梁钢架拱

在建筑工程中，静定结构得到广泛的应用。此外，静定结构的分析又是超静定结构分析的基础。因此，要求读者熟练地掌握静定结构的分析方法，了解各种静定结构的力学性能。

本章所讨论的静定梁、静定乎面刚架和三铰拱以及第四章讨论的静定平面桁架是几种典型的静定结构。

§3-1 静定梁的内力计算

一、单跨静定梁

单跨静定梁是建筑工程中常见的一种结构，其内力分析已在材料力学课程中详细论述。但是，由于它的分析也是各种结构内力分析的基础。因此，在这里作一简要的复习。 1．单跨静定梁的型式

单跨静定梁有三种型式：(a)简支梁，(b)悬臂梁，(c)伸臂梁，分别如图3-1，a、b、c所示。

2．梁内任一截面上的内力

如图3-2,a所示的梁，其任一截面上一般有三个内力分量，即轴力N，剪力Q和弯矩M(图3-2,b)。

计算梁截面内力的基本方法是截面法。所谓截面法，即用一假想截面沿所求内力截面切开，

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取截面任一侧部分作为隔离体。隔离体在外力(即荷载和支座反力)和约束力(即截面上的内力)的作用下，处于平衡状态，利用静力平衡方程即可求出三个内力分量。 由截面法可以得出截面内力的计算法则如下：

梁内某截面的轴力N在数值上等于该截面任一侧所有外力沿梁轴切线方向所作投影的代数和。轴力通常以拉力为正，压力为负。

梁内某截面的剪力Q在数值上等于该截面任一侧所有外力沿梁轴法线方向所作投影的代数和。剪力以使该截面所在的隔离体有顺时针转动趋势的为正，反之为负。

梁内某截面的弯矩M在数值上等于该截面任一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。在作弯矩图时，通常规定图形画在受拉纤维的一边，而不注正负号。

以上所述内力分量N、Q、M的计算法则，不仅适用于梁，也适用于其它结构。 3．弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系

如图3-3,a所示，取x轴平行于梁的轴线，并以向右为正。假设荷载垂直于梁的轴线，荷载集度为q(x)，以向下为正。

从梁内截出一长为dx微段(图3-3,b)。它在一部分荷载q(x) (荷载集度在dx段上可视为常值)以及舍去的左右部分对它的作用力Q、Q1和力矩M、M1作用下处于平衡状态。可以 看到

Q1＝Q＋dQ 及 M1＝M＋dM

对图3-3,b所示的微段，应用平衡条件，并略去高阶微量，可得下列二式：

dQdxdMdxq(x)

(3-1)

Q (3-2)

由此二式，可得

dMdx22 q(x) (3-3)

式(3-1)、(3-2)及(3-3)就是弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系，可用以判定梁的剪力图和弯矩图的变化情形。

由上述微分关系可知：(1)在无荷载(即q(x)＝0)区段，剪力图为一水平直线，而弯矩图则为一倾斜直线；(2)在有均布荷载(即q(x)＝常值)区段，剪力图为倾斜直线，而弯矩图则为一抛物线。据此，在绘制梁的剪力图和弯矩图时，可按荷载情况划分区段，只要得知各分段

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点的控制竖标，即不难将全部图形作出。

4．用叠加法作弯矩图

在绘制弯矩图时，常常应用叠加法。现在举例说明如下。

图3-4,a示一简支梁及其所受荷载。设要求作出区段JK的弯矩图。为此，可取区段JK为隔离体(图3-4,b)，其两端的弯矩为MJ和MK，剪力为QJ和Qk。将此隔离体与相应的简支梁(图3-4,c)在均布荷载q和两端力矩MJ及MK作用下的受力情况相比较，由静力平衡条件可知QJ＝VJ和QK＝VK，可见两者完全相同。今作出相应简支梁在两端力矩MJ、MK和均布荷载q分别作用下的弯矩图，如图3-4,d和e所示。然后将这两个图形叠加(指两个弯矩图竖标的

叠加)即得原梁JK区段的弯矩图(图3-4,f)。这种绘制弯矩图的方法称为叠加法。其步骤可归纳如下：在求得区段两端的截面弯矩竖标后，可先将两个竖标的顶点以虚线相联，然后暂以此虚线为基线，将相应简支梁在均布荷载(或集中荷载)作用下的弯矩图叠加上去，则最后所得的图线与原定基线之间所包含的图形即为实际的弯矩图。由于它是在梁内某一区段上的叠加，有时称为区段叠加法。

值得指出，这种作弯矩图的叠加方法，不仅作图方便，而且对以后利用图乘法(§5-5)计算结构位移时，也提供了便于计算的叠加方法。

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例3-1 试作图3-5,a所示伸臂梁的内力图。

[解] 首先计算梁的支座反力。显然，水平反力为零，梁的轴力也为零。竖向反力计算如下：

由 ∑MB＝8V8 ＋80－160×6－40×6×1＋40×2＝0 可得 VA＝130 kN (↑)

由 ∑MA＝－8V8 ＋80＋160×2－40×6×7＋40×10＝0 可得 VB＝310 kN(↑)

由 ∑Y＝130－160－40×6－40＋310＝0 故知计算无误。

反力求出后，即不难作出剪力图如图3-5,b所示。

在作弯矩图时，首先利用微分关系找关键点。根据荷载情况可以看出，M图可分为五个区段，其分段点即为集中力和力偶的作用点以及均布荷载的端点，除梁的两端A、F外，这些分段点就是C、D、F及B。但在C点的外力为一力偶，其左右两截面的弯矩并不相等，二者之差等于该力偶矩，故弯矩图在该处发生突变；又由于共两侧的剪力相等，故弯矩图在两侧为平行线而成台阶形。各分段点的弯矩值如下：

MMMMMMM0AlCrCDEBF1301130kNm130180210kNm130280340kNm1304801602280kNm13088016064042160kNm

式中MlC指力偶以左截面C的弯矩；MrC指力偶以右截面C的弯矩。

以上都是取截面以左部分为隔离体进行计算的，如取截面以右部分为隔离体，则可对上述结果进行一次校核，例如：

M40212402160kNm

2B故知计算无误。同理，可对共它分段点的弯矩值进行校核。

依次在弯矩图上定出上列各点的弯矩竖标，对于AC、CD和DE段，弯矩图应为直线，而在有均布荷载的EB和BF两段，可按叠加法绘出其弯矩图为曲线的部分(图3-5,c)。

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二、多跨静定梁

多跨静定梁是由若干根梁用铰联结而成用来跨越几个相联跨度的静定梁。除了在桥梁方面较常采用这种结构形式外，在房屋建筑中的檩条有时也采用这种形式。图3-12，a示一多跨木檩条的构造。在檩条接头处采用斜搭接的形式，中间用一个螺栓系紧，这种接头不能抵抗弯矩，但可防止所联构件在横向或纵向的相对移动，故可看作铰接。其计算简图如图3-12,b所示。

就多跨静定梁的几何组成而言，其各个部分可区分为基本部分和附属部分。例如，图3-12,b所示的多跨静定梁，其中伸臂梁AC直接由支座链杆固定于基础，是几何不变部分，我们称它为基本部分；对于伸臂梁DF，因它在竖向荷载作用下仍能独立地维持平衡，

故在竖向荷载作用时也可将它当作基本部分；而CD梁则须依靠基本部分才能保证其几何不变性，故称为附属部分。为清晰起见，在竖向荷载作用下，它们之间的支承关系可用图3-12,c来表示。这种图称为层次图，它是按照附属部分支承于基本部分之上来作出的。基本部分和附属部分的基本特征表现为：基本部分可不依靠于附属部分而能保持其几何不变性（平衡），附属部分则相反。但是，从整体上看，多跨静定梁是几何不变的，也是静定的。

对于多跨静定梁，只要了解它的组成和各部分的传力次序，即不难进行计算。从层次图可以看出：基本部分的荷载作用并不影响附属部分；而附属部分的荷载作用则必传至基本部分。因此，在计算多跨静定梁时，应先计算附属部分，再计算基本部分。将附属部分的支座反力反向，就是加于基本部分的荷载。这样，多跨静定梁即可拆成若干单跨梁，分别计算。而后将各单跨梁的内力图连在一起，即得多跨梁的内力图。顺便指出：对于其它类型具有基本部分和附属部分的结构，其计算步骤在原则上也是如此。 例3-2 试作图3-13,a所示多跨静定梁的内力图。

[解] 先作出层次图如图3-13，b所示。由该图可知，应先计算附属部分CD。C点反力VC求出后，反其方向就是加于AC梁C点的荷载(图l3-13,c)，然后再计算AC梁。

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(1)计算反力

如图3-13,c所示，由附属部分开始，因集中荷载作用在CD段的中点，故 VCVD60kN 再由基本部分AC梁的平衡条件，可得 VA145kNVB235kN

(2)作剪力图和弯矩图 支座反力及铰C处的约束力求出后，梁的剪力图和弯矩图即不难绘出，分别如图3-13,d及e所示。

在设计多跨静定梁时，可适当地选择铰的位置，以减小弯矩图的峰值，从而节省材料。下面以例3-3加以说明。

例3-3 图3-14,a示一三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E和F的位置，使中间一跨的支座负弯矩与跨中正弯矩数值相等。 [解] 以x表示铰E距B点的距离和铰F距C点的距离。如图3-14,b所示，先计算附属部分AE及FD，求出反力并作出弯矩图。再计算基本部分EF，将附属部分在E点和F点的约束力反向作为荷载加于基本部分。 中间一跨支座弯矩的绝对值为

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MBMCq(lx)x2qx22

根据要求MBMCM2,且MBM2182ql，故有

2 MBql216，即

q(lx)x2qx22ql16

解得

xl80.125l

铰的位置确定后，即可作出全梁的弯矩图，如图3-14,c所示，其中

ql2MBMCM2160.0625ql

2M1M3q(lx)820.0957ql

2 如将上述的多跨静定粱用跨度为l的三根简支梁来代替，则弯矩图将如图3-14,d所示。由比较可知，多跨静定梁的弯矩比一系列简支梁为小。实际上，附属部分AE和FD都是简支粱，但跨度比l为小，所以弯矩当然也小；至于基本部分EF则是一根伸臂梁，其伸臂部分的荷载和跨中部分的荷载，在BC一段内所产生的弯矩正负号相反，所以BC一段的跨中弯矩也就相应减小。

多跨静定梁是由伸臂梁和短梁组合而成。因此，一般说来，多跨静定梁的弯矩比一列简支梁的弯矩为小，所用材料较为节省，但是，多跨静定梁的构造则较为复杂。

三．斜梁的内力图

在建筑工程中，常遇到杆轴为倾斜的斜梁，例如楼梯梁(图3-6)以及刚架中的斜杆(图3-7)等。 当斜梁承受竖向均布荷载时，按荷载分布情况的不同，可有两种表示方式。一种如图3-8所示，作用于斜梁上的均布荷载q按照沿水平方向分布的方式来表示，如楼梯梁受到人群荷载以及屋面斜梁受到雪荷载的情况就是这样。另一种如图3-9所示，斜梁上的均布荷载q′按照沿杆轴方向分布的方式来表示，如楼梯梁的自重就是这种情况。

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由于按水平距离计算时，以前者(图3-8)所表示的方式比较方便，故通常将后者(图3-9,b)也改为前者的分布方式，而以图3-9,a所示的沿水平方向分布的荷载q0来代替。由于图3-9所示的两个微段荷载应为等值，故替代换算公式 q0dxqds 由此可得

q0qdxdsqcos

下面讨论图3-10,a所示简支斜梁AB承受沿水平方向分布的均布荷载q作用时内力图的作法。

先求支座反力，取AB梁为隔离体，利用平衡条件可得

H0,VAVB12ql()

A反力求出后，即可求任一截面的内力。例如，求截面C的内力时，可在C点切开，取隔离体如图3-10,b所示。

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求弯矩时，利用C点的力矩平衡方程∑MC＝0，可得

MVAxqxx212qlx12qx2(0xl) 18显然，M图为一抛物线，跨中弯矩为ql，如图3-10，c所示。可以看出，斜梁在沿

2水平方向的竖向均布荷载作用下的弯矩图与相应的水平梁(荷载相同，水平跨度相同)的弯矩图，其对应截面的弯矩竖标是相同的。

求剪力和轴力时，将反力VA和荷载qx沿杆轴的法线方向(n方向)和切线方向(t方向)进行分解，然后利用沿n和t方向的投影平衡方程，即可求出Q和N。

由∑N＝0，可得

QVAcosqxcosq(l2x)cos 由∑T＝0，可得

NVAsinqxsinq(l2x)sin

以上两式适用于梁的整个跨度，由此可绘出Q图和N图(图3-10,d、e)。

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斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制。图3-1l,a示某一区段JK的隔离体，承受沿水平方向 分布的竖向均布荷载q的作用，两端的约束力如图所示。可以看出，图3-11,a中的斜梁受力状态与图3-11,b中的简支斜梁的受力状态完全相同，因而弯矩图也相同。由于SJ和SK不产生弯矩，因此斜梁的弯矩图即由两端弯矩所产生的直线弯矩图和由荷载所产生的弯矩图叠加而成，如图3-11,c所示。

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§3-3 三铰拱

一、拱式结构的特征及其应用

拱式结构是一种重要的结构型式，在房屋建筑、桥梁建筑和水工建筑中都常采用。 为了说明拱的受力特点，可将拱与粱作一对比。所谓拱式结构是指杆轴通常为曲线，而且在竖向荷载作用下支座将。这种水平反力称为水平推力(简称推力)。拱式结构与梁式结构的区别，不仅在于外型不同，更重要的还在于水平推力的是否存在。例如图3-26，所示的结构，其杆轴虽为曲线，但在竖向荷载作用下支座并不产生水平推力，它的弯矩与相应简支梁的相同，故称为曲梁；但如图3-26,b所示的结构，由于其两端都有水平支座链杆，在竖向荷载作用下支座将产生水平推力，故属于拱式结构。由此可知，推力的存在是拱式结构区别于梁式结构的一个重要标志，因此通常又把拱式结构称为推力结构。

在拱式结构中，由于水平推力的存在，使拱的弯矩比相应简支梁的弯矩为小。因此，拱与相应简支梁比较，它的优点是用料比梁节省而自重较轻，故能跨越较大的空间。此外，由于拱主要是承受轴向压力，故建造时可以充分利用抗拉性能弱而抗压性能强的材料如砖，石、混凝土等。但是，

拱的缺点是构造比较复杂，施工费用较大。同时，由于推力的存在，拱需要有较为坚固的支承结构。

拱式结构(图3-27)的外曲线称为外缘，内曲线称为内缘。拱轴中间最高的一点称为拱顶。三铰拱的拱顶通常是布置中间铰的地方。拱的两端与支座联结处称为拱趾。两个拱趾的水平距离l称为跨度。由拱顶到拱趾连线的竖向距离，称为拱高或矢高。拱高与跨度之比f/l称为高跨比。在以后的讨论中可以看到，拱的主要性能与高跨比有关。在工程结构中，这个比值约在1至1/10之间。

图3-28表示拱式结构的几种型式，其中图a和图b分别称为无铰拱和两铰拱，它们是

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超静定的；图c称为三铰拱，它是静定的。 在实际工程中，超静定拱应用较多，但房屋的屋盖有时也采用静定的三铰拱。为了消除推力对支承结构(例如墙或柱)的影响，有时在三铰拱支座间可联以水平拉杆并将一固定铰支座改为可动铰支座，如图3-28,d所示。拉杆内所产生的拉力代替了支座的推力，使

支座在竖向荷载下只产生竖向反力。这种结构的内部受力情况与一般的拱并无区别，故称为具有拉杆的拱。为了获得较大的净空，拉杆有时做成如图3-28，e所示的折线形式。图3-29，a为具有拉杆的装配式钢筋混凝土三铰拱。图3-29，b为其计算简图。

二、三铰拱的计算

下面应用静力平衡条件，计算三铰拱的支座反力和截面内力。现以竖向荷载作用下两拱趾在同一水平线上的三铰拱(图3-30，a)为例，导出各计算公式。

为了研究三铰拱与同跨度简支梁在相同荷载作用下的反力和内力的区别，我们画出图3-30，b所示相应简支梁加以比较。 l．支座反力的计算公式

三铰拱两端都是固定铰支座，其支座反力共有四个分量，故需列出四个方程进行计算。除拱的整体有三个平衡方程外，与三铰刚架相似，还可利用中间铰C处弯矩为零(即MC＝0)的条件来建立一个

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补充方程。

首先考虑整体的平衡，由∑MB＝0及∑MA＝0，可以求得两个支座的竖向反力

VAPbiil (3-4)

VBPaiil (3-5)

由∑X＝0，可得

HA＝HB＝H

再考虑MC＝0的条件。取三铰拱的左半跨(即拱顶铰C以左部分)为隔离体，对C点取矩，

则作用于左半跨上的所有外力对C点的力矩代数和应等于零，即 由此得

VAl1P1(l1a1)P2(l2a2)fMVAl1-P1(l1-a1)-Hf0

CH (3-6)

考察式(3-4)和(3-5)的右边，可知其值恰等于图3-30,b所示相应简支梁A、B两支座的竖向反力VA和VB。再考察式(3-6)，可知其右边的分子则等于相应简支梁在与拱的中间铰对应的截面C上的弯矩M0C00。因此，可将这些公式写成：

VAVA

00(3-7)

VBVB

0(3-8)

HMCf (3-9)

由式(3-9)可知，在竖向荷载作用下，推力H等于相应简支梁截面C的弯矩M0C除以矢

高f，其值只与三个铰的位置有关，而与拱轴形状无关；即只与拱的高跨比f / l有关。当荷

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载和拱的跨度不变时，推力H将与矢高f成反比，即f越大，则H越小；反之，f越小，则H越大。而当f→0时，则H趋于无穷大，此时三个铰位于同一直线，根据几何组成分析可知，拱已成为瞬变体系。 2．内力的计算公式

计算拱的内力时，我们取与拱轴成正交的任一截面K(图3-31,a),它的位置取决于截面形心的坐标xK，yK，以及该处拱轴切线的倾角K。截面K的内力可以分解为弯矩MK、剪力QK和轴力NK。下面分别讨论这三种内力的计算。 (1)弯矩的计算公式

首先我们规定以使拱的内侧纤维受拉的弯矩为正，反之为负。取AK段为隔离体(图3-31, b)，由∑MK＝0，得，

MK[VAxKP(xKa)]Hyk

0 根据VAVA，可见上式中方括号内的值即等于相应简支梁(图3-31，c)截面K的弯矩

M0K，故上式可改写为

MKM0KHyk (3-10)

即拱内任一截面的弯矩，等于相应简支梁对应的弯矩减去由于拱的推力所引起的弯矩HyK。由此可知，由于推力的存在，三铰拱的弯矩比相应简支梁的弯矩为小。 (2) 剪力的计算公式

任一截面K的剪力QK等于该截面一侧所有各力在该截面处拱轴的法线上投影的代数和。通常规定：如果该截面的剪力QK使截面两侧的隔离体有顺时针转动趋势时为正，反之为负。由图3-31，b可知

QKVAcosKP1cosKHsinK(VAP1)cosKHsinK

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0显而易见，上式中(VA-P1)即等于相应简支梁在截面K处的剪力QK，于是上式可改写成

QKQKcosKHsinK (3-11)

0式中K为截面K处拱轴切线的倾角，在图示坐标系中，K在左半拱为正，而在右半拱为负。

(3)轴力的计算公式

任一截面K的轴力NK等于该截面一侧所有各力在该截面处拱轴的切线上投影的代数和。因拱轴常受压，故轴力通常以使拱截面受压时为正，反之为负。由图3-31，b可知

NK(VAP1)sinKHcosKQksinKHcosK0

式中K的正负号与前面规定相同。

有了上述公式，则不难作出三铰拱的内力图。 例3-6 试作图3-32，a所示三铰拱的内力图。拱轴为一抛物线，当坐标原点选在左支座时，它的方程为

y4fl2(lx)x。

[解] 先求支座反力，由公式(3-7)、(3-8)，(3-9)可得

VAVA01009206312105kN

VBVB01003206912115kN

MCf0H10561003482.5kN

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反力求出后，即可根据公式(3-10)，(3-11)，(3-12)绘制共内力图。由于上述内力方程不是一个简单的曲线方程，直接按方程作图是比较困难的。一般作法是先求出拱的一系列截面的内力，然后用描点的方法画出这些内力值，再连以曲线即得所求的内力图。为此我们将拱跨分成八等分，然后分别计算出各等分点处截面上的内力值，再根据这些数值作出弯矩图、剪力图和轴力图。

现以距A左支座3m处的截面2为例，说明内力的计算方法。 当x2＝3m时，由拱轴方程可得：

y24fl2(lx2)x23mx2

tg2dydx04fl(12x2l)0.667

23342由公式(3-10)可得：

M2M2Hy2105382.5367.5kN

0 求截面2的剪力和轴力时，由于该截面处作用有集中荷载P＝100kN，相应简支梁在截面2处的剪力有突变值P，故拱截面内的剪力将有突变值Pcos2，而轴力则有突变Psin2。因此，需要计算集中荷载处以左及以右截面上的剪力和轴力。由公式(3-11)可得

Q2Q2cos2Hsin2l0,l

1050.83282.50.55541.6kNQQr20,r2cos2Hsin2

(105100)0.83282.50.55541.6kN由公式(3-12)可得

N2Q2sin2Hcos21050.55582.50.832127kNNQr20,r2l0,lcos2Hsin2

(105100)0.55582.50.83271.4kN 35

其它各截面的内力计算同上述，计算结果列于表3-1中。根据表中的数值作出M，Q及N图如图3-32b、c及d所示。

例3-7 图3-33，a示一三铰拱式屋架，上弦杆用钢筋混凝土或预应力钢筋混凝土，拉杆用角钢或圆钢，结点不在上弦杆的轴线上而有偏心。图3-33，b为计算简图，设荷载及其尺寸如图所示，试分析内力。

[解] 这是一个有拉杆的三铰拱式屋架，拉杆的拉力与无拉杆三铰拱的推力H两者作用相同，因而拱截面内力的计算公式也同样适用于这一屋架的上弦杆。但是，计算时要考虑结点的偏心。

(1)计算支座反力

由于结构和荷载都对称，故

VAVA29362489kN00

VAVA89kNHA0

(2)计算钢拉杆的拉力

MCf0H895.85295.1362.8240.22.150.06127.8kN 36

(3)计算上弦杆的内力

由于结构和荷载都对称，故计算一根上弦即可。上弦杆任一截面的内力为

MKM00KH(yke1)QKQKcosHsin NKQksinHcos0由图3-33，b可知

he1l20tg2.150.205.850.3333

1826上弦杆DC左端截面D的内力：

MDM00DH(yDe1)01270.2025.6kNQDQDcosHsin890.949127.80.31644.2kNNDQDsinHcos890.316127.80.949149.1kN0

上弦杆DC,截面1的内力：

M1M1H(y1e1)890.75127.8(0.250.20)9.2kNQ1Q1N1Q1r0,r0cosHsin600.949127.80.31616.6kNsinHcos600.316127.80.949139.9kN

0,r其它各截面的内力计算同上述，计算结果列于表3-2中。根据表中的数值，作出M、Q及N图如图3-33，c，d及e所示。

由图3-33，c可见，偏心距e1及e2使上弦杆端截面产生负弯矩，因而减少了正弯矩的数值。

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例3-8 试求图3-34，a所示三铰拱上截面K的内力MK、QK及NK。设坐标原点选在左支座，共拱轴方程 y4fl2(lx)x

[解] 在本例中，荷载为水平方向，故以上根据竖向荷载推导的公式不再适用。求反力和内力时，应直接利用平衡方程进行计算。 (1)计算支座反力

设支座反力方向如图3-34，a所示。考虑整体平衡，由 ∑MB＝0， VA×16＋4q×2＝0，

VA＝－0.5q(↓)

∑MA＝0， －VB×16＋4q×2＝0， VB＝0.5q(↑)

∑X＝0， －HA－HB＋4q＝0， HA＋HB＝4q

取三铰拱的右半部(即顶铰C以右部分)为隔离体，利用MC＝0的条件，对C点取矩，则有

MC＝－VB×8＋HB×4＝0，

HB＝q(←)

HA＝3q(←)

(2)计算截面K的内力 因xK＝4m，由拱轴方程

yK4fl2(lxK)xK3mK tgKdydx04fl(12xKl)0. 5K2634 取截面K以左部分为隔离体，如图3-34，b所示，可求得：

MK0.5q43q33q1.52.5qQK0.5qcos26343qsin26343qsin26340.447q NK0.5qsin26343qcos26343qcos26340.224q000000 38

§3-3 静定平面刚架的内力计算

一、刚架的特征及其应用

刚架是由若干梁和柱主要用刚结点组成的结构。当刚架的各杆轴线都在同一平面内而外力也可简化到这个平面内时，这样的刚架称为平面刚架。图3-15示门式刚架的计算简图，其结点B和C是刚结点。在刚结点处，各杆端不能发生相对移动和相对转动，即刚架受力变形时，杆端在结点B和C处仍然联结在一起，而且保持与变形前相同的夹角，如图3-15中虚线所示。

由于刚架具有刚结点，杆数较少，内部空间大，便于利用。对于现浇钢筋混凝土结构、

焊接组装钢结构，刚结点制作方便。因此，刚架结构在工业化社会得到广泛的应用。

图3-16,a是一现浇钢筋混凝土刚架的构造示意图。柱底与基础的联结可看作固定铰支座。其计算简图如图3-16,b所示。这种刚架称为两铰刚架。

图3-17,a是一装配式钢筋混凝土刚架的示意图。其计算简图如图3-17,b所示。这种刚架称为三铰刚架。 图3-18,a是现浇多层多跨刚架。其中所有结点都是

刚结点，习惯上称这种结构为框架。图3-18,b是其计算简图。

在地下建筑中，常用如图3-19,a所示的封闭箱形刚架，它并无单独的支座与基础相连，而是直接支承在地基上，在荷载及其周围土壤等的作用下维持平衡。图3-19,b是其计算简图。

39

从计算的观点来划分，上述刚架可以分为静定刚架和超静定刚架两类。除图3-17所示静定刚架外，其余都是超静定刚架。本节只讨论一些简单静定刚架的计算。 二、刚架的内力计

算

刚架是若干杆件的组合。在分析静定刚架时，通常应先由整体及某些部分的平衡条件，求出各支座的反力，然后再逐杆计算其内力并绘制内力图。

在计算内力时，为了使内力的符号不致发生混淆，我们在内力符号的右下方加用两个下标来标明该内力所属的杆，其中第一个下标表示该内力所属的杆端截面，第二个下标表示同一杆的另一端。以弯矩为例，我们以MAB表示杆AB的A端的弯矩、MBA表示杆AB的B端弯矩。

下面用图3-20,a所示的刚架为例说明它的计算方法。 (1)计算支座反力

取整个刚架为隔离体，假设反力方向如图3-20,a所示。由平衡条件可得 ∑X＝0， 30－HB＝0，HB＝30kN(←)

∑MB＝0，VA×6＋30×4－20×6×3＝0，VA ＝40kN(↑) ∑MA＝0，－VB×6＋30×4＋20×6×3＝0，VB ＝80k N(↑)

然后根据其它平衡条件，例如，∑Y＝0进行校核。因∑Y＝40＋80－20×6＝0，故知计算无误。 (2)作弯矩图

40

作弯矩图时，应逐杆考虑，算出各控制点的弯矩。对于每一杆件的无荷载区段和承受均布荷载的区段，都同样可按上节中对梁所用过的方法处理，即对于无荷载区段，只需定出两个弯矩控制竖标，即可连成直线图形；而对于承受均布荷载的区段，则可利用叠加法作弯矩图。弯矩图可不注明正负号而画在杆件纤维受拉的一边。

现按上述方法计算图3-20,a所示刚架各杆的弯矩并绘出弯矩图 AD杆：该杆可分为AC和CD两个无荷载区段

AC段：

MAC＝0， MCA＝0

CD段：无荷载作用，弯矩图为一直线。

MCD＝0， MDC＝30×2＝60 kN·m(左侧受拉)

DE杆：它受有均布荷载作用，弯矩图为二次抛物线。先求出控制点的弯矩值，然后与按相 应简支梁求得的弯矩图进行叠加 MDE ＝ 30×2 ＝ 60 kN·m (上边受拉) MED ＝ 30×6 ＝180 kN·m (上边受拉) BE杆：无荷载作用，弯矩图为直线。 MEB ＝ 30×6 ＝180 kN·m(右侧受拉) MBE ＝ 0

41

各控制点的弯矩求出后，即可作出弯矩图如图3-20,b所示 (3)作剪力图

作剪力图时，仍逐杆进行，先根据已知的作用荷载和反力或约束力求出杆端的剪力，然后按照单跨静定梁作出该杆的剪力图。剪力仍以使隔离体有顺时针方向转动趋势的为正，它可以画在杆件的任一侧，但需注明正负号。不过，对横梁的剪力图，习惯上常将正号剪力画在上边，负号剪力画在下边。

AD杆：AC段的剪力等于零。CD段的剪力图为一平行于杆轴的直线。

QCD ＝ －30 kN， QDC ＝ －30 kN

DE杆：剪力图为斜直线。

QDE ＝ VA ＝ 40 kN， QED ＝ －VB ＝ －80 kN

BE杆：剪力图为平行干杆轴的直线。

QBE ＝ HB ＝ 30 kN， QEB ＝ HB ＝ 30 kN

作出剪力图如图3-20，c所示 (4)作轴力图

作轴力图时，根据已知的作用荷载和反力或约束力，即可逐杆算出其轴力。轴力以拉力为正，压力为负。轴力图可画在杆件的任一侧，但需注明正负号。

NAD＝－VA＝－40kN NDE＝－30kN

NDA＝－40kN

NED＝－30kN

NEB＝－80 k N

NBE＝－VB＝－80kN 作出轴力图如图3-20,d所示。 (5)校核内力图

为了校核内力图，可截取刚架的任一部分为隔离体，检查其是否满足静力平衡条件。通常是校核结点处的内力。例如，取结点D为隔离体如图3-21所示，可见作用在隔离体上的力，满足静力平衡条件。

例3-4 试作图3-22,a所示刚架的内力图。 [解] (1)计算支座反力

取整个刚架为隔离体，假设反力方向如图3-22,a所示，由平衡条件可得

42

∑X＝0， 30－HA＝0，

HA ＝30 kN(←)

∑MB＝0， VA×5＋30×8＋40×1＝0, VA ＝－56kN(↓) ∑MA＝0， －VB×5＋30×8＋40×(5＋1)＝0, VB ＝ 96kN(↑) 由∑Y＝－56＋96－40＝0，故知计算无误。 (2)作弯矩图 AC杆：

MAC＝0，MCA＝30×

60＝ 180 kN•m(右侧受拉)

CD悬臂部分

MDC＝0，MCD＝30×

2＝60 kN•m(左侧受拉) CE杆：

MCE＝30×6＋30×2

＝240kN•m(下边受拉)

MEC＝－56×5＋30

×6＋30×2＝－40kN•m(上边受拉)

如取截面E以右部分为隔离体，则可得同样结果，即 MEC＝－40×1＝－40kN·m(上边受拉) BE杆： ．

由图3-22,a知，其中BF段的弯矩为零，而EF段的弯矩为常量，即 MEF＝MFE＝40×1＝40kN·m(右侧受拉) FG悬臂部分：

MGF＝0，MFG＝40×1＝40kN·m(上边受拉)

各控制点的弯矩求出后，即可作出弯矩图如图3-22,b所示。 （3）作剪力图

43

AC杆： ． QAC＝QCA＝HA＝30kN

CD悬臂部分： QCD＝QDC＝30kN CE杆： BE杆：

QCE＝QEC＝VA＝－56kN Q＝0

FG悬臂部分： QFG＝QGF＝40kN

各控制点的剪力求出后，即可作出剪力图如图3-22,c所示。 （4）作轴力图 AC杆：

NAC＝NCA＝－VA＝56kN(拉力)

CE杆：CE杆的轴力为零，即

NCE＝NEC＝0

BF杆：

NBF＝NFB＝－VB＝－96kN(压力)

EF杆：

NEF＝NFE＝－96＋40＝－56kN(压力)

由图3-22，a可知，悬臂部分CD和FG的轴力为零，作出轴力图如图3-22,d所示，可见作用在隔离体上的力满足静力平衡条件。

（5）校核内力图：取结点C，内力如图3-23所示。（验算省略） 例3-5 试作图3-24,a所示三铰刚架的内力图。 [解] (1)求支座反力

截断固定铰支座A和B，取整个刚架为隔离体，如图3-24,a所示。此隔离体上共有四个未知支座反力日HA、VA、HB及VB，需要列出四个方程才能求出。除了利用整体平衡的三个条件建立三个方程外，还可以利用中间铰C处弯矩为零的条件建立一个补充方程。有了这四个方程，即可求出四个未知支座反力。

考虑整体平衡，可得

∑MB＝0， VA×8－20×8×4＝0，VA＝80kN(↑)

44

∑MA＝0，－VB×8＋20×8×4＝0，VB＝80kN(↑) ∑X＝0， HA－HB＝0，HA＝HB

利用∑MC＝0的条件，取铰C左边部分为隔离体，可得 VA×4－HA×8－20×4×2＝0，HA＝20kN(→)

HB＝20kN(←)

(2)作弯矩图 AD杆：

MAD＝0，MDA＝20×6＝120 kN.m(左侧受拉)

45

DC杆：它受有均布荷载作用，弯矩图为二次抛物线，可用叠加法作出。共杆端弯矩为 MDC＝20×6＝120 kN.m(上边受拉) MCD＝0

DC杆的中点弯矩＝1212018204 kN·m(上边受拉)

2 在本例题中，刚架和荷载都是对称的，故计算半个刚架即可。作出弯矩图如图3-24，b所示。

(3)作剪力图和轴力图 AD杆：

QAD＝－20 kN，QDA＝－20 kN，NAD＝NDA＝－80 kN

DC杆：DC杆是一根斜杆，承受沿水平方向分布的均布荷载，故知其剪力图和轴力图都是与杆轴成倾斜的直线。

求杆端D的剪力和轴力时，可截取结点D为隔离体，如图3-24,e所示。为了清晰起见，截面上的已知弯矩未画出。取DC方向为t轴，垂直DC方向为n轴。应用投影方程，可得 ∑N＝0，QDC－80cosα＋20sinα＝0

QDC＝80cosα－20sinα＝80×0.894—20×0.447＝62.6 kN ∑T＝0，NDC＋80sinα＋20cosα＝0

NDC＝－80sinα－20cosα＝－80×0.447－20×0.894＝－53.6 kN

求杆端C的剪力和轴力时，可截取DC杆为隔离体，如图3-24,f所示。由。

∑N＝0，QCD－62.6＋80cosα＝0

可得 QCD＝62.6－80×0.894＝－8.9 kN 由 ∑T＝0，NCD＋53.6－80sinα ＝0

可得 NCD＝－53.6＋80×0.447＝－17.8 kN

各杆端的剪力和轴力求得后，即可作出剪力图和轴力图分别如图3-24,c及d所示。 (4)校核内力图

核校原则与上例相同。读者可自行校核，不赘述。

上述作法，是在求出支座反力后，逐杆考虑，以截面任一侧的部分作为隔离体，利用

46

平衡条件分别求出各杆的控制点的弯矩、剪力和轴力，然后即可绘制刚架的内力图。 下面介绍另外一种作法。首先按照上述作法绘出刚架的弯矩图，然后在结构的结点处和支座处截开，将刚架截成若干根杆件。每个杆件都可作为隔离体，利用平衡条件(力矩方程)求出各杆端处剪力，绘出各杆的剪力图，各根杆件的剪力图拼在一起，即可得到整个刚架的剪力图。根据剪力图，再取刚架的结点为隔离体，根据其平衡条件(投影方程)即可求出各杆的杆端处轴力，进而绘出刚架的轴力图。

下面仍用图3-20,a所示刚架为例说明这一计算方法。现将该刚架重新绘出，如图3-25,a 所示。

(1)作弯矩图

计算从略，作出弯矩图如图3-25,b所示。 (2)作剪力图

当根据弯矩图作剪力图时，应截取杆件为隔离体。例如，截取AD杆为隔离体如图3-25,e所示。为清晰起见，杆端轴力未画出。

由 ∑MD＝0， QAD×6－30×2＋60＝0， QAD＝0 由 ∑MA＝0， QDA×6＋30×4＋60＝0， QDA＝ －30kN 再截取DE杆为隔离体如图3-25,f所示。

由 ∑ME＝0， QDE×6－60－20×6×3＋1 80＝0， 由 ∑MD＝0， QED×6＋180＋20×6×3－60＝0， 同理，如截取BE杆为隔离体，则可求得 QBE＝30 kN， QEB＝30 kN

应用剪力与荷载集度之间的微分关系，作出剪力图如图3-25,c所示。。 (3)作轴力图

QDE＝40 kN QED＝－80 kN

47

当根据剪力图作轴力图时，应截取结点为隔离体。例如，截取结点D为隔离体如图3-25,g

所示。为清晰起见，杆端弯矩未画出。

由 ∑X＝0， NDE＝－30kN(压力) 由 ∑Y＝0， NDA＝－40kN(压力) 再截取结点E为隔离体如图3-25,h所示。 由 ∑X＝0， NED＝30kN(压力) 由 ∑Y＝0， HEB＝－80kN(压力) 作出轴力图如图3-25,d所示

48

§3-4三铰拱的压力线及合理拱轴的概念

一、压力线

由上述三铰拱内力的数解法可知，在一般荷载情况下，三铰拱的任一截面均有M、Q及N三个内力分量。这三个内力分量可以用它们的合力R来代替。由于拱截面上的轴力多是压力，故此合力常称为截面上的总压力。这个总压力与截面(或其延伸面)上的交点K可以用力的合成法则来确定(图3-35,b中，eK＝M/N),。如果已知三铰拱每一截面上总压力在各该截面(或其延伸面)上的作用点，这样，由这些作用点连结而成的一条折线或曲线，就叫做三铰拱的压力线(图3-35,a)。

下面以图3-36，a所示的三铰拱为例说明三铰拱压力线的具体作法。 作三铰拱的压力线时，首先要求出三铰拱的支座反力。

这里，假定已用数解法(也可用图解法)求得支座A、B的竖向和水平反力，并求出其合力分别为RA和RB。考虑整体平衡，由图解法的静力平衡条件可知，所有反力RA、RB及荷载P1、P2、P3必将组成一封闭的力多边形。现选定力的比例尺，由左至右按力的顺序和比例大小作出封闭力多边形如图3-36，b所示。再以RA和RB的交点O为极点，画出射线12及23，则RA，RB及每一射线即代表某一截面左边(或右边)所有外力的合力的大小和方向。根据平衡条件，它也就是该截面上内力的大小和方向。例如，截面K(图3-36，a)以左的外力为RA和P1，其合力即由射线12表示。

要确定这些合力的作用线的位置，需作出平衡力系的索多边形。为此，可在三铰拱(按长度比例尺画出)的平面图中，通过A点作RA的作用线，并延长与P1相交于D点，自D点作射线12的平行线与P2相交于E点，自E点作射线23的平行线与P3相交于F点，最后由F点作RB的平行线即RB的作用线FB，得到图3-36，a所示的多边形ADEFB。在平面图中，连接两个力并与射线平行的直线叫做索线，由索线组成的多边形叫做索多边形。ADEFB就是图3-36，a所示平衡力系的索多边形。索多边形ADEFB的每一边，即代表该索线左边或右边所有外力的合力的作用线。如索线12为RA和P1的合力的作用线，索线23为RA，P1和P2的合力的作用线(因此，索多边形也叫合力多边形)。另外，结合图3-36，b中示力图可看出：以上各合力在拱的各个相应区段中所产生的轴力为压力。既然如此，以上所绘出的索多边形ADEFB即是拱在荷载P1、P2，P3作用下的压力线或称压力多边形。若拱上所受的荷载是分布荷载。作图时可将分布荷载视为若干个密集的集中荷载，分成的集中荷载个数越多，

49

则越近于实际情况，此时作出的压力线在分布荷载作用的区段就成为合力曲线。 我们知道，铰是不能抵抗弯矩的，所以索线23必定通过铰C的中心。同理，

FB也必定通过右支座铰B的中心。利用这一性质，可对压力线的绘制进行校核。

有了压力线后，即可完全确定任一截面上的内力。设拟确定截面K(图3-36，a)的内力，如上所述，作用于截面K一边的外力的合力RK可由索线12(图3-36，a)和射线12(图3-36，b)来表示。它的作用线的位置由索线12确定，其大小则由射线12的长度按比例尺量得。为求得截面K的剪力和轴力，可通过K点作拱轴的法线和切线，再将力多边形中代表RK的射线12沿K点的法线和切线方向分解为两个分力，即得剪力QK和轴力NK(图3-36,b)。截面K的弯矩则等于合力RK对截面形心K的力矩。今以rK(按比例尺量出)表示截面形心K到索线12的垂直距离(图3-36，a)，则截面K的弯矩MK＝rKRK。

压力线在砖石及混凝土拱的设计中是很重要的概念。由于这些材料的抗拉强度低，通常要求截面上不出现拉应力。因此，压力线不应超出截面的核心。如拱的截面为矩形，因矩形截面的截面核心高度为截面高度的三分之一，故压力线不应超过截面三等分的中段范围。 二、合理拱轴的概念

前已述及，拱在荷载作用下，各截面上一般将产生三个内力分量。即弯矩、剪力和轴力。若能使所有截面上的弯矩为零(剪力也为零)，则截面上将只有轴向压力。显然，当拱的压力多边形恰与拱的轴线重合时，就会出现这种情况。此时，各截面都处于均匀受压的状态，因而材料能得到充分的利用，相应的拱截面尺寸是最的。从理论上说，设计成这样的拱是最经济的，故称这样的拱轴为合理拱轴。 用图解法确定三铰拱的合理拱轴时，只需知道三个铰的位置和荷载的情况，即可求出其压力多边形。显然，如以此压力多边形为三铰拱的拱轴，则这一拱轴就是合理拱轴。对于竖向荷载作用下的三铰拱，用数解法来定出拱的合理拱轴的轴线方程，比用图解法方便，可求出如下。

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0 根据式(3-10) MKMKHyk

当拱轴为合理拱轴时，按定义有

MM0Hy0

由此得

MH0 y (3-1 3)

由式(3-13)可知，合理拱轴的竖标y应与相应简支梁的弯矩成比例。当拱上所受荷载为已知时，只要求出相应简支梁的弯矩方程，然后除以H，即得三铰拱的合理拱轴的轴线方程。 例3-9 试求图3-37，a所示对称三铰拱在竖向均布荷载g作用下的合理拱轴。 [解] 作出相应简支梁如图3-37，b所示，共弯矩方程为

M012qlx12qx212qx(lx)

推力H由式(3-9)求得为

MCf0Hql28f

故由式(3-13)可得合理拱轴的轴线方程为

1

y2qx(lx)ql24fl2(lx)x

8f由此可知，在竖向均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴的轴线是一抛物线。

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