三升四衔接教程
数 学
目 录
第一讲 加、减法的速算与巧算 第二讲 乘、除法的速算与巧算 第三讲 数字谜 第四讲 和差倍问题 第五讲 盈亏问题
第六讲 假设法—鸡兔同笼 第七讲 简单的平均数 第八讲 年龄问题
第九讲 几何图形的计数技 第十讲 植树问题 第十一讲 周期问题 第十二讲 用递推法解题 第十三讲 列表法解题
1 4 8 12 18 24 29 35 41 45 50 55 60
第一讲 加、减法的速算与巧算
【专题导引】
速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加法、减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。
在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略：转化问题法。即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或凑整从而变成一个易于算出结果的算式。
【典型例题】
例1.计算：9+99+999 101+101+101
【巩固训练1】计算下列各题。
（1）98+98+98 （2）102+102+102 （3）9+98+997+9996 （4）11+102+1003+10004
例2.计算：49+18+39+78
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【巩固训练2】计算下列各题。
（1）57+97+48 （2）96+97+98
例3.计算：489+487+483+485+484+486+488
【巩固训练3】计算下列各题。
（1）50+52+53+54+51 （2）262+266+270+268+264
（3）89+94+92+95+93+94+88+96+87 （4）381+378+382+383+379
例4.计算下面各题。
（1）248 +（152－127） （2）324－（124－97） （3）283 +（358－183）
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【点金术】如果先计算括号里的较麻烦，可以去掉括号从左至右依次计算。去括号法则：去括号时，加在前，直接去；减在前，要变符号。
【巩固训练4】计算下面各题。
（1）348+（252－166） （2）629+（320－129）
（3）462－（262－129）
例5.计算下面各题。
（1）286+879－679
【巩固训练5】
（1）368+1859－859
（3）632－385+285
（4）662－（315－238） （2）812－593+193 （2）582+393－293 （4）2756－2478+1478+244 第 3 页 共 66 页
【当堂测试1】 计算下面各题。
（1）1998+2997+4995+5994 （2）19998+39996+49995+69996
（3）1032+1028+1033+1029+1031+1030 （4）132－85+68
（5）2318+625－1318+375 （6）5623－(623－289)+452－(352－211)
第二讲 乘、除法的速算与巧算
【专题导引】
乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千……的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简单。
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【典型例题】
例1.计算：4×9×250
【点金术】2×5=10，4×25=100，8×125=1000 ，4×75=300，4×125=500小朋友们，这些公式要记住哦！
【巩固训练1】计算下面各题。
（1）7×125×8 （2）48×125
例2.计算：325÷25
【点金术】商不变性质:被除数和除数乘以（或除以）同一个非零的数，商不变，即 a÷b＝（a×n）÷（b×n） (n≠0) a÷b＝（a÷m）÷（b÷m） (m≠0)
【巩固训练2】计算下面各题。
（1）450÷25 （2）525÷25
（3）3500÷125 （4）10000÷625
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例3.计算。
（1）（360+108）÷36 （2）1÷2+3÷2+5÷2+7÷2
【点金术】当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数；反之也成立（也可称为除法分配律）。
如：（a±b）÷c＝a÷c±b÷c； a÷c±b÷c ＝（a±b）÷c
想一想：把a与b的和（或差）平均分成c份，每一份相当于把a分成c份取一份，把b分成c份取一份，再加（或减）起来。反过来呢？
【巩固训练3】
（1）（720+96）÷24 （2）（4500－90）÷45
（3）6342÷21 （4）8811÷89
例4.计算：158×61÷79×3
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【巩固训练4】
（1）238×36÷119×5 （2）138×27÷69×50
例5.计算下列各题。
（1）103×96÷16 （2）200÷（25÷4）
【巩固训练5】计算下面各题。
（1）612×366÷183 （2）1000÷（125÷4）
【当堂测试2】
（1）900÷25 （2）49500÷900
（3）25×5×64×125 （4）73÷36+105÷36+146÷36
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（5）406×312÷104÷203 （6）（13×8×5×6）÷（4×5×6）
第三讲 数字谜 【专题导引】
“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据已学过的知识，运用正确的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运算符号。由于这类题目的解答过程类似于我们平时进行的猜谜语游戏，所以，我们把这类题目称为“算式谜题”。
解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析求解，通常要运用数位分析与倒推法、凑整法、估值法等。
解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1、观察，分析:认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，根据运算法则选择有特征的部分作出局部判断。
2、列举、筛选和排除：采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字。 3、试验：应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的。 4、验算：算式谜解出后，要验算一遍。
【典型例题】
例1.在下面算式的方格里填上合适的数。
□5□ 【巩固训练1】 1、 □□ 2、 □□ 3 + 4 □7 + □□ — □□ □0 7 4 1 3 6 8
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例2.在下面算式中，“庆”、“奥”、“运”各代表什么数字？
庆 奥 【巩固训练2】 1. 好 学 生 2、 爱 数 数 数 + 奥 运 ＋ 生 学 好 － 学 学 学 奥 运 奥 4 4 4 爱
庆=（ ） 好=（ ） 爱= （ ）
奥=（ ） 学=（ ） 数＝（ ） 运=（ ） 生=（ ） 学＝（ ）
例3.下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。
腾 飞 巨=( ) 龙 腾 飞 龙=( ) +巨 龙 腾 飞
腾=( )
2 0 0 1 飞=( )
【巩固训练3】
（1） C D （2） 式 谜 A C D 填 式 谜 + A B C D +巧 填 式 谜 1 9 8 9 1 9 9 5
A＝ B＝ 巧＝ 填＝ C＝ D＝ 式＝ 谜＝
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例4. □□ 7 【巩固训练4】1、 □□ 4 2、 □□ 9
× □ × □ × □ 8 8 9 5 3 6 1 8 3 2
例5.在下面算式的方格里填上合适的数。 ７
５
０
【巩固训练5】
1、 1
5 5
０
【当堂测试3】
1、在括号里填上合适的数。 6 （ ）（ ） + 2（ ）1 5 （ ）0 9 1
2、 ４
２
６ １ ２ １
２
０
2、在方框里填上合适的数。
□ 0 □ □
－ 3 □ 1 7 2 8 5 6
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3.下列竖式中的每个不同汉字代表0~9中不同的数字，求出使得竖式成立的值。
炮 兵 兵 炮 － 兵 马 兵 马 兵 马
炮=（ ） 兵=（ ） 马=（ ） 4.在下面的方框中填上合适的数字。
（1） 6 □ （2） □ 2 □□ × 3 5 × □ 6 3 3 □ □□ 0 4 1 □ 8 □□ 7 0 □ □ □ □ □□□□□ 5.在下面的方框中填上合适的数字。
1 1
7
0 1 2
我的学习收获： .
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第四讲 和差倍问题
和差问题
1、和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。 2、和差问题的基本关系式：
已知：大的数+小的数=和 大的数-小的数=差
可求得： 大的数=（和+差）÷2， 小的数=（和-差）÷2，
关键：把大、小两数的和与差转化为两个大数（或小数）的和，然后再求另一个数。
和倍问题
1、和倍问题是已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确的列式计算。
2、解答和倍应用题的关键是找出两数的和以及与其对应的倍数和。 3、解答和倍应用题的基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）＝1倍数 ； 1倍数×倍数＝大数。
4.如果遇到三个或三个以上的数的倍数关系，也可用这个公式。（首先找最小的一个数，
做为1倍数，再找出另几个数是最小数的倍数即可）
差倍问题
前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。
1、“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍数，再画图确定解题方法.
2、解题规律：
差÷（倍数-1）=较小数 1倍数×几倍=较大的数 或：较小的数+差=较大的数。
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【典型例题】
例1. 参加体验夏令营的学生共有86人，其中男生比女生多8人，男、女生各有多少人？
【点金术】画出线段图，找出这是三种问题中的哪一种！
【巩固训练1】
1.学校排球、篮球共62个，排球比篮球多12个，排球、篮球各有多少个？
2. 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？
例2. 筐里有苹果和桔子60千克,如果从筐里取走12千克桔子,苹果就比桔子多10千克,筐里原有苹果多少千克？
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【点金术】 如果不取走桔子，苹果还比桔子多吗？画线段图找出隐含的差。
【巩固训练2】
1.果园里有桃树和梨树共50棵，桃树减少10棵，就比梨树少20棵，两种果树各有多少棵？
2.小平和小红共有零花钱20元，若小平给小红5元，则两人的钱数相等。小平和小红原来各有多少钱？
例3.甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
【点金术】 甲班和乙班总共是乙的几倍呢？画线段图找出来吧。
【巩固训练3】
1. 一个养鸡场有25只鸡，其中母鸡是公鸡的4倍，这个养鸡场有公鸡、母鸡各多少只？
2. 甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？
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例4.光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？
【点金术】 同学们，你们能不能画出线段图呢？如果男生加上40人，你有什么新发现？
【巩固训练4】
1. 果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两种树各种
了多少棵？
2. 甲、乙两数的和是80，甲数除以乙数的商是7，甲、乙 两数各是多少？
例5. 甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
【点金术】 同学们，还是要画出线段图哦！
【巩固训练5】
1.小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。小明买了苹果和
梨各多少个？
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3. 农场运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜600千克后，两种蔬菜的重量相等，农场运来
的白菜和萝卜各是多少千克？
例6. 两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？
【点金术】画出线段图，用心找到差和倍数关系，你就赢了！加油哦！
【巩固训练6】
1.商店有数量相等的英语本和数学本，英语本卖出16本，数学本卖出42本以后，英语本余下的本数是数学本的3倍。两种练习本原来各有多少本？
2. 有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根
长的3倍，两根绳子原来各长多少米？
【当堂测试4】
1.今年小刚13岁，爸爸37岁，当两人年龄和是68岁时，两人年龄各多少岁？
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2.有两块同样长的布，第一块卖出25米，第二块卖出14米，剩下的布第二块是第一块的2倍，求每块布原有多少米？
4. 一件皮衣价钱是一件羽绒衣价钱的5倍，已知一件皮衣比一件羽绒衣贵960元。皮衣和
羽绒衣各多少元？
4..小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红有 岁,妈妈有 岁.
5.小红有30支铅笔,小兰有45支铅笔,小兰给小红 支后,小红的支数是小兰的2倍.
我的学习收获： .
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第五讲 盈亏问题
【专题导引】
盈亏问题又叫盈不足问题，把一定数量的物品平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。
一盈一亏：是指把一定数量的物品平均分给一定数量的对象，如果按照某一种方案分，则分配后会有剩余（盈）；按照另一种方案分，分配后会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。 盈亏总量=盈+亏
双赢：是指把一定数量的物品平均分给一定数量的对象，如果按照某一种方案分，则分配后会有剩余（盈）；按照另一种方案分，分配后还是有剩余（盈），求物品的数量和分配对象的数量。 盈亏总量=盈+盈
双亏：是指把一定数量的物品平均分给一定数量的对象，如果按照某一种方案分，则分配后会有不足（亏）；按照另一种方案分，分配后还是有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。 盈亏总量=亏+亏
盈亏问题的基本数量关系：盈亏总量两次分配个数的差=一定数量的对象的个数。 想一想：正好分完的算盈还是亏？
【典型例题】
例1．幼儿园里的小朋友分苹果，如果每人分3个，多了16个苹果；如果每人分5个，差
4个苹果，那么幼儿园里有多少个小朋友？多少个苹果？
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【点金术】想一想，这是盈亏问题吗？是的话，是三种类型里的哪一种呢？
【巩固训练1】
1、同学们去公园植树，如果每人植2棵，则有14棵树没有植；如果每人植3棵，则少2棵树。问共有多少名学生，共有多少棵树？
2、小朋友们分玩具小汽车，若每人3个，还余下14个；若每人5个，就会少10个。请问有几个小朋友，有多少辆玩具小汽车？
例2学校买来一批图书分给各个班，如果每班分24本，要差68本；如果每班分20本。要差16本，学校共有多少个班？买来多少本图书？
【点金术】想一想，这是盈亏问题吗？是的话，是三种类型里的哪一种呢？
【巩固训练2】
1. 王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？
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2、一只猴王在猴山上给小猴子们分桃，猴王说：“每只小猴可以拿到8个桃子。”小猴子们嚷开了：“不够、不够，还差100个呢。”猴王说：“那只好每只小猴子分5个桃子了。”小猴们又嚷开了：“不够、不够，还差10个。”请问这座猴山有多少只小猴子？有多少个桃子？
例3. 有一些少先队员到山上去种一批树。如果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人种19棵，还有6棵没有种。问有多少名少先队员？有多少棵树？
【点金术】想一想，这是盈亏问题吗？是的话，是三种类型里的哪一种呢？
【巩固训练3】
1、小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背45发还多260发；另一个说每人背50发还多200发。求有多少敌人？多少发子弹？
2、杨老师将一叠练习本分给第一小组同学。如果每人分7本还多7本；如果每人分8本则正好分完。请算一算，每一小组有几个学生？这叠练习本一共有多少本？
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例4. 某校学生乘车去春游，如果每辆车坐40人，就正好差一辆车；如果每辆车坐50人，
又正好多2辆车。共有多少名学生去春游？
【点金术】---分析隐含条件：在此题中，两种方案可安排的总人数之差是间接给出的，“差一辆车”意思是“有40人无车可坐”，即“人数余40”；“多两辆车”意思是“有100个作为无人坐”即“人数不足100”。要学会对这些隐含条件进行分析。
【巩固训练4】
1．学校为新生分配宿舍.每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间.问宿舍有多少间？新生有多少人？
2．某校四年级1班同学去春游。如果每条船坐3人，就会有20人不能上船；如果每条船坐5人，正好全班学生安排好。请问他们租了几条船，共有多少个学生？
例5. 全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？
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【点金术】----全班同学去划船，人数和船数是不变的。“如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；”转化成“如果每条船上坐9个人呢，则多了一条船，也就是如果把船坐满则少了9个同学。”“如果增加一条船，每条船正好坐6个同学；”转化成“如果每条船上坐6个人，则会少一条船，也就是说如果把船坐满则多了6个同学。”
【巩固训练5】
1、全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐10个同学；如果增加一条船，每条船正好坐8个同学。这个班有多少个同学？
2、老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5个；如果增加一个同学，正好每人分得4个。求这篮苹果一共有多少个？
【当堂测试5】
1、幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？
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2、某校安排宿舍，如果每间6人，则多出10个床位；如果每间8人，则多出46个床位。问宿舍多少间？学生多少人？
3.学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。三好学生有多少人？铅笔有多少支？
4. 育才小学学生乘汽车去春游。如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。问一共有几辆汽车？有多少学生？
5. 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中2人各挖4个，
其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所有树坑。少先队员一共挖多少树坑？
我的学习收获：
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第六讲 假设法—鸡兔同笼
【专题导引】
“鸡兔同笼是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可
以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--\"假设法\"来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.
如果已知：鸡兔头数和、鸡兔脚数和，求：鸡数、兔数。
1. 假设全是鸡：那么脚的只数要比实际鸡兔脚数和少，少多少？为什么少了？ 2.以兔替换鸡：使笼中动物的头数保持不变，每次用一只兔换一只鸡，每次增加几只脚？要增加多少次才能与实际鸡兔脚数和相同？ 3.列式计算。
动动脑：如果一开始假设全是兔是不是也可以算出来？如何算？
【典型例题】
例 1.鸡兔同笼，已知鸡和兔共有35头，鸡脚与兔脚共有94只，问鸡、兔各多少只？
【点金术】-----假设与调整：“鸡兔同笼”问题是一类有名的古算题，通过常用“假设法”来解决此类问题。先假设其中一个未知量等于题中给定的两个未知量的和，然后再加以调整；从而找到正确的答案。
【巩固训练1】
1、有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
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2、鸡兔同笼，共有25个头，94只脚，笼中鸡兔各多少只？
例2.三轮车和自行车共7辆放成一排，总共有17个车轮，问：三轮车和自行车各有多少辆？
【点金术】转化成鸡兔同笼问题，用假设法解题。
【巩固训练2】
1、一个教室放着一些好凳子，都是4条腿，小英把几条只有三条腿的坏凳子也放了进去后共9条凳子31条腿，问好凳子究竟有几条？
2、买甲、乙两种戏票20张，共用去人民币4元5角，甲种票每张3角，乙种票每张2角，两种票各买了几张？
例3．小红的储钱罐里有面值2元、5元的人民币共35张，总值115元，两种面值的人民币各有多少张？
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【点金术】转化成鸡兔同笼问题：把2元和5元的张数看做“鸡和兔的只数”，把人民币的总值看做“脚的总数”，把题目理解成鸡兔同笼问题， 用假设法来分析解答。
【巩固训练3】
1、小红的储钱罐里有面值1元和10元的人民币共30张，总值120元，两种面值的人民币各有多少张？
2、50名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船
和小船各几只？
例4．刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
【点金术】同学们你们能不能把这道题转化成鸡兔同笼问题呢？试试看……
【巩固训练4】
1． 体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每
件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？
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2．日用品店晴天平均每天能卖出雨伞25把，雨天平均每天能卖出52把。该店一连多天平均每天卖34把，共卖出雨伞408把，。这些日子中晴天有多少天，雨天有多少天？
例5. 数学竞赛共10道试题，每做对一道得8分，做错一道倒扣5分，张华得了41分，
他做对了几道题？
【点金术】-----假设与调整：从假设全对入手，求出假设总分与实际总分的差，调整时应正确理解“得分”与“倒扣”的含义，注意每调整一次，总差会发生怎样的变化。
【巩固训练5】
1、数学竞赛共10道试题，每做对一道得5分，做错一道倒扣5分，张华得了30分，他做对了几道题？
2、搬运1000只玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角。但打碎一只，不仅不给搬运费，
还要赔5角，如果运完后共得运费260元，那么，搬运中打碎了多少只？
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【当堂测试6】
1、孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角，两种硬币各有多少枚？
2、鸡与兔共有20只，共有脚50只，鸡与兔各有多少只？
3、某校举行化学竞赛共有15道题，规定每对一题得10分，每错一题或不做题倒扣4分，小华在这次竞赛中共得66分，问他做对了几道题？
4、 小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张，问两种邮票各买多少张？
5、 学校有足球和篮球共26个，恰好可供120名学生同时进行体育活动，足球每6人玩一个，篮球每2人玩一个，篮球、足球各多少?
我的学习收获： .
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第七讲 简单的平均数 【专题导引】
我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均分就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用广泛，例如：求平均身高问题，求某天的平均气温等。 平均数就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数
解答平均数问题的方法：
1. 关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求平均数。
2. “移多补少”：找一个基准数，用基准数+各数与基准数的差之和÷份数=平均数。
【典型例题】
例 1、小王参加期末考试，数学得了96分，语文得了94分，那么小王同学这两科的平均分是多少分？
【点金术】根据 总数量÷总份数=平均数 得到答案。
【巩固训练1】
1、小张参加期末考试，数学得了92分，语文得了98分，那么小张同学这两科的平均分是多少分？
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2、小张参加期末考试，数学得了94分，语文得了98分，英语得了96分，那么小张同学三门考试的平均分是多少分？
例2、某小组8人在一次数学竞赛中有2人分别得到72分，有3人分别得到了79分，有3人分别得了73分，这个小组同学得平均成绩是多少?
【点金术】本题关键是弄清总分与总人数。
【巩固训练2】
1、中关村三小有15名同学参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别为93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每个人平均每分钟跳绳多少个？
2、果品店把每千克4元的酥糖5千克、每千克6元的水果糖2千克、每千克8元的牛奶糖5千克混合成什锦糖，什锦糖每千克多少元？
例 3、小刘参加期末考试，数学96分，数学与语文的平均分是95分，小刘语文考了多少分？
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【点金术】本题关键是根据平均数求得总分。
巩固训练
1、某商店第一天卖了56千克的水果，第二天也卖了一些水果。这两天平均每天卖60千克，问第二天卖了多少千克的水果？
2、高博学校四年级学生分两批外出活动，第一批26人，第二批是第一批的2倍。平均每批有多少人？
例 4、李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是83分，李华投掷得了多少分？
【点金术】这也是一种平均数的常用方法
【巩固训练4】
1、小军参加了3次数学竞赛，平均分是84分，已知前两次平均分是82分，求他第三次得了多少分？
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2、小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分，数学成绩公布后，他的平均成绩下降了1分。问小丽的数学考了多少分？
例5、把五个数从小到大排列，其平均数是38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？
【巩固训练5】
1. 甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？
2. 十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？
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【当堂测试7】
1、一学期中进行了五次数学测验，小明的得分是95，88，94，100，98.那么他的平均成绩是多少？
2、有五个同学参加折纸竞赛，前2个同学共折了46个千纸鹤，后3个同学共折了61个千纸鹤，平均每个同学折了多少个？
3、二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵，第二组有6人，共植树66
棵，第三组有6人，共植树54棵，平均每人植树多少棵？
4、小强家离学校有1200米，早上上学，他从家到学校用了15分钟，中午放学，从学校到
家用了10分钟，求小强往返的平均速度。
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5、有6个木工和一个漆工完成了一套家具生产任务。每个木工各得200元，漆工的工资比7个工人的平均工资多30元。漆工得了多少元钱？做完这套家具一共要花多少元？
我的学习收获：
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第八讲 年龄问题
【专题导引】
年龄问题是指与年龄有关的应用题。年龄问题的特点是两人的年龄差不变，例如：哥哥比弟弟大3岁，今年如此，明年如此，后年亦如此……
每人每年增长1岁，两人年龄之间的倍数关系年年都变。抓住这个特点，我们在解决问题时就办法了。
【典型例题】
例1．今年爷爷比孙子大60岁，爷爷的年龄是孙子的4倍，爷爷和孙子今年各多少岁？
【点金术】这是差倍问题在年龄中的应用。用下图表示它们的关系 60人 孙子
爷爷
【巩固训练1】
1、今年爷爷比孙子大50岁，爷爷的年龄是孙子的3倍，爷爷和孙子今年各多少岁？
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2、今年兄弟二人年龄之和是75岁，哥哥的年龄正好是弟弟的2倍。哥哥多少岁？
例2小欣今年12岁，妈妈今年36岁，几年后，妈妈的年龄是小欣的2倍？
【点金术】此题没有直接告诉妈妈和小欣的年龄差，只要先求出他们的年龄差，就可以求出当“妈妈的年龄是小欣年龄的2倍”那一年小欣的年龄，进而推算出过了几年。
【巩固训练2】
1、父亲今年45岁，儿子今年9岁，当父亲的年龄是儿子的10倍时，父子共有多少岁？
2、小强今年15岁，小亮今年9岁，问几年前小强的年龄是小亮的3倍？
例3爸爸比妈妈大5岁，一年后爸爸与妈妈的年龄和是95岁，爸爸、妈妈今年各多少岁？
【点金术】根据年龄差不变这一特点，一年后爸爸与妈妈还是差5岁这时候又知道爸爸妈
妈的年龄之和，这就是典型的和差问题。除了上面那种解法，还有没其他解法呢？
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【巩固训练3】
1、爸爸比妈妈大5岁，两年后爸爸与妈妈的年龄和是85岁，爸爸、妈妈今年各多少岁？
2、弟弟今年的岁数与姐弟两人的年龄差相等，姐姐与弟弟5年后的年龄和是40岁，姐姐和弟弟今年各多少岁？
例4妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁。问妈妈、女儿
今年各是多少岁？
【点金术】从三年前到今年，妈妈女儿都长了3岁，他们今年的年龄和为：3932（岁）， 于是问题转化成了和倍问题来解决。
【巩固训练4】
1、今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前，爸爸和儿子的年龄和是44岁。问爸爸、儿子今
年各是多少岁？
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2、今年小丽和她爸爸的年龄和38岁，3年前爸爸的年龄比小丽的9倍多2，小丽和爸爸今
年各是多少岁？
例5. 1989年妈妈的年龄是儿子的6倍，2009年妈妈的年龄是儿子的2倍，儿子今年多少
岁？
【点金术】从1989年到2009年经过了20年，儿子长了20岁，妈妈也长了20岁。假如妈妈的年龄还是儿子的6倍，儿子要增长206120岁，但只长了20岁，少了100岁。就少了6-2=4
倍。
【巩固训练5】
1、今年小明的年龄是小娟的3倍，3年后小明的年龄是小娟2倍，小明和小娟今年各有多少岁？
2、10年前父亲的年龄是儿子的7倍，15年后父亲的年龄是儿子的2被，父亲和儿子今年各是多少岁？
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【当堂测试8】
1、小红今年8岁，小刚今年14岁，几年后两个岁数和是40岁？
2、爷爷今年60岁，孙子今年6岁，再过多少年爷爷的年龄比孙子大两倍？
3. 今年小芳和她妈妈的年龄和是48岁，3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁，小芳和妈妈今年各是多少岁？
4、弟弟今年的岁数与姐弟两人的年龄差相等，姐姐与弟弟5年后的年龄和是46岁，姐姐和弟弟今年各多少岁？
5、今年小亮的年龄是小英的2倍，6年前小亮的年龄是小英的5倍，小英和小亮今年各有多少岁？
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附加题
李红问王老师的年龄，王老师风趣地说：“当我像你这么大时，你才1岁；当你像我这么大时，我已经76岁了。”王老师和李红今年各多少岁？
我的学习收获：
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第九讲 几何图形的计数技
【专题导引】计数，就是数数。图形的计数就是数一数图形的个数。包括：数线段、数角、
数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。这类问题往往具有某种规律，需要我们细心观察，认真探索，才能发现规律
【典型例题】
例1 下图中有多少条线段？
【点金术】线段的条数=
【巩固训练】
1．数一数下面的图形中共有多少条线段？ 2．数一数，下图有几条射线？
例2 数出下图中总共有几个锐角？
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【点金术】角的个数=
【巩固训练2】数出下图中共有多少个锐角 1． 2.
例3 下图中有多少个三角形？ 【巩固训练3】图中有多少个三角形? 1. 2.
例4. 数一数下图中长方形有多少个？
【点金术】一个长方形，如果长与宽都已确定下来，那么这个长方形出就被确定了。所以，长方形的个数为= 。
【巩固训练4】下图中有多少个长方形？数一数。
1. 2.
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例5. 如下图数一数图中正方形个数.
【点金术】一个大正方形的边长是2个长度单 位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个 数有：2×2=4（个），边长为2个长度单位的正 方形个数有：1×1=1（个）；边长为3个长度单位的大正方形中1个单位长度的正方形个数有：
3×3=9（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：2×2=4（个），边长为3个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个），……所以，边长为n个长度单位的正方形个数=
【巩固训练5】
1、图中有多少个正方形？ 2、 下图中有多少个正方形？
【当堂测试9】
1．数一数，下图中有多少个长方形？ 2．下图中有多少个正方形？
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3．下图中有多少个正方形？ 4、数一数下图中分别有多少个锐角。
5、 数一数,图中有多少个三角形？
我的学习收获：
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第十讲 植树问题
【专题导引】
要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，首先要牢记三要素：①总路线长.②间距（棵距）长.③棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。
关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。 1.不封闭路线,如图:
①要求在植树的线路两端都植树： 棵数=段数+1=全长÷株距+1 全长=株距×（棵数-1） 株距=全长÷（棵数-1） ②要求在路线的一端植树： 全长=株距×棵数； 棵数=全长÷株距； 株距=全长÷棵数。
③ 如果植树路线的两端都不植树， 棵数=段数-1=全长÷株距-1. 株距=全长÷（棵数+1）。
2.封闭的植树路线
例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树， 因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分 成的段数。如右图所示。
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棵数=段数=周长÷株距.
植树问题的应用：锯木头，上楼梯，方阵队列问题
【典型例题】
例1、每年的三月份是植树的好季节，在植树造林中也有有趣的数学问题。植树的情况不同，主要是由于植树线路不同。请同学们看一看，数一数下面各图中各有多少个点、多少小段。(“段”指相邻两点间的一段，也叫间隔)再想一想点数与段数在什么情况下各有什么联系。
图(1)这条线段图上有( )点，共有( )段。 图(2)这条线段图上有( )点，共有( )段。 图(3)，这个圆上有( )点，共有( )段。 由此看出，没有封闭的线段点数比段数多1。
如果是一个封闭的圆、长方形、正方形，由于头尾两端重合，它的点数与段数同样多。
【巩固训练1】1.一条射线上有5个点，射线被分成（ ）段。
2. 一条直线上有5个点，直线被分成（ ）段。
例2、 在一条长40米的马路的一边，从头到尾每隔5米种一棵树，一共可以种多少棵树？
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【巩固训练2】
1. 一条路长10米，从头到尾每隔2米植树1棵，共要植树多少棵？
2. 一条路长20米，从头到尾每隔2米植树1棵，共要植树多少棵？
例3、 一条道旁，从头到尾每隔5米种一棵树，共种101棵，这条小道有多长？
【巩固训练3】
1、街心公园一条直甬路的一侧从头到尾种海棠树，每隔10米栽一棵海棠树，共种树苗25棵，这条甬路长多少米？
2.红领巾公园内一条林荫大道全长800米，在它的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶，每两个垃圾桶之间相距多少米？
例4、 在两座楼中间每隔3米种一棵树，共种了20棵，这两座楼之间距离是多少米？
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【巩固训练4】
1、一条公路两旁植树，两端都不植。每隔10米栽一棵杉树，共栽杉树100棵，这条公路有多长？
2、一条公路两旁植树，两端都不植。每隔20米栽一棵杉树，共栽杉树100棵，这条公路有多长？
例5、 在学校400米环形跑道四周，每隔5米插彩旗一面，需要彩旗多少面？
【巩固训练5】
1. 一个圆形池塘，它的周长是300米，每隔5米栽种一棵柳树，需要树苗多少株？
2．在一个正方形池塘四周栽树，四个顶点各栽一棵，这样每边都栽有25棵，如果每相邻两棵之间相距2米，这个正方形池塘的周长有多少米？
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【当堂测试10】
1、在一条长2500米的公路一侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两端都不架设，共需电线多少根？
2、公路的每边相隔7米有一棵槐树，芳芳乘电车3分钟看到公路的一边有槐树151棵，电车的速度是每分钟多少米？
3、 在一条绿荫大道的一侧从头到尾坚电线杆，共享电线杆86根，这条绿荫大道全长1700米。每两根电线杆相隔多少米？
4、在相距100米的两楼之间栽一排树，每隔10米栽1棵，共栽几棵树？
5、一个圆形水池周围每隔2米栽一棵杨树，共栽了40棵，水池的周长是多少米？
6、游泳池周长120米，让池边每隔6米栽1棵，需要栽多少棵？
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我的学习收获：
第十一讲 周期问题
【专题导引】
在日常生活中，很多食物都出现周期性重复的现象，比如说一年四季春、夏、秋、冬；一个星期的周期是7天，将
1化成小数为.1428571428577它的循环周期是6个数字。
解答周期性问题一般有两步： 第一步找出循环周期，确定循环节；
第二步建立一个周期中序号与研究对象对应关系，用研究对象序号除以循环节，根据上述对应关系做出解答。
余数与周期的对应关系：
【典型例题】
例 1、根据下面的排列规律，算出第30个图形是什么？第60个呢？
△ △○□△△○□△△……
【点金术】把△△○□看作第一个周期，你找到了吗？
【巩固训练】
1、●○○●○○……，第48个是（ ）。
2、把1～160号卡片，依次发给小赵、小钱、小孙、小李四个人，已知1号发给小赵，问
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16号发给谁？第99号呢？
例2、 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么
颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？
【点金术】看懂除法式中商和余数代表的意思是关键。
【巩固训练2】
1、有47盏彩灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？
2、王明把平时存起来的硬币按3个壹角、2个伍角、一个壹元……的顺序排列，请问：第150枚是什么面值的硬币？
例3、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就属虎年。如果公元1年属鸡年，那么公元2010年属什么年？
【点金术】 像本题可以先把一个周期完整地排出来，以便于算出周期后能清楚地看到是属于什么年。
【巩固训练3】
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1、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。如果公元3年属猪年，那么公元2010年属什么年？
2、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。如果公元2010年属虎年，那么公元2年属什么年？
例4、 2003年1月1日是星期三，（1）该月的22号是星期几？（2）2003年4月5日是星期几？
【点金术】本题应注意的有几点：①周期是从星期三开始算起，7天为一个周期；②闰年的2月才是29天，一年是366天，不是闰年的是365天。
【巩固训练4】
1、2009年8月1日是星期四，2010年元旦是星期几？
1、2009年8月1日是星期四，2012年元旦是星期几？
例5、有一列数，5、6、2、4、5、6、2、4……（1）第129个数是多少？（2）这129个数
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相加的和是多少？
【点金术】 总个数÷周期=商（组数）……余数（最后剩下几个） 求和：每个周期的和×组数 + 最后剩下几个的和
【巩固训练5】
1、有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7……第58个数是多少？②这58个数相加的和是多少？
2、小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分，最后两个5分这样的顺序一直往下排。①他排到第111个是几分硬币？②这111个硬币和起来是多少元钱？
【当堂测试11】
1、ABCDABCD……，第36个是（ ）
2、把1～100号卡片依次发给第一小组、第二小组、第三小组，45号发给了哪个小组？
3、按2个红色、1个白色、5个绿色的摆法摆80个三角形，有 个是白色的。
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4、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？
5、2008年8月8日在北京举办第29届奥林匹克运动会，是星期五，那么一年后，即2009年8月8日是星期几？
我的学习收获： .
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第十二讲 用递推法解题
【专题导引】
在不少问题中，要很快求出结果是比较困难的，有时可先从简单情况入手，然后从某一种特殊情况逐渐推出与以后比较复杂情况之间的关系，找出规律逐步解决问题，这样的方法叫递推方法。
[典型例题]
例1、 观察分析下面各列数的变化规律，然后填空。
（1）5，9，13，17， （ ） （2）10，12，16，22，（ ） （3）1，4，9，16， （ ） （4）2，4，8，16， （ ） （5）4，5，7，11，19（ ）
【点金术】对一列数变化规律的分析，一般的思考步骤是：依次对这列数中相邻的几个数进行同样的某种四则运算，将它们的运算结果依次写下来组成新的一列数（通常这列数的变化规律是比较明显的），通过对这列数变化规律的分析，从而了解原来那列数的变化规律。
【巩固训练1】
观察下面各数列的变化规律，然后进行填空：
（1）7，14，10，12，14，9，19，5， ， ； （2）7，8，10， ，22，38； （3）5，14，41，122， ； （4）1，2，3，5，8，13，21， ；
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（5）1，2，2，4，8，32， 。 例2、 先找规律，再填数。
1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝（ ） 12345×9＋6＝（ ） 123456×9＋7＝（ ） 1234567×9＋8＝（ ） 12345678×9＋9＝（ ）
【巩固训练2】先观察下面各算式，找出规律，然后填数。
（1） 21×9＝189
321×9＝2889 4321×9＝38889 54321×9＝（ ） 654321×9＝（ ）
例3、一列数是这样排列的：1、3、1、5、1、7、1、3、1、5、1、7…。他写的第60个数是几？第100个数是几？
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【点金术】关键是发现按周期性排列的规律。
【巩固训练3】
1、一列数是这样排列的：2、4、6、9、2、4、6、9、2……他写的第50个数是几？第100
个数是几？
2、把1～100号卡片依次发给第一小组、第二小组、第三小组，第四小组，个小组？
77777例4、
100个所得积的末位数字是几？
【巩固训练4】
3333331、50个所得的积的末位数字是几？
2、、42个8连乘，积的个位数字是几？
例5、平面上有10条直线，这10条直钱最多能把圆的内部分成几部分？
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85号发给了哪
【点金术】我们可以从最小的情况入手，列举几个情况，看看有什么规律 直线数： 0、1、2、3、4、 5…… 分成的部分： 1、2、4、7、11、16……
于是我们发现规律：N条直线最多把圆内分成 部分。 【巩固训练5】
1、8条直线最多将一个圆分成几部分？
2、将一张正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作。按上述规则完成十次操作后，剪去所得小正方形的左下角。当展开这张正方形纸片后，一共有多少个洞孔？
【当堂测试12】
1．观察下面各列数的变化规律，然后进行填空： （1）64，48，40，36，34，（ ） ； （2）4，7，9，11，14，15，19，（ ）； （3）11，12，15，（ ） ，27，36；
（4）15，20，12，25，9，30，（ ） ，35，3，（ ） ； （5）3，8，15，24，35，（ ）。
2. 一个数扩大3倍,再增加70,然后减少50,得80.这个数是多少？
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3. 15条线最多把圆分成几部分？
4. 有一列数，1，1989，1988，1，1987，…从第三个数起，每一个都是他前面两个数中大数减小数的差。那么第1989个数是多少？
5．100个53连乘，积的个位数字是几？
我的学习收获：
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第十三讲 列表法解题
【知识点拨】
把应用题中的条件简单摘录下来，列表分类整理，排列，并借组这个表格进行分析，解答应用题的方法叫做列表法。
【典型例题】
例1 现有两杯果汁共400毫升，从甲杯倒入乙杯40毫升后，两杯的果汁同样多，问原来两杯果汁各有多少毫升？
【巩固训练1】
1、小明和小红两个人一共有50元钱，小明给了小红10元后，两人的钱一样多，问原来小明与小红各有多少钱？
2、冬冬和芳芳原来共有60张画片，冬冬给了芳芳5张画片后，两人的画片同样多。原来两人各有多少张画片？
例2 同学们玩扔沙袋游戏，甲、乙两班共有140只沙袋，如果甲班先给乙班5只，乙班又给甲班8只，这时两班沙袋数相等，两班原来各有沙袋多少只？
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【点金术】甲，乙两班共140只沙袋，最后两个班沙袋数相等，则两班各有70只。
【巩固训练2】
1、同学们玩扔沙袋游戏，甲、乙两班共有80只沙袋，如果甲班先给乙班3只，乙班又给甲班6只，这时两班沙袋数相等，两班原来各有沙袋多少只？
2、学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？
例3甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？
【点金术】抓住总数不变这一条件，在把每一个组还原
【巩固训练3】
1、甲、乙、丙三组共有图书120本，乙组向甲组借5本后，又送给丙组7本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？
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2、甲、乙、丙三人共有150元钱，甲向乙借了5元，又给丙8元之后，三个人的钱是相等的。问：甲，乙，丙三人原来各有多少钱？
例4 兄弟三人分24个苹果,每人所得个数分别等于其三年前各自的岁数,如果老三把所得苹果的一半平分给老大和老二,然后再把老二现有的苹果平均分给老大和老三,最后老大把现有的苹果的一半平均分给老二和老三,这时三人苹果数相等,那么兄弟三人各得多少个苹果？
【巩固训练4】
1、书架分上、中、下三层，一共分放192本书。现在从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中
层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层，这时三层所放的书本数相同。试问：这个书架的上、中、下层原来各有多少本书？
2、甲、乙、丙、丁各有故事书若干本,甲将自己的书拿出一部分分给乙、丙、丁,使他们的书增加1倍,然后,乙又拿出部分故事书分给甲、丙、丁,使他们的书增加1倍,接着丙也这样做,最后丁也这样做.此时他们手上都有32本,那么甲、乙、丙、丁原来分别有多少本书？
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例5有一张5元、4张2元和8张1元的人民币，从中取出9元钱，共有多少种不同的取法？
【点金术】如果不按一定的顺序去思考，就可能出现遗漏或重复的取法。因此，我们可以按照从大到小、从少到多的顺序，先排5元的，再排2元的，最后排1元的，通过列表可以把组成9元的情况一一列举出来。
【巩固训练5】
1、有足够的2角和5角两种人民币，要拿出5元钱，有多少种不同的拿法？
2、有2张5元、4张2元、8张1元的人民币，从中拿出12元，有几种拿法？
【当堂测试13】
1、小张和小明两人共有60个弹珠，小明拿了小张12个后，小张和小明的弹珠数一样多，问原来两人各有多少个弹珠？
2、某学校三年级有三个班，共有图书300本，现三（1）班给了三（2）班30本后，三（2）班又给了38本给三（3）班，这是三个班的图书本数相等，问原来三个班各有多少本？
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3、甲、乙、丙三组共有图书144本，乙组向甲组借5本后，又送给丙组7本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？
4、书架分上、中、下三层，一共分放144本书。现在从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层，这时三层所放的书本数相同。试问：这个书架的上、中、下层原来各有多少本书？
5、有足够的2角和5角两种人民币，要拿出3元钱，有多少种不同的拿法？
我的学习收获：
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