数学
一、认识较大的数整数数位顺序表
亿级千亿位千亿百亿位百亿十亿位十亿亿位千万位千万百万位百万万级十万位十万万位千位百位个级十位个数位位计数单位数级亿万千百十个1．分级方法：从个位起每四个数位为一级。
2．个位、十位、百位、千位是个级，表示的是多少个一。3．万位、十万位、百万位、千万位是万级，表示的是多少个万。4．亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级，表示的是多少个亿。
5．把计数单位按照一定的顺序排列起来，他们所占的位置叫做数位。一个数字所占的数位不同，它所表示的数的大小也不同。
6．先读亿级，再读万级，最后读个级,读数的方法：先分级，读亿级时，按照个级的读法读，再在后面加读一个“亿”字；读万级时，按照个级的读法读，再在后面加读一个“万”字；每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。
7．写数的方法：先写出数位顺序表，对准数位一位一位地往下写，如果哪一位上一个单位也没有就写0占位，一级一级地写，先写亿级，再写万级，最后写个级，哪一位上一个单位也没有，就在哪一位上写0。
写完数以后要检查：（1）写完后可以把写出的数再写一遍，看是否与要求
第1页共44页写的数一致。（2）根据最高位的判断这个数是几位数，然后进行核对。
8．比较大小的方法：位数不同，位数多的数就大；位数相同；左起第一位上的数大的那个数就大；如果左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数，直到比较出大小为止。
9．数的改写：用万作单位表示整万的数只需要去掉万位后面的四个“0”，并写上“万”字；用亿作单位表示整亿的数只需要去掉亿位后面的八个“0”，并写上“亿”字；如：800000=80万。
10．求近似数：“四舍五入”法，如果被舍去的部分的部分首位数字小于5时，就舍去这些数字；如果被舍去的首位数字是5或大于5时，就要在保留部分的末尾数字上加1。要用约等于号：≈
认识更大的数课堂练习我学我会
一、填空⒈和万位相邻的数位是（⒉（）个万是十万，（）和（），其中（）是个级的数位。）是一千万。）位是百万位。）位数；八十万是）个十万是一百万，10个（⒊从个位起，第（）位是千位，第5位是（）位，第（⒋一个六位数，它的最高位是（（）位数。）位；最高位是千万位的数是（⒌30167284中的“1”在（个（（⒍在52后面添（后面添写（）位上，表示1个（）。表示（）；“3”在（）位上，表示3）；万位上的是（）。）个一万。30167284读作：）个0，这个数就是五十万；把234变成二千三百四十万，要在4）个0。），这部分的最高⒎把204980省略万后面的尾数求近似数时，省略的尾数部分是（第2页共44页位是（）位，这位上的数是（似数是（）万。），所以要（）（填“舍去”或“入一”），这个数的近⒏把7045006省略万后面的尾数求近似数时，省略的尾数部分的最高位是（位上的数是（），所以要（）（填“舍去”或“入一”），这个数的近似数是（）位，这）万。⒐比较下面每组中两个数的大小。15700○98007058000○7508000⒑在○里填写“＝”或“≈”。800000○80万804000○80万13455010○1346万13460000○1346万99999○10000040万○399999998135○985313700000○370万二、选择正确的答案的序号填在括号内。⒈777770000从右往左数，第（A六B七）位上的数字表示7个一百万。C八）。⒉下面的数中，“5”既在千万位上，又在万位上的数是（A5431500B453510000C54351000）个0。⒊在读34000010这个数时，要读出（A1B2C3⒋用9、1、0、3、5、7组成最大的六位数是（A957130B975310C103579）。三、写出下面横线上的数。⒈人的脑神经细胞有一百二十亿到一百四十亿个。写作：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⒉据全国第五次人口普查统计，全国总人口为十二亿九千五百三十三万人。写作：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⒊2000年，全国工业和城市生活废水排放问题约为四百一十五亿一千万吨，其中工业废水排放量一百九十四亿二千万吨，城市生活污水排放量二百二十亿九千万吨。写作：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿四、按要求填写下表，并回答问题。
第3页共44页国土面积国家和地区(平方千米)澳大利亚巴西加拿大中国印度印度尼西亚俄罗斯美国774000085470009980000960000032880001905000171000009364000国土面积人口数人口数（万平方千米）（人）191600001677200003075000012953300001002140000210490000145490000281420000（万人）（1）将以上国家按国土面积大小排列顺序。根据以上数据你想到了什么？
第二讲角认识角
1.线段、直线和射线名称图形线段直线射线
不同点端点2个没有一个
能否测量能不能不能
长度有限
都是直的
无限无限
相同点
第4页共44页2.角分类
角：从一点引出两条射线所组成的图形是角，这个点是角的顶点，两条射线是角的边。角通常用符号∠来表示。要点：
通过一点可以作（）条直线，两点之间可以作（）条线段，从一点出发可以作（））没有关系，与两边叉开的（）有关系。条射线。角的大小与角的两边画得（量角
1、认识量角器：角的大小可以用量角器量。把半圆平均分成180份，每一份所对的角的大小就是1度，记作1°.2、角的度量：量角的方法：
一、量角器的中心点和角的顶点重合，二、量角器的零刻度线和角的一边重合。三、看角的另一边所对准量角器的刻度。
量角和画角要做到“点对点，线对边，再看另一边。内0看内圈，外0看外圈。”注意：看的时候一定要分清是内圈刻度还是外圈刻度，是顺时针还是逆时针方向。判定方法：只要看和零刻度线重合的那条边是指着内圈还是外圈的“0”。练习：量出下列角的度数。
三、量一量1.量出下面各角的度数。第5页共44页()度()度()度(2.量出下面各图中角的度数。)度()度()度第6页共44页三个角的度数和是()三个角的度数和是()四个角的度数和是()四个角的度数和是()画角
画角：
（1）先画一条射线。(2)两重合。
(量角器的中心点和角的顶点重合，量角器的零刻度线和角的一边重合)(3)在相应的刻度上面点一个点。
(4)连接两个点画一条射线，画好弧度，标上刻度。
练习：用量角器画出下列度数的角。105°44°85°测量三角板的度数。第7页共44页150°三角板可以画多少种角？用三角板分别画出下列度数的角120°45°75°90°105°旋转与角
知识点：
1、角的概念。由一点引出两条射线所组成的图形叫做角。角是由一个顶点和
两条边组成的。2、认识平角、周角。
平角：角的两边在同一直线上，（像一条直线），平角等于180°，等于两个直角。
周角：角的两边重合，(像一条射线），周角等于360°，等于两个平角，四个直角。
3、角的分类：小于90度的角叫做锐角；等于90度的角叫做直角；大于90
度小于180度的角叫做钝角；等于180度的角叫做平角；大于180度小于270度叫做优角（此为补充内容）；等于360度的角叫做周角。4、动手画平角、周角。
第三讲平行与相交
相交、垂直、平行
（1）平行：同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线叫做另一条直线的平行线。同一平面内：举例说明（2）垂直：相交成直角的两条直线（互相垂直），其中一条直线叫做另一条直线的（垂线），交点叫做（垂足）。
※注：作图题中，作完垂直一定要画上表示垂直的符号。第8页共44页区别：垂线、垂直线段，
（3）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。三种情况：点在直线上、点在直线外、点在直线外一端。画平行线的方法：1、合2、靠3、平移4、画
画垂线的方法：1、合（直尺与直线合，三角尺与直尺合）2、画3、标直角符号。常见图形：长方形、正方形、平行四边形（线、角特点）、梯形：补充知识点：
1、会用数学符号表示两条直线互相垂直的关系。如：OA⊥OB。2、明确点到直线之间垂线段最短。
练习：
常见知识点练习
一、认真读题，谨慎填写。
1、线段（）个端点，射线（）个端点，直线（）端点。
2、两条直线相交成直角时，这两条直线就互相（）。
3、两条直线相交成四个角时，其中的一个角是直角，其他三个角都（）。
4、从直线外一点向直线画一条垂直线段，再画几条不垂直的线段，其中（）线段最短。
5、在一个正方形中有（）组对边互相平行。
二、巧思妙断，判断对错。（7分）
第9页共44页1、小方在纸上画了一条平行线。……………………………………（）
2、永不相交的两条直线叫做平行线。………………………………（）
3、同一平面内的两条直线，不平行就互相垂直。……………………（）
4、上午九时整，钟面上的时针和分针互相垂直。……………………（）
5、长方形相对的两条边互相垂直且平行。…………………………（）
6、同一平面内过直线外一点只能画一条直线和它垂直。…………（）
7、在同一平面内，平行的两条直线永远不会相交。…………………（）
三、反复比较，精心选择。（10分）
1、两条平行线之间的最短。
A、线段B、直线C、垂线段
2、正方形的相邻两边互相（）
A、垂直B、平行C、重合
3、右图中有（）组平行线。
A、2B、3C、4
4、右图中一个是长方形，一个是正方形，则∠1（）∠2。
第10页共44页A、大于B、小于
C、等于D、无法判断
5、把（）分成180等份，每一份所对的角就是1度。
A、半圆B、一个圆C、正方形
第四单元
1、口算乘法：
【三位数乘两位数】
2、笔算乘法1：
先算个位上的2乘以145等于290，再算十位上的1乘以145等145，两数相加等于1740
3、笔算乘法2：
第11页共44页口算法：先口算16×3=48，再在积的末尾填两个0，等于4800。
笔算法：先笔算出16×3=48，
再在积的末尾填两个0
4、笔算乘法3：
口算法：先口算106×3=318，再在积的末尾填一个0，等于3180。
笔算法：先算106×3=318，再在积的末尾填一个0。5、行程问题：
小结：在上面的例题中，特快列车每小时行的路程叫做速度，可以写成160千米/时。普通列车的速度可以写成106千米/时。“小林步行的速度是60米/分，就是说小林每分钟走60米。”速度、时间与所行的路程之间的关系：速度×时间=路程
第12页共44页6、积的变化规律：
小结：一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍，积也扩大或缩小相同的倍数。7、乘法估算：
只能估大，不能估小！
运算定律与简便计算（一）加减法运算定律1.加法交换律定义：两个加数交换位置，和不变字母表示：abba例如：16+23=23+16546+78=78+5462.加法结合律定义：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表示：(ab)ca(bc)
注意：加法结合律有着广泛的应用，如果其中有两个加数的和刚好是整十、整百、整千的话，那么就可以利用加法交换律将原式中的加数进行调换位置，再将这两个加数结合起来先运算。例1.用简便方法计算下式：（1）63+16+84（2）76+15+24（3）140+639+860举一反三：（1）46+67+54（2）680+485+120（3）155+657+2453.减法交换律、结合律注：减法交换律、结合律是由加法交换律和结合律衍生出来的。减法交换律：如果一个数连续减去两个数，那么后面两个减数的位置可以互换。字母表示：abcacb
第13页共44页例2.简便计算：198-75-98减法结合律：如果一个数连续减去两个数，那么相当于从这个数当中减去后面两个数的和。字母表示：abca(bc)例3.简便计算：（1）369-45-155（2）896-580-1204.拆分、凑整法简便计算拆分法：当一个数比整百、整千稍微大一些的时候，我们可以把这个数拆分成整百、整千与一个较小数的和，然后利用加减法的交换、结合律进行简便计算。例如：103=100+3，1006=1000+6，…凑整法：当一个数比整百、整千稍微小一些的时候，我们可以把这个数写成一个整百、整千的数减去一个较小的数的形式，然后利用加减法的运算定律进行简便计算。例如：97=100-3，998=1000-2，…注意：拆分凑整法在加、减法中的简便不是很明显，但和乘除法的运算定律结合起来就具有很大的简便了。例4.计算下式，能简便的进行简便计算：（1）89+106（2）56+98（3）658+997随堂练习：计算下式，怎么简便怎么计算（1）730+895+170（2）820-456+280（3）900-456-244（4）89+997（5）103-60（6）458+996（7）876-580+220（8）997+840+260（9）956—197-56第14页共44页（二）乘除法运算定律1.乘法交换律定义：交换两个因数的位置，积不变。字母表示：abba
例如：85×18=18×8523×88=88×232.乘法结合律定义：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。字母表示：(ab)ca(bc)
乘法结合律的应用基于要熟练掌握一些相乘后积为整十、整百、整千的数。例如：25×4=100,2.5×4=10，0.25×4=1,25×0.4=10,0.25×0.4=0.1125×8=1000，12.5×8=100，1.25×8=10，0.125×8=1，…例5.简便计算：（1）0.25×9×4（2）2.5×12（3）12.5×56举一反三：简便计算（1）24×17×0.4（2）125×33×0.8（3）32×0.25×12.5（4）24×2.5×12.5（5）48×125×0.63（6）2.5×15×163.乘法分配律定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。字母表示：(ab)cacbc，或者是a(bc)abac
简便计算中乘法分配律及其逆运算是运用最广泛的一个，一个要掌握它和它的逆运算。例6.简便计算：（1）125×（8＋16）（2）150×63＋36×150＋150（3）12×36＋120×4.2＋1.2×220（4）33×13＋33×79＋33×12第15页共44页简便计算（二）——加减乘除综合简便计算除了乘法分配律经常单独使用外，大多数的简便计算都同时包括了加减法、乘除法的运算定律率，看下面例题：例7.利用乘法分配律计算：（1）88×（12＋15）（2）46×（35＋56）例8.简便计算：（1）97×154×35（2）102×99（3）35×8＋35×6－例9.简便计算：（1）4.8×100.1＋23.6×5.6（2）5.7×99.9（3）53.9×23.6＋40.5×23.6例10.简便计算：（1）1.25×2.5×32（2）600÷2.5÷40（3）25×64×12.5例11.简便计算：（1）17×62＋17×31＋12×17＋36（2）8.3×36＋56.7×36＋36×34.1第16页共44页例12.简便计算：（1）16×56－16×13＋16×61－16×5×230（2）43×23＋18×23－23×9＋4.81随堂练习：简便计算（1）63＋71＋37＋29－57＋28（2）85－17＋15－33（3）34＋72－43（4）99×85（5）103×26（6）97×15＋15×4（7）25×32×125（8）64×2.5×12.5（9）26×（5＋8）第17页共44页（10）22×46＋22×59－22×2（11）17.5×46.3＋17.5×54.7－17.5（12）26×35＋2.6×450＋260×1.9＋26×3（13）8.2×470－82×13＋820×6.8课堂练习：简便计算（1）36×84＋36×15＋36（2）6.9×170＋17×28＋1.7×30（3）71×15＋15×22＋15×12（4）26×19＋26×56＋27×264.除法交换律、结合律类似于加减法的运算定律，除法的交换律和结合律是由乘法的运算定律率衍生出来的。除法交换律：从被除数里面连续除以两个数，交换这两个除数的位置商不变。第18页共44页字母表示：abcacb例13.简便计算：1000÷25÷8除法结合律：从被除数里面连续除以两个数，等于被除数除以这两个数的积。字母表示：abca(bc)例14.简便计算：100÷2.5÷4举一反三：简便计算（1）80÷5÷4（2）100÷1.25÷8（3）100÷8÷2.5课堂作业：用简便方法计算（1）（155＋356）＋（345＋144）（2）978－156－244（3）24×25（4）99×3（5）103×37（6）12.5×（100－8）（7）30÷2.5÷4（8）600÷8÷12.5第19页共44页（9）13×57＋13×32＋13×13（10）104×45－958－142第六单元
1、口算除法：
【除数是两位数的除法】
2、估算除法：
3、笔算除法：
例一：92本连环画，每班30本，可以分别给几个班？
例二：有140本故事书，每班30本，可以分给几个班？
例三：（1）售货员给顾客21本书，顾客付了84元，那一本
书多少元？
第20页共44页（2）我有196元，要买39元一本的书，可以买多少本？
还剩多少元？
例四：礼堂每排有26个座位，四年级共有140让你，可以坐
满几排？还剩几人？
小结：可以把除数看做和它接近的整十来试商！例五：（1）576名学生，每18人组成一个小组，可以组成多
少组呢？
第21页共44页例五：（2）十月是学校环保月，共收集了930节废电池，平均
每天收集废电池多少节？
除数是两位数的除法与除数是一位数的除法有什么相同点？有什么不同点？相同点：
1、除到被除数的哪一位，就把商在哪一位上面；2、每求出一位商，余下的数必须比除数小。
不同点：
除数是两位数：先用除数试除被除数的前两位数，如果前两位数比除数小，再除前三位数；
除数是一位数：先用除数试除被除数的前1位数，如果前1位数比除数小，再除前两位数；
第22页共44页4、商的变化规律：
小结：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，(零除外)，商不变。
练习1：口算。20÷4＝
24÷4＝
28÷4＝
32÷4＝
7÷7＝14÷7＝21÷7＝28÷7＝
54÷6＝63÷9＝72÷8＝81÷9＝
25÷5＝30÷5＝35÷5＝40÷5＝
45÷9＝54÷9＝63÷9＝72÷9＝
8÷8＝16÷8＝24÷8＝32÷8＝
18÷2＝27÷3＝36÷4＝45÷5＝
9÷9＝18÷9＝27÷9＝36÷9＝
30÷6＝36÷6＝42÷6＝48÷6＝
40÷8＝48÷8＝56÷8＝64÷8＝
第23页共44页练习2、口算除法：整十、整百数除以整十数，
口算方法：1、想乘算除
2、运用商不变规律
及时练习：720÷80=480÷60=360÷90=180÷20=
450÷90=630÷70=4000÷80=240÷30=
练习3、644÷7644÷4756÷3189÷3
知识回顾：商的位数与除数、被除数的关系。（）53÷56，若商是一位数，（）里可以填（5,4,3,2,1），最大是（5）；
若商是两位数，（）里可以填（6,7,8,9），最小是（6）。
439÷（）4，若商是一位数，（）里可以填（4,5,6,7,8,9），最小是（4）；
若商是两位数，（）里可以填（3,2,1），最大填（3）。
练习4、商有0的除法计算并验算870÷8=763÷7=
607÷6=917÷3=
第24页共44页716÷7=
三位数除以两位数除法
196÷39=
539）196
1951
归纳：如果把除数看作和它接近的整十数来试商，就比较方便了。39最接近40，把39看作40来试商，这样把196÷39转化成196÷40，应该商几？
商写在哪一位上？试商4。因为除数39，不是40，因此，商是否合适，还要看商与除数相乘的情况，可以在商的个位上先轻轻地写上“4”，不行再调商为5。
强调竖式的书写格式、试商、商的定位，以及验算的方法。
小结：四舍法，初商易大，应调小。
五入法，初商易小，应调大。
口算法，15、25的倍数要熟记。
及时练习：291÷48180÷21582÷29750÷25）（计算并验算）
被除数÷除数=商……余数
则
被除数=商×除数+余数除数=（被除数－余数）÷商
商=（被除数－余数）÷除数
第25页共44页如：一共有23盆花，每组摆5盆，最多可以摆几组，还多几盆？23÷5=4（组）……3（盆）
（）（）（）（）
）；商4表示（
）；余
其中，被除数23表示（数3表示（
）。
）；除数5表示（
2、余数与除数的关系：
在有余数的除法中，每一次除得的余数必须比除数小。（余数﹤除数）如：23÷5=4……3，其中（余数3﹤除数4）
3、除法各部分之间的关系：被除数=商×除数+余数或被除数=商×除数
如：（）÷（）=7……7，除数最小应是（这时，被除数是（
）。
），
解决问题
1、有32人跳绳，6人一组，可以分成几组？还多几人？列式：
答：
第26页共44页2、十二月有31天，有几个星期？还多几天？
答：
课堂练习一、填空：
1、用除法算式表示下图：（）÷（
）=（
）……1
☆☆☆☆☆
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
☆
2、括号里最大能填几？（
）×7﹤57（
）×8﹤464×（）﹤36
5×（）﹤23
9×（）﹤60
（
）×6﹤32
3、计算有余数的除法时，（）一定要比（）小。
4、51天是（
）个星期零（
）天。
5、★÷5=8……▲，▲最大是（），那么被除数是（）。6、有32盆花，5盆摆一组，可以摆（）组，还剩（
）盆。
二、选择题。
1、下面的数中，除以6没有余数的是（）A、34
B、24
C、44
2、有34个李子，每盘只能装5个，至少要（）个盘子才能全部装完。A、56
C、7
3、☆☆⊙⊙⊙※☆☆⊙⊙⊙※……像这样依次重复下去，第40个是（）。第27页共44页B、
A、
☆B、⊙C、※
）A、4）。
C、61÷7=8……5
B、5
C、6
4、☆÷○=8……5，○最小是（
5、下面式子中，计算正确的是（A、56÷6=8……8
B、71÷9=8……1
三、下面的计算对吗？对的在方框内打√；不对的改正在方框里。
四、用竖式计算下面各题。（用上尺子）33÷8=
18÷4=
27÷5=
40÷5=39÷9=54÷7=
五、解决问题：
1、一件衣服要钉4个纽扣，22个纽扣可以钉几件衣服？还剩几个纽扣？
2、有29片扇叶，每台电扇装3片，这些扇叶够装几台电扇？
3、三（1）班有50名同学去划船，每条船限坐6人，至少要租多少条船才够坐？
第28页共44页提高冲刺部分
第1讲找规律（一）一、知识要点
观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练
【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。1，4，7，10，（），16，19
【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21
（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）
（7）128，64，32，（），8，（），2
（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..
【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。1，2，4，7，（），16，22
【思路导航】在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。
应填的数为：7+4=11或16-5=11。
练习2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。（1）10，11，13，16，20，（），31（2）1，4，9，16，25，（），49，64
（3）3，2，5，2，7，2，（），（），11，2
（4）53，44，36，29，（），18，（），11，9，8（5）81，64，49，36，（），16，（），4，1，0
第29页共44页（6）28，1，26，1，24，1，（），（），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（），（），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（），（），13，14【例题3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。23，4，20，6，17，8，（），（），11，12
【思路导航】在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数……依此规律，8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2=10
练习3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。（1）1，6，5，10，9，14，13，（），（）（2）13，2，15，4，17，6，（），（）
（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（），（），18，14（4）21，2，19，5，17，8，（），（）
（5）32，20，29，18，26，16，（），（），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（），（），13，486（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（），（）
（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（），（）
【例题4】在数列1，1，2，3，5，8，13，（），34，55……中，括号里应填什么数？
【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21或34－13=21
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
练习4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。（1）2，2，4，6，10，16，（），（）（2）34，21，13，8，5，（），2，（）（3）0，1，3，8，21，（），144
（4）3，7，15，31，63，（），（）（5）33，17，9，5，3，（）（6）0，1，4，15，56，（）
（7）1，3，6，8，16，18，（），（），76，78（8）0，1，2，4，7，12，20，（）
【例题5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）
【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律，□里所填的数应为：12－9=3
第30页共44页练习5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。（1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，）（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）（3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□）（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）
（6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□）（7）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21）（8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□）
第2讲一、知识要点
找规律（二）对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；
2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。
3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。二、精讲精练
【例题1】根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。
【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。
练习1：找规律，在空格里填上适当的数。
【例题2】根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？
第31页共44页【思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5×12÷10=6
4×20÷10=8
根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24.
练习2：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。
（1）
（2）（3）
【例题3】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。12345679×9=18=12345679×54=
12345679×81=
12345679×
【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣的“缺8数”，与9相乘，结果是由九个1组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包含几个111111111。
因为：12345679×9=111111111
所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=66666666612345679×81=12345679×9×9=999999999.
练习3：找规律，写得数。（1）1+0×9=9=
（2）1×1=（3）19+9×9=9=
11×11=
111×111=
111111111×111111111=
1117+987×9=11116+9876×
118+98×9=2+1×9=
3+12×9=
4+123×9=
9+12345678×
111115+98765×9=
【例题4】找规律计算。（1）81－18=（8－1）×9=7×9=63
第32页共44页（2）72—27=（7－2）×9=5×9=459=□
（3）63－36=（□－□）×9=□×
【思路导航】经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差。
练习4：
1．利用规律计算。（1）53－35－16
（5）95－59
（2）82－28
（3）92－29
（4）61
2．找规律计算。（1）62+26=（6+2）×11=8×11=88（2）87+78=（8+7）×11=15×11=165（3）54+45=（□+□）×11=□×11=□【例题5】计算（1）26×11
（2）38×11
【思路导航】一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。（1）26×11=2（2+6）6=286（2）38×11=3（3+8）8=418
注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。练习5：计算下面各题。（1）27×1111
（4）46×11（5）92×11
（2）32×11（3）39×（6）98×11
第33页共44页第3讲一、知识要点
简单推理解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条理地进行，要充分利用已经得出的结论，作为进一步推理的依据。
二、精讲精练【例题1】
一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4袋牛肉干的重等于
一包巧克力的重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？
【思路导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量=一包巧克力的重量”可推出：两袋饼干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的重量=两袋牛肉干的重量。
练习1：
（1）一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，一只梨子的重量等于几根香蕉的重量？
（2）3包巧克力的重量等于两袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量？
（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量。一只小猪的重量等于几只鸭的重量？
【例题2】一头象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量等于3匹小马的重量，一匹小马的重量等于3头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪的重量？
【思路导航】根据“一头象的重量等于4头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小马的重量”可推出：“一头象的重量等于12匹小马的重量”，而“一匹小马的重量等于3头小猪的重量”，因此，一头象的重量等于36头小猪的重量。
练习2：
（1）一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，1个菠萝的重量等于4个苹果的重量，1个苹果的重量等于两个橘子的重量。1只西瓜的重量等于几个橘子的重量？
（2）一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。已知一头牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？
（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量，两只鸭的重量等于6条鱼的重量。问：两只小猪的重量等于几条鱼的重量？
第34页共44页【例题3】根据下面两个算式，求○与□各代表多少？○＋○＋○=18○＋□=10
【思路导航】在第一个算式中，3个○相加的和是18，所以○代表的数是：18÷3=6，又由第二个算式可求出□代表的数是：10－6=4.
练习3：
（1）根据下面两个算式，求□与△各代表多少？
□＋□＋□＋□=32
○＋○＋□＋□＋□=40
（3）根据下面两个算式，求○与△各代表多少？○－△=8△＋△＋△=○
【例题4】根据下面两个算式，求○与△各代表多少？
△－○=2
○＋○＋△＋△＋△=56
【思路导航】由第一个算式可知，△比○多2；如果将第二个算式的○都换成△，那么5个△=56＋2×2，△=12，再由第一个算式可知，○=12－2=10.
练习4：
（1）根据下面两个算式求□与○各代表多少？□－○=8
△＋△＋△＋○＋○=78△＋△＋△－□－□=12
□＋□＋○＋○=20△＋△＋○＋○＋○=72□＋□＋□－△－△=2
（2）根据下面两个算式，求△与○各代表多少？（3）根据下面两个算式，求△与□各代表多少？
【例题5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运动会上他们分别获得跳高、跳远和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军，甲不是跳高冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军。问：他们三个人分别是哪个学校的？获得哪项冠军？
【思路导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的；因为“一小的不是垒球冠军”，所以一小一定是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军”，“乙既不是二小的也不是跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军，二小的丙是跳远冠军，三小的乙是垒球冠军。
练习5：
（1）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的。但不知哪一个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。只知道姓刘的
第35页共44页△－□=20
（2）根据下面两个算式，求○与□各代表多少？○＋○＋○=15
不喜欢穿红的，姓王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙子。你能猜出这三个女孩各姓什么吗？
（2）小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参加100米比赛，比赛结束后小猴说：“我比小猫跑得快。”小狗说：“小鹿在我前面冲过终点线。”小兔说：“我们的名次排在小猴前面，小狗在后面。”请根据它们的回答排出名次。
（3）五个女孩并排坐着，甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，丁坐在离甲、丙距离相等的座位上，戌坐在她两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐？
第4讲一、知识要点
巧妙求和（一）若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】
有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。练习1：
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？
【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：
1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
第36页共44页3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。练习3：计算下面各题。（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.练习4：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270
【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
第37页共44页进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1=50练习5：
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）
第5讲一、知识要点
和倍问题已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数（和－小数=大数）二、精讲精练【例题1】
学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3
倍。两种书各有多少本？
【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析：由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样
的1＋3=4份。把480本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。
480÷（1＋3）=120（本）120×3=360（本）.练习1：
1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千克？
2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？
第38页共44页3.一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？
【例题2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？
【思路导航】如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份。所以，苹果树有1200÷8=150（棵），梨树有150×3=450（棵），桃树有150×4=600（棵）.
练习2：
1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只？
2.甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。
3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？
【例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书？
【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的2×4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。所以，第一个书橱里放了
330÷11=30（本），第二个书橱里放了30×2=60（本），第三个书橱里放了60×4=240（本）。
练习3：
1．甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。
2．三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。三块钢板各重多少千克？
3．甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数数是丙队的3倍。三个队各修了多少米？
【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？
【思路导航】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是216－20=196（棵），这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以，柳树的棵数是196÷（1＋3）=49（棵），杨树的棵数是216－49=167（棵）。
第39页共44页练习4：1.粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，大米和面粉各有多少千克？
2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分。两人各得多少分？
3.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多8本，中年级分得的比低年级的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本？
【例题5】三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。三个队各筑多少米？
【思路导航】把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240米，那么三个队共筑了1360＋240=1600米，正好是乙队的2＋1＋1=4倍。所以，乙队筑了1600÷4=400米，甲队筑了400×2=800米，丙队筑了400－240=160米。
练习5：1.三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵。三个队各植树多少棵？
2.三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。三个数各是多少？
3.城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是篮球个数的2倍。篮球、足球、排球各有多少个？
第40页共44页第6讲一、知识要点
植树问题1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形：
（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1.即：
棵数=段数＋1；
（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数；
（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1.即：棵数=段数－1。
2．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：棵数=段数。二、精讲精练
【例题1】城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长多少米？
【思路导航】题中已知栽树28棵，28棵树之间有28－1=27段，每隔6米为一段，所以这条大路长6×27=162米。
练习1：
1.在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这长马路有多长？
2.同学们做早操，21个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离是40米，相邻两个人隔多少米？
3.一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树，一共要植多少棵？
【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？
【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。240÷5=48（棵）
练习2：
1.一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种多少棵杨树？
第41页共44页2.在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？
3.在一块长80米，宽60米的长方形地的周围种树，每隔4米种一棵，一共要种多少棵？
【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。
【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2=101盏，101盏彩灯把800米长的大桥分成101－1=100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。
练习3：
1.在一条长100米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相邻的两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。
2.一座长400米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔4米，从桥头到桥尾一共装了多少盏灯？
3.六年级学生参加广播操比赛，排了5路纵队，队伍长20米，前后两排相距1米。六年级有学生多少人？
【例题4】一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米？
【思路导航】根据题意，把长19－1=18米的木条锯了5次，可以锯成5＋1=6段，所以每根短木条长18÷6=3米。
练习4：
1.一个木工锯一根长17米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了4次，锯成同样长的短木条，每根短木条长几米？
2.有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？
3.有一个工人把长12米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次要5分钟。共需要多少分钟？
【例题5】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10需要多少秒？
第42页共44页【思路导航】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔，1层至3层有两个时间间隔，所以每个间隔用去的时间是30÷（3－1）=15秒，3层到10层经过了10－3=7个时间间隔，所以，他从3层到10层需要15×7=105秒。
练习5：
1.把6米长的木料平均锯成3段要6分钟，照这样计算，如果锯成6段，需要多少分钟？
2.时钟4点敲4下，6秒钟敲完。那么12点钟敲12下，多少秒钟敲完？3.一游人以等速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距离都相等，他从第一棵树走到第10棵树用了11分钟，如果这个游人走22分钟，应走到第几棵树？
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