第七章平面直角坐标系培优讲义

一、本章基本知识归类

1、已知M（1，-2），就本章所学知识，说出你能得出的结论. ①M在第 象限；

②M到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ；

③M点向上平移a个单位，得到点 ，再向下平移b个单位，得到点 。 引申

已知N（a，b）为平面内一点， ①试讨论N在平面内的位置；

②N到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ； ③当 时，N在第一、三象限的角平分线上； 当 时，N在第二、四象限的角平分线上。 2、已知M（1，-2），N（a，b）

①若MN∥x轴，则a，b应满足的条件为 ； ②若MN∥y轴，则a，b应满足的条件为 ； ③若MN⊥x轴，且MN=2，则N点坐标为 ；

④若M点向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点N，则a= ，b= .

二、重点题型研究

【例1】在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式训练】

1、在平面直角坐标系中，点(－1，m2＋1)一定在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限, D、第四象限. 3、点(x，x-1)不可能在 （ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4、如果点P(m，1－2m)在第四象限，那么m的取值范围是( )．

A. 0m B. m0 C.m0 D．m

3mx2y35、若关于x，y的方程组的解为坐标的点(x，y)在第二象限，则符合条

x3my9121212件的实数m的范围是( )．

A. m B. m2 C.2m D．m9

191912【例2】点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标是____________________． 【变式训练】

1、x轴上的点P到y轴的距离为,则点P的坐标为（ ） A．（,0) B ．,0) C．(0, D．,0)或,0)

2、已知点Pa2,2a8到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标.

3、如果点M(m＋3，2m＋4)在y轴上，那么点M的坐标是_________．

4、点P（m+3，m+1）在x轴上，则P点坐标为________．

【例3】已知线段AB平行于x轴，AB长为5.若点A的坐标为(4，5)，则点B的坐标为______________． 【变式训练】

1、已知点A(1,2),AC∥y轴, AC=5,则点C的坐标是 _____________.

2、如果点Aa,3，点B2,b且ABx2,mn,6y5、已知长方形ABCD中，AB=5，BC=8，

并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），则点C的坐标为__________________________.

6、在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（－1，－2）、C（2，－2）三点坐标，若以

A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是 .

①（－2，0） ②（0，－4） ③（4，0） ④（1，－4）

【例4】若点M在第一、三象限的角平分线上，且点M到x轴的距离为2，则点M的坐标是（ ）

A．（2，2） B．（-2，-2） C．（2，2）或（-2，-2） D．（2，-2）或（-2，2）

【变式训练】

1、在平面直角坐标系内，已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，则a＝ ，点的坐标为 。

2、当b=______时,点B(-3,|b-1|)在第二、四象限角平分线上.

三、规律探究

1、如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1,P2,P3, P2008的位置，则点P2008的横坐标为 ．

2、如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3 .

（1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是 ，B4的坐标是 .

（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是 ，Bn的坐标是 .

Pyy

AOP1x54321AA2BB1A3B2B3x01234567891011121314151617183、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按“→”方向排列，如(1，

0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)……根据这个规律第100个点的坐标为 .

4、一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，]，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 ．

5、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（ ）

A、（13，13） B、（﹣13，﹣13） C、（14，14） D、（﹣14，﹣14）

6、如图2，已知Al(1，0)、A2(1，1)、A3(－1，1)、A4(－1，－1)、A5(2，－1)、….则点A2017的坐标为________.

7、如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是 ．点P第2009次跳动至点P2009的坐标是 ．

8、在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点，设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，速度为1cm/s，且整点P作向上或向右运动（如图1所示.运动时间(s)与整点(个)的关系如下表:

整点P从原点出发可以得到整点P的坐可以得到整点P的的时间(s) 标 个数 1 (0,1)(1,0) 2 2 (0,2)(1,1),(2,0) 3 3 (0,3)(1,2)(2,1)(3,4 0) … … … 根据上表中的规律,回答下列问题:

(1)当整点P从点O出发4s时,可以得到的整点的个数为________个.

(2)当整点P从点O出发8s时,在直角坐标系中描出可以得到的所有整点,并顺次连结这些整点.

(3)当整点P从点O出发____s时,可以得到整点(16,4)的位置.

9、如果将点P绕顶点M旋转1800后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫作对称中心，此时，点M是线段PQ的中点，如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)，点P1，P2，P3，…中相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于

y点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…且这些对称中心依次循环，已知P1的坐标是(1，1) ．试写出点P2，P7，P100的坐标．

10、在平面直角坐标系中， 对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：

①f(a,b)(a,b)．如f(1,3)(1,3)； ②g(a,b)(b,a)．如g(1,3)(3,1)； ③h(a,b)(a,b)．如h(1,3)(1,3)．

按照以上变换由：f[g(2,3)]f(3,2)(3,2)，那么f[h(5,3)]等于( )．

A.(－5，－3) B. (5，3) C. (5，－3) D．(－5，

3)

四、面积问题与动点问题

1.如图，平面直角坐标系中A(－2，0)，B(2，－2)，线段AB交轴于点C． （1）求点C的坐标．

（2）若D(6，0)，动点P从D点开始在x轴上以每秒3个单位向左运动，同时，动点Q从C点开始在y轴上以每秒1个单位向下运动．问：经过多少秒钟，SAPCSAOQ y

AOCBx2．在平面直角坐标系中，已知点A（4,0），点B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在x轴上向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿直线y=3向右平移，又P,Q两点同时出发，设运动时间为t秒。 （1）当t为何值时，四边形OBQP的面积为8

（2）连接AQ,当△PQA是直角三角形时，求点Q的坐标。

3.长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4,0），C点的坐标为（0,6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O →A →B →C →O的路线运动（即沿着长方形运动一周） （1）求点B的坐标

（2）当点P运动了4秒时，描出此时点P的位置，求点P的坐标

（3）在运动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P运动的时间