自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：
第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。
第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。这类自然数叫质数（或素数）。例如，2，3，5，7，…
第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如，4，6，8，9，15，…
上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1，1既不是质数也不是合数。 例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？ 分析与解：先把前100个自然数写出来，得下表：
1既不是质数也不是合数。
2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去； 3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去； 类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去； 把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。
经过以上的筛选，划去的都是合数，余下26个数，除1外，剩下的25个都是质数。这样，我们便得到了100以内的质数表：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41， 43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。 这些质数同学们应当熟记！
细心的同学可能会注意到，以上只划到7的倍数，为什么不继续划去11，13，…的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如，100以内11的倍数应该是 11×A≤100（其中A为整数），
显然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因为4=2，6=2×3，8=23，9=3，所以A必是2，3，5，7之一的倍数。由此推知，11的倍数已全部包含在2，3，5，7的倍数中，已在前面划去了。
要判断一个数N是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小到大的自然数2，3，4，5，6，7，8，…，N-1去除N，其中只要有一个自然数能整除N，N就是合数，否则就是质数。但这样太麻烦，因为除数太多。能不能使试除的数少一点呢？由例1知，只要用从小到大的质数去除N就可以了。例2给出的判别方法，可以使试除的数进一步减少。 例2 判断269，437两个数是合数还是质数。
分析与解：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K，再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合数。
因为269＜17=289。17以内质数有2，3，5，7，11，13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。
因为437＜21=441。21以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判断437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19试除437，得到437÷19=23，所以437是合数。 对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例2的方法的优越性。判别269，用2～268中所有的数试除，要除267个数；用2～268中的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。
例3 判断数1111112111111是质数还是合数？
分析与解：按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。
根据整数的意义，这个13位数可以写成： 1111112111111
22
2
22
=1111111000000+1111111 =1111111×（1000000+1） =1111111×1000001。
由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合数。 这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。 例4 判定2+1和2+3是质数还是合数？
分析与解：这道题要判别的数很大，不能直接用例1、例2的方法。我们在四年级学过an的个位数的变化规律，以及an除以某自然数的余数的变化规律。2n的个位数随着n的从小到大，按照2，4，8，6每4个一组循环出现，98÷4=24……2，所以298的个位数是4，（298+1）的个位数是5，能被5整除，说明（298+1）是合数。
（2+3）是奇数，不能被2整除； 2不能被3整除，所以（2+3）也不能被3整除；（2+1）能被5整除，（2+3）比（2+1）大2，所以（2+3）不能被5整除。再判断（2+3）能否被7整除。首先看看2÷7的余数的变化规律：
n
98
98
98
98
98
98
98
98
98
98
因为98÷3的余数是2，从上表可知298除以7的余数是4，（298+3）除以7的余数是4+3=7，7能被7整除，即（2+3）能被7整除，所以（2+3）是合数。 例5 已知A是质数，（A+10）和（A+14）也是质数，求质数A。 分析与解：从最小的质数开始试算。
A=2时，A+10=12，12是合数不是质数，所以A≠2。
A=3时，A+10=13，是质数；A+14=17也是质数，所以A等于3是所求的质数。 A除了等于3外，还可以是别的质数吗？因为质数有无穷多个，所以不可能一一去试，必须采用其它方法。
A，（A+1），（A+2）除以3的余数各不相同，而（A+1）与（A+10）除以3的余数相同，（A+2）与（A+14）除以3的余数相同，所以A，（A+10），（A+14）除以3的余数各不相同。因为任何自然数除以3只有整除、余1、余2三种情况，所以在A，（A+10），（A+14）中必有一个能被3整除。能被3整除的质数只有3，因为（A+10），（A+14）都大于3，所以A=3。也就是说，本题唯一的解是A=3。 练习10
1.现有1，3，5，7四个数字。
98
98
（1）用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？ （2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？ 2.a，b，c都是质数，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。
3.A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数。试求出所有满足要求的质数A。
5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数。 6.判断266+388是不是质数。
7.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边，得到一个三位数，这个三位数是a的87倍，求a和b。
答案与提示：
练习10
1.（1）11，13，17，31，37，53，71，73； （2）137，173，317，157，571，751。 2.17，5，3。
提示：c小于9，否则a×b+c＞88。对c=2，3，5，7四种情况逐一试算。 3.5。
提示：与例5类似。A+6，A+8，A+12，A+14分别与A+1，A+3，A+2，A+4除以5的余数相同。因为自然数除以5只有整除、余1、余2、余3、余4五种情况，原来的四个数都是大于5的质数，不应被5整除，只能是余1、余2、余3、余4，所以A=5。 4.2，7，13。
5.在高斯求和公式“和=（首项+末项）×项数÷2”中，
因为“项数”＞2，所以“首项+末项”＞2。因为“和”是整数，所以“首项+末项”与“项数”中必有一个能被2整除，且商不等于1。这就把“和”分解成了两个大于1的整数的乘积，说明“和”是合数。 6.不是。
提示：266的个位数是4，388的个位数是1，（266+388）的个位数是5，能被5整除。
7.5和43。
解：由题意有，10b+a=87a， 10b=86a， 5b=43a。
因为5与43都是质数，所以a=5，b=43。
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