝐷交𝐵𝐶于点𝐺，且满足𝐵𝐷⊥𝐴𝐵．
(1)如图1，若𝐵𝐺=2，𝐴𝐵=3 2，求𝐴𝐺的长．
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(2)如图2，点𝐹为线段𝐵𝐶上一点，连接𝐴𝐹、𝐷𝐹，过点𝐶作𝐶𝐸//𝐴𝐵交𝐷𝐹的延长线于点𝐸，若𝐴𝐹⊥𝐷𝐸，𝐷𝐹=𝐸𝐹.求证：𝐴𝐵= 2𝐶𝐹+𝐵𝐷；
(3)如图3，点𝐻为线段𝐴𝐶上一点，𝐴𝐻=2，点𝐾是直线𝐴𝐶上的一个动点，连接𝐺𝐾.将线段𝐺𝐾绕点𝐺顺时针旋转90°得到线段𝐺𝐾′，点𝑃是线段𝐴𝐷上的一个动点连接𝐻𝑃、𝑃𝐾′，若𝐵𝐺=2 3−2，∠𝐴𝐺𝐶=4∠𝐵𝐴𝐺，请直接写出𝐻𝑃+𝑃𝐾′的最小值．
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答案和解析
1.【答案】𝐵
【解析】解：分情况考虑：当2𝑐𝑚是腰时，则底边长是10−2×2=6𝑐𝑚，此时2𝑐𝑚，2𝑐𝑚，6𝑐𝑚不能组成三角形，应舍去；
当2𝑐𝑚是底边时，腰长是(10−2)×=4𝑐𝑚，2𝑐𝑚，4𝑐𝑚，4𝑐𝑚能够组成三角形．此时腰长是4𝑐𝑚．故选：𝐵．
根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长2𝑐𝑚为腰或者2𝑐𝑚底边时．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
122.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：𝐷．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
3.【答案】𝐷
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【解析】解：由题意得，𝑥+1≥0且𝑥−2≠0，解得𝑥≥−1且𝑥≠2，故选：𝐷．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
4.【答案】𝐴
【解析】解：∵𝑥=4是分式方程𝑥=∴4=
𝑎𝑎12+，4−3432𝑎12+的根，𝑥−3𝑥即4=，∴𝑎=6，故选：𝐴．
将𝑥=4代入分式方程𝑥=
𝑎12+即可求𝑎的值．𝑥−3𝑥本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键．
5.【答案】𝐷
【解析】【分析】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出𝑚的值即可．【解答】
解：去分母得：𝑚+3=𝑥−2，
由分式方程有增根，得到𝑥−2=0，即𝑥=2，把𝑥=2代入整式方程得：𝑚+3=0，解得：𝑚=−3，故选：𝐷．
6.【答案】𝐶
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【解析】解：A正确；∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1=∠2；B、D正确；
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∴∠𝐵=∠𝐷，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴∠1=∠2；𝐶不正确；故选：𝐶．
由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出𝐵、D正确．
本题考查了平行四边形的性质、对顶角的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质时解决问题的关键．
7.【答案】𝐵
【解析】解：∵在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90°，∴𝐵𝐶⊥𝐴𝐵．
∵四边形𝐴𝐷𝐶𝐸是平行四边形，∴𝑂𝐷=𝑂𝐸，𝑂𝐴=𝑂𝐶．
∴当𝑂𝐷取最小值时，𝐷𝐸线段最短，此时𝑂𝐷⊥𝐵𝐶．∴𝑂𝐷//𝐴𝐵．又点𝑂是𝐴𝐶的中点，∴𝑂𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中位线，∴𝑂𝐷=𝐴𝐵=1.5，∴𝐸𝐷=2𝑂𝐷=3．故选：𝐵．
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当𝑂𝐷⊥𝐵𝐶时，𝐷𝐸线段取最小值．
本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
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8.【答案】𝐵
【解析】解：∵关于𝑥的不等式(𝑎+2012)𝑥>𝑎+2012的解集为𝑥<1，∴𝑎+2012<0，即𝑎<−2012，故选：𝐵．
根据不等式的解集得出𝑎+2012<0，求出不等式的解集即可．
本题考查了对解一元一次不等式的应用，注意：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等式的符号要改变，题型较好，是一道比较好的题目．
9.【答案】𝐶
【解析】解：3(3𝑥−𝑎)=𝑥−3，9𝑥−3𝑎=𝑥−3，
8𝑥=3𝑎−3
∴𝑥=
3𝑎−3，8由于该分式方程有解，令𝑥=
3𝑎−3代入𝑥−3≠0，8∴𝑎≠9，
∵该方程的解是非负数解，∴
3𝑎−3≥0，8∴𝑎≥1，
∴𝑎的范围为：𝑎≥1且𝑎≠9，故选：𝐶．
根据分式方程的解法即可求出𝑎的取值范围．
本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
10.【答案】𝐶
【解析】【分析】
本题考查了三角形综合题，需要掌握角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性
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质，四边形的内角和定理，邻补角定义等知识点的应用，正确作辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．①在𝐴𝐸取点𝐹，使𝐸𝐹=𝐵𝐸.利用已知条件𝐴𝐵=𝐴𝐷+2𝐵𝐸，可得𝐴𝐷=𝐴𝐹，进而证出2𝐴𝐸=𝐴𝐵+𝐴𝐷；
②在𝐴𝐵上取点𝐹，使𝐵𝐸=𝐸𝐹，连接𝐶𝐹.先由𝑆𝐴𝑆证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐹，得出∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐹𝐶；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠𝐶𝐹𝐵=∠𝐵；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐷𝐶𝐵=180°；
③根据全等三角形的对应边相等得出𝐶𝐷=𝐶𝐹，根据线段垂直平分线的性质性质得出𝐶𝐹=𝐶𝐵，从而𝐶𝐷=𝐶𝐵；
④由于△𝐶𝐸𝐹≌△𝐶𝐸𝐵，△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐹，根据全等三角形的面积相等易证𝑆△𝐴𝐶𝐸−2𝑆△𝐵𝐶𝐸=𝑆△𝐴𝐷𝐶．
⑤结合①的解题过程进行判断即可．【解答】
解：①在𝐴𝐸取点𝐹，使𝐸𝐹=𝐵𝐸，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐷+2𝐵𝐸=𝐴𝐹+𝐸𝐹+𝐵𝐸，𝐸𝐹=𝐵𝐸，∴𝐴𝐵=𝐴𝐷+2𝐵𝐸=𝐴𝐹+2𝐵𝐸，∴𝐴𝐷=𝐴𝐹，
∴𝐴𝐵+𝐴𝐷=𝐴𝐹+𝐸𝐹+𝐵𝐸+𝐴𝐷=2𝐴𝐹+2𝐸𝐹=2(𝐴𝐹+𝐸𝐹)=2𝐴𝐸，∴𝐴𝐸=(𝐴𝐵+𝐴𝐷)，故①正确；
12②在𝐴𝐵上取点𝐹，使𝐵𝐸=𝐸𝐹，连接𝐶𝐹．
在△𝐴𝐶𝐷与△𝐴𝐶𝐹中，∵𝐴𝐷=𝐴𝐹，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐹𝐴𝐶，𝐴𝐶=𝐴𝐶，∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐹，∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐹𝐶．∵𝐶𝐸垂直平分𝐵𝐹，∴𝐶𝐹=𝐶𝐵，
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∴∠𝐶𝐹𝐵=∠𝐵．
又∵∠𝐴𝐹𝐶+∠𝐶𝐹𝐵=180°，∴∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐵=180°，
∴∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐷𝐶𝐵=360°−(∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐵)=180°，故②正确；
③由②知，△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐹，∴𝐶𝐷=𝐶𝐹，又∵𝐶𝐹=𝐶𝐵，
∴𝐶𝐷=𝐶𝐵，故③正确；
④易证△𝐶𝐸𝐹≌△𝐶𝐸𝐵，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸−𝑆△𝐵𝐶𝐸=𝑆△𝐴𝐶𝐸−𝑆△𝐹𝐶𝐸=𝑆△𝐴𝐶𝐹，又∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐹，∴𝑆△𝐴𝐶𝐹=𝑆△𝐴𝐷𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸−2𝑆△𝐵𝐶𝐸=𝑆△𝐴𝐷𝐶，故④正确．
⑤由①知，𝐴𝐷=𝐴𝐹，且𝐴𝐹<𝐴𝐸，所以𝐴𝐷<𝐴𝐸，故⑤错误．故选C．
11.【答案】𝑎(𝑚+3)(𝑚−3)
【解析】解：𝑎𝑚2−9𝑎 =𝑎(𝑚2−9) =𝑎(𝑚+3)(𝑚−3)，故答案为：𝑎(𝑚+3)(𝑚−3)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】55
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【解析】解：如图，
∵△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐶=90°，∴∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=90°，∵∠𝐵=20°，
∴∠𝐵𝐴𝐶=90°−∠𝐵=90°−20°=70°，由作图可知，𝐴𝑀是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，∴∠2=∠𝐵𝐴𝐶=×70°=35°，∵𝑃𝑄是𝐴𝐵的垂直平分线，∴△𝐴𝑀𝑄是直角三角形，∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=90°−∠2=90°−35°=55°，∵∠𝛼与∠1是对顶角，∴∠𝛼=∠1=55°．故答案为：55°．
根据直角三角形两锐角互余得∠𝐵𝐴𝐶=70°，由角平分线的定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△𝐴𝑄𝑀是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出𝛼．
此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
121213.【答案】1≤𝑚<4
【解析】解：解不等式
𝑥−2𝑥−1<，得：𝑥>−2，
34𝑚+2，3解不等式2𝑥−𝑚≤2−𝑥，得：𝑥≤
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则不等式组的解集为−2<𝑥≤
𝑚+2，3因为不等式组有且只有三个整数解，则解为−1，0，1，所以1≤
𝑚+2<2，3解得1≤𝑚<4，故答案为：1≤𝑚<4．
解不等式组得出其解集为−2<𝑥≤解之可得答案．
此题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．
𝑚+2𝑚+2<2，，根据不等式组有且只有三个整数解得出1≤
3314.【答案】40
【解析】【分析】
本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出𝑎的取值范围．解分式方程的得出𝑥=
5−𝑎5−𝑎5−𝑎≥0，且≠1，据此求出𝑎≤5且𝑎≠3；，根据解为非负数得出
222解不等式组两个不等式得出𝑦≤0且𝑦<𝑎，根据解集为𝑦≤0得出𝑎>0；综合以上两点得出整数𝑎的值，从而得出答案．【解答】
解：去分母，得：𝑥+2−𝑎=3(𝑥−1)，解得：𝑥=
5−𝑎，2∵分式方程的解为非负数，∴
5−𝑎5−𝑎≥0，且≠1，22解得𝑎≤5且𝑎≠3，解不等式
𝑦−3𝑦+113−≥−，得：𝑦≤0，
3124解不等式2(𝑦−𝑎)<0，得：𝑦<𝑎，∵不等式组的解集为𝑦≤0，
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∴𝑎>0，
∴0<𝑎≤5且𝑎≠3，则整数𝑎的值为1、2、4、5，
∴符合条件的所有整数𝑎的积为1×2×4×5=40，故答案为：40．
15.【答案】 65 【解析】解：在𝐴𝐷上截取𝐴𝐾=𝐴𝐸，连接𝐾𝐹，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∴∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐴𝐺𝐵，∵∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐶𝐵𝐺，∴∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐴𝐺𝐵，∴𝐴𝐺=𝐴𝐵=𝐴𝐹=12，∴𝐴𝐷=𝐴𝐺+𝐺𝐷=13，∵𝐴𝐹⊥𝐶𝐷于𝐹，∴𝐷𝐹= 𝐴𝐷2−𝐴𝐹2=5，设∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝐵𝐺=2𝛼，
∴∠𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=2𝛼，∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐴𝐺𝐵=𝛼在△𝐴𝐾𝐹和△𝐴𝐸𝐺中
{𝐴∠𝐾𝐴𝐾=𝐴𝐸
𝐺𝐴=𝐹𝐴=𝐹
∠𝐸𝐴𝐺∴△𝐴𝐾𝐹≌△𝐴𝐸𝐺(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐴𝐹𝐾=∠𝐴𝐺𝐸=𝛼，∴∠𝐾𝐹𝐷=90°−𝛼，
∴∠𝐷𝐾𝐹=180°−∠𝐾𝐹𝐷−∠𝐷=180°−(90°−𝛼)−2𝛼=90°−𝛼，∴∠𝐷𝐾𝐹=∠𝐾𝐹𝐷，∴𝐷𝐾=𝐷𝐹=5，∴𝐴𝐾=13−5=8，∴𝐴𝐸=𝐴𝐾=8，
∴𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐴𝐺=𝐴𝐹=12，∴𝐸𝐹=12−8=4，𝐹𝐶=12−5=7，
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在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐶中，𝐸𝐶= 𝐸𝐹2+𝐹𝐶2= 42+72= 65．在𝐴𝐷上截取𝐴𝐾=𝐴𝐸，连接𝐾𝐹，由平行四边形的性质和角平分线的性质证得∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐴𝐺𝐵，证得𝐴𝐺=𝐴𝐵=𝐴𝐹=12，进一步证得𝐴𝐷=13，利用勾股定理求得𝐷𝐹=5，设∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝐵𝐺=2𝛼，然后通过证得△𝐴𝐾𝐹≌△𝐴𝐸𝐺(𝑆𝐴𝑆)，得出∠𝐴𝐹𝐾=∠𝐴𝐺𝐸=𝛼，通过三角形内角和定理证得∠𝐷𝐾𝐹=90°−𝛼，即可证得∠𝐷𝐾𝐹=∠𝐾𝐹𝐷，从而求得𝐸𝐹=4，𝐹𝐶=7，最后利用勾股定理即可求得𝐸𝐶．
本题考查了平行四边形的性质，求得三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)𝑥+3=𝑥+3+1，
2𝑥=1+𝑥+3，2𝑥−𝑥=1+3，𝑥=4，
经检验，𝑥=4是原方程的解，∴此方程的解是𝑥=4；4𝑥+2>𝑥−7①(2)3(𝑥−2)<4+𝑥②，①4𝑥−𝑥>−2−7，3𝑥>−9，𝑥>−3；
②3𝑥−6<4+𝑥，3𝑥−𝑥<4+6，2𝑥<10，𝑥<5，
∴不等式组的解集是−3<𝑥<5．
【解析】本题主要考查了解分式方程以及解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的步骤以及不等式组的解法是解答本题的关键．
(1)解分式方程的步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，再检验即可；(2)先求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
2𝑥1{第15页，共23页
17.【答案】解：8𝑎3−6𝑎2−2𝑎
=2𝑎(4𝑎2−3𝑎−1) =2𝑎(𝑎−1)(4𝑎+1)．
故答案为：2𝑎(𝑎−1)(4𝑎+1)．
【解析】先提出公因式，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求解．
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
−1+1⋅18.【答案】解：原式=𝑎𝑎2−12𝑎−1𝑎𝑎−1𝑎2=⋅(𝑎+1)(𝑎−1)𝑎=𝑎+1，
当𝑎=−1，0，1时，分式无意义，故当𝑎=2时，原式=．
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．
23𝑎19.【答案】解：(1)𝑚与𝑥之间的关系式为：𝑚=
(2)生产1吨甲产品获利：4600−4000=600生产1吨乙产品获利：5500−4500=1000𝑦与𝑥的函数表达式为：𝑦=600𝑥+30．
(3)根据题意列出不等式：4𝑥+8× 解得：𝑥≥25 又∵0≤𝑥≤30
300−10𝑥=75−2.5𝑥．4300−10𝑥×1000=−1900𝑥+75000，自变量取值范围0≤𝑥≤4300−10𝑥≤2004∴25≤𝑥≤30
∵𝑦与𝑥的函数表达式为：𝑦=−1900𝑥+75000
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𝑦随𝑥的增大而减小，
∴当生产甲产品25吨时，公司获得的总利润最大𝑦最大=−1900×25+75000=27500(元)
【解析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
(1)因为生产甲产品𝑥吨，则用矿石原料10𝑥吨．所以生产乙产品用矿石原料为 (300−10𝑥)吨，由于每吨乙产品需要4吨矿石，所以𝑚=然后可求出获得的总利润．
(3)因为总利润𝑦是𝑥的一次函数，先求出𝑥的取值范围，再根据一次函数的增减性，求得最大利润．
300−10𝑥；(2)先求出生产1吨甲、乙两种产品各获利多少，420.【答案】解：(1)∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐵𝐶𝐷=180°，∵𝐶𝐹平分∠𝐷𝐶𝐵，∴∠𝐵𝐶𝐷=2∠𝐵𝐶𝐹，∵∠𝐵𝐶𝐹=60°，∴∠𝐵𝐶𝐷=120°，
∴∠𝐴𝐵𝐶=180°−120°=60°；(2)∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐷𝐹，∵𝐴𝐸，𝐶𝐹分别平分∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐷𝐶𝐵，∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐵𝐶𝐷，∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐹，在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐹中，
1212{∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐵𝐸=𝐷𝐹．
∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐷𝐹𝐴𝐵=𝐶𝐷,∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐹
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【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
(1)根据平行四边形的性质得到𝐴𝐵//𝐶𝐷，根据平行线的性质得到∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐵𝐶𝐷=180°，根据角平分线的定义得到∠𝐵𝐶𝐷=2∠𝐵𝐶𝐹，于是得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐷𝐹，根据角平分线的定义得到∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐹，根据全等三角形的性质即可得到结论．
21.【答案】解：(1)设甲公司有𝑥人，则乙公司有(𝑥+30)人，
依题意，得：
1000007140000×=，𝑥+306𝑥解得：𝑥=150，
经检验，𝑥=150是原方程的解，且符合题意，∴𝑥+30=180，
答：甲公司有150人，乙公司有180人；
(2)设购买𝐴种防疫物资𝑚箱，购买𝐵种防疫物资𝑛箱，依题意，得：15000𝑚+12000𝑛=100000+140000，
∴𝑚=16−
又∵𝑛≥10，且𝑚，𝑛均为正整数，𝑚=8𝑚=4
∴𝑛=10，𝑛=15，
∴有2种购买方案，方案1：购买8箱𝐴种防疫物资，10箱𝐵种防疫物资；方案2：购买4箱𝐴种防疫物资，15箱𝐵种防疫物资．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
(1)设甲公司有𝑥人，则乙公司有(𝑥+30)人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于𝑥的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购买𝐴种防疫物资𝑚箱，购买𝐵种防疫物资𝑛箱，根据总价=单价×数量，即可得出关于𝑚，𝑛的二元一次方程，再结合𝑛≥10且𝑚，𝑛均为正整数，即可得出各购买方案．
764𝑛.5{{第18页，共23页
22.【答案】解：(1)如图1，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形
∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐷=90°
∵𝐵𝐷=𝐷𝐵
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐷𝐵
∵∠𝐴=45°
∴△𝐴𝐵𝐷、△𝐵𝐶𝐷是等腰直角三角形∴𝐵𝐷=𝐴𝐵，𝐴𝐷= 2𝐴𝐵∵𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=∴𝐴𝐵⋅𝐵𝐷=
169，2169，213 2∴𝐴𝐵=𝐵𝐷=
2∴𝐵𝐶=𝐴𝐷=13∵𝐵𝐹⊥𝐶𝐹∴∠𝐵𝐹𝐶=90°
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐶2−𝐶𝐹2= 132−52=12；
(2)如图2，在线段𝐶𝐺上截取𝐶𝑀=𝐶𝐹，连接𝐷𝑀，∵𝐶为𝐷𝐸的中点，
∴𝐶𝐷=𝐶𝐸
在△𝐶𝐷𝑀和△𝐶𝐸𝐹中
{𝐶𝐷=𝐶𝐸
∠𝐷𝐶𝑀=∠𝐸𝐶𝐹𝐶𝑀=𝐶𝐹
∴△𝐶𝐷𝑀≌△𝐶𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆)
∴𝐷𝑀=𝐸𝐹，∠𝐷𝑀𝐶=∠𝐸𝐹𝐶=90°
∴∠𝐷𝑀𝐺=90°∵𝐷𝐺⊥𝐷𝐹
∴∠𝐹𝐷𝐺=90°=∠𝐵𝐷𝐶
∴∠𝐺𝐷𝐶+∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐵𝐷𝐹+∠𝐸𝐷𝐹
∴∠𝐺𝐷𝐶=∠𝐵𝐷𝐹
由(1)知：△𝐵𝐶𝐷是等腰直角三角形
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∴𝐵𝐷=𝐶𝐷，∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=45°
∵∠𝐵𝐷𝐶+∠𝐵𝐹𝐶=90°+90°=180°
∴∠𝐷𝐵𝐹+∠𝐷𝐶𝐹=180°∵∠𝐷𝐶𝐺+∠𝐷𝐶𝐹=180°
∴∠𝐷𝐶𝐺=∠𝐷𝐵𝐹
∴△𝐷𝐶𝐺≌△𝐷𝐵𝐹(𝐴𝑆𝐴)
∴𝐷𝐺=𝐷𝐹
∴△𝐷𝐹𝐺是等腰直角三角形
∴∠𝐺=45°∴∠𝐺𝐷𝑀=∠𝐺=45°
∴𝑀𝐺=𝐷𝑀∴𝑀𝐺=𝐸𝐹
∴𝐶𝐺=𝐶𝑀+𝑀𝐺=𝐶𝐹+𝐸𝐹．
【解析】(1)根据平行四边形性质易证△𝐴𝐵𝐷、△𝐵𝐶𝐷是等腰直角三角形，利用平行四边形面积
13 2可求得𝐴𝐵=𝐵𝐷=，再运用勾股定理即可求得𝐵𝐹；
2(2)在线段𝐶𝐺上截取𝐶𝑀=𝐶𝐹，连接𝐷𝑀，构造△𝐶𝐷𝑀≌△𝐶𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆)，再证明△𝐷𝐶𝐺≌△𝐷𝐵𝐹(𝐴𝑆𝐴)，可得𝐷𝐺=𝐷𝐹，进而可得∠𝐺𝐷𝑀=∠𝐺=45°，𝑀𝐺=𝐷𝑀=𝐸𝐹，结论可证．
本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，平行四边形面积，四边形内角和等，添加辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形判定和性质是解题关键．
23.【答案】(1)解：如图1中，过点𝐴作𝐴𝑇⊥𝐵𝐶于点𝑇．
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=3 2，∠𝐵𝐴𝐶=90°，
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∴𝐵𝐶= 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2= 2𝐴𝐵=6，∵𝐴𝑇⊥𝐶𝐵，∴𝐵𝑇=𝐶𝑇=3，∴𝐴𝑇=𝐵𝐶=3，∵𝐵𝐺=2，
∴𝑇𝐺=𝐵𝑇−𝐵𝐺=3−2=1，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝑇2+𝑇𝐺2= 32+12= 10；12(2)证明：如图2中，过点𝐷作𝐷𝐾//𝐶𝐸交𝐵𝐶于点𝐾．
∴∠𝐹𝐾𝐷=∠𝐸𝐶𝐹，
∵𝐷𝐹=𝐸𝐹，∠𝐷𝐹𝐾=∠𝐸𝐹𝐶，∴△𝐷𝐾𝐹≌△𝐸𝐶𝐹(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐶𝐹=𝐹𝐾，𝐸𝐶=𝐷𝐾，∵𝐴𝐵//𝐸𝐶，𝐸𝐶//𝐷𝐾，∴𝐴𝐵//𝐷𝐾，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐾𝐵=45°，∵𝐷𝐵⊥𝐴𝐵，∴∠𝐴𝐵𝐷=90°，∴∠𝐷𝐵𝐾=∠𝐷𝐾𝐵=45°，∴∠𝐵𝐷𝐾=90°，𝐷𝐵=𝐷𝐾，∴𝐵𝐾= 2𝐷𝐾= 2𝐸𝐶，∵𝐵𝐶=𝐵𝐾+𝐶𝐾，∴ 2𝐴𝐵= 2𝐸𝐶+2𝐶𝐹，
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∴𝐴𝐵= 2𝐶𝐹+𝐸𝐶；
(3)解：如图3中，作射线𝐶𝐾′，过点𝐾作𝐾𝑀⊥𝐵𝐶于点𝑀，过点𝐾′作𝐾′𝑁⊥𝐵𝐶于点𝑁，作点𝐻关于𝐴𝐷的对称点𝐻′，作射线𝐴𝐻′，过点𝐻′作𝐻′𝑅⊥𝐶𝐾′于点𝑅，交𝐴𝐵于点𝐽，连接𝑃𝐻′，过点𝐴作𝐴𝑂⊥𝐶𝐵于点𝑂．
∵∠𝐾′𝑁𝐺=∠𝐺𝑀𝐾=∠𝐾𝐺𝐾′=90°，
∴∠𝐾𝐺𝑀+∠𝐾′𝐺𝑁=90°，∠𝐾𝐺𝑀+∠𝐺𝐾𝑀=90°，∴∠𝐾′𝐺𝑁=∠𝐺𝐾𝑀，∵𝐺𝐾′=𝐺𝐾，
∴△𝐾′𝑁𝐺≌△𝐺𝑀𝐾(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐺𝑀=𝐾′𝑁，𝐺𝑁=𝐾𝑀，∵∠𝑀𝐶𝐾=∠𝑀𝐾𝐶=45°，∴𝐶𝑀=𝑀𝐾=𝐺𝑁，∴𝐺𝑀=𝐶𝑁=𝐾′𝑁，∴∠𝐾′𝐶𝑁=45°，∴点𝐾′在射线𝐶𝐾′上运动，
∵∠𝐴𝐺𝐶=4∠𝐵𝐴𝐺=∠𝐴𝐵𝐺+∠𝐵𝐴𝐺，∴∠𝐴𝐵𝐺=3∠𝐵𝐴𝐺，∴∠𝐵𝐴𝐺=15°，
∴∠𝐶𝐴𝐺=∠𝐺𝐴𝐻′=75°，∴∠𝐵𝐴𝐻′=60°，∵∠𝐴𝐺𝑂=60°，∴∠𝐺𝐴𝑂=30°，
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∴𝐴𝐺=2𝑂𝐴，∴𝑂𝐴=𝑂𝐵= 3𝑂𝐺，∴𝐵𝐺=𝑂𝐵−𝑂𝐺=𝑂𝐵−∴𝑂𝐵=2 3，∴𝑂𝐴=𝑂𝐶=2 3，𝐴𝐶=2 6，∵𝐻′𝑅⊥𝐶𝐾′，
∴∠𝐽𝑅𝐶=∠𝑅𝐶𝐴=∠𝐶𝐴𝐽=90°，∴四边形𝐽𝑅𝐶𝐴是矩形，∴𝐽𝑅=𝐶𝐴=6，
∵𝐴𝐻=𝐴𝐻′=2，∠𝐴𝐽𝑅=∠𝐴𝐽𝐻′=90°，∴∠𝐴𝐻′𝐽=30°，∴𝐴𝐽=𝐴𝐻′=1，∴𝐽𝐻′= 22−12= 3，∴𝐻′𝑅= 3+2 6，∵𝑃𝐻=𝑃𝐻′，
∴𝑃𝐻+𝐻𝐾′=𝐻′𝑃+𝑃𝐾′≥𝐻′𝑅= 3+2 6，∴𝑃𝐻+𝐻𝐾′的最小值为 3+2 6．
【解析】(1)如图1中，过点𝐴作𝐴𝑇⊥𝐵𝐶于点𝑇.求出𝐴𝑇，𝑇𝐺，利用勾股定理求解；
(2)如图2中，过点𝐷作𝐷𝐾//𝐶𝐸交𝐵𝐶于点𝐾.证明△𝐷𝐾𝐹≌△𝐸𝐶𝐹(𝐴𝐴𝑆)，推出𝐶𝐹=𝐹𝐾，𝐸𝐶=𝐷𝐾，再证明△𝐵𝐷𝐾是等腰直角三角形，可得结论；
(3)如图3中，作射线𝐶𝐾′，过点𝐾作𝐾𝑀⊥𝐵𝐶于点𝑀，过点𝐾′作𝐾′𝑁⊥𝐵𝐶于点𝑁，作点𝐻关于𝐴𝐷的对称点𝐻′，作射线𝐴𝐻′，过点𝐻′作𝐻′𝑅⊥𝐶𝐾′于点𝑅，交𝐴𝐵于点𝐽，连接𝑃𝐻′，过点𝐴作𝐴𝑂⊥𝐶𝐵于点𝑂.首先证明△𝐾′𝑁𝐺≌△𝐺𝑀𝐾(𝐴𝐴𝑆)，推出𝐺𝑀=𝐾′𝑁，推出∠𝐾′𝐶𝑁=45°，推出点𝐾′在射线𝐶𝐾′上运动，求出𝐻′𝑅，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
12 3𝑂𝐵=2 33−2，
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