广东省2019届高三数学模拟试题（一）理（含解析）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A.
，B.
，则
C.
（ ）
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出集合A，B，再求两集合的交集即可． 【详解】在集合A中在集合B中y＝2在（则A∩B＝（0，3）． 故选：D．
【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，也考查了指数函数的值域，属于基础题． 2.复数A.
（为虚数单位）的虚部为（ ）
B.
C.
D.
x
，得x＜3，即A＝（，3），
，3）递增，所以0＜y＜8，即B＝（0，8），
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案． 【详解】故选：A
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题． 3.双曲线A. 【答案】A 【解析】 【分析】
的焦点坐标为（ ）
B.
C.
D.
=
，所以z的虚部为
．
将双曲线化成标准方程，可得，，即可得焦点坐标．
【详解】将双曲线化成标准方程为： ，得，，所以
，所以
．
故选：A
，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题． 4.记为等差数列A. 4 【答案】B 【解析】 【分析】
设等差数列{an}的公差为d，首项为
运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可．
，
，
的前项和，若
B. 5
，
，则C. 6
（ ）
D. 7
【详解】设等差数列{an}的公差为d，首项为，由得2a1+8d＝34，4a1+×4×3d＝38，解得d＝3，故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想以及运算能力，属于基础题． 5.已知函数式A. 【答案】D 【解析】 【分析】 当的解集. 【详解】当
时，由
=
，得
或
（舍），又因为函数
在
时，由
=
，得
，由函数
单调性的性质，即可得
在
上单调递减，且当
时，
，则关于的不等
的解集为（ ）
B.
C.
D.
上单调递减，
所以故选：D
的解集为.
【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是理解函数单调性的性质，属于基础题． 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 2 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 4 C. 6 D. 8
由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积．
【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为故选：B．
2＝4．
3
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题．
7.设x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是（ ）
A. S＝2，这5个数据的方差 C. S＝10，这5个数据的方差 【答案】A 【解析】 【分析】
根据程序框图，得输出的S是5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．
【详解】根据程序框图，输出的S是x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22这5个数据的方差，因为∴由方差的公式S＝故选：A．
【点睛】本题通过循环结构的程序框图考查了均值和方差，属于基础题． 8.已知，，三点不共线，且点满足A. C. 【答案】A 【解析】 【分析】
运用向量的减法运算，把已知等式中的向量【详解】已知
=
以故选：A
【点睛】本题考查了向量减法的运算，也考查了向量的线性表示，属于中档题． 9.在数列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n•2n，则an＝（ ） A. （n﹣2）•2n 【答案】A
B. 1﹣
C. （1﹣）
D. （1﹣）
, ，
，
换为满足
）
（
）+
表示
，整理后可求结果。
，所以=，所
B. D.
，则（ ）
，
．
B. S＝2，这5个数据的平均数 D. S＝10，这5个数据的平均数
三点不共线，且点
+
=
【解析】 【分析】
利用累加法和错位相减法求数列的通项公式． 【详解】∵an+1＝an+n•2，∴an+1﹣an＝n•2，且a1＝﹣2 ∴an﹣a1＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+…+a2﹣a1＝（n﹣1）•2∴2（an﹣a1）＝（n﹣1）•2+（n﹣2）•2
n
n﹣1
3n﹣1
n
n
+…+2•2+1•2，①
2
21
+…+2•2+1•2，②
①-①得﹣（an﹣a1）＝﹣（n﹣1）•2n+2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+2 ＝﹣（n﹣1）•2n+
n
n
﹣（n﹣1）•2n﹣2+2n，
n
∴an﹣a1＝（n﹣1）•2+2﹣2，所以an＝（n﹣2）•2 故选：A．
【点睛】本题考查了数列递推式求通项公式，利用了累加法和错位相减法，属于中档题． 10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（ ）（参考数据：
2.236）
A. 0.236 【答案】A 【解析】 【分析】
由勾股定理可得：AC＝为
B. 0.382 C. 0.472 D. 0.618
，由图易得：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得概率约
＝0.236．
，由图可知：BC＝CD＝1，AD＝AE＝
≈1.236，
【详解】由勾股定理可得：AC＝
BE≈2﹣1.236＝0.764，则：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得：使得BE≤AF≤AE的概率
约为＝故选：A．
=0.236，
【点睛】本题考查了勾股定理、几何概型求概率的问题，属于基础题．
11.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+（ω≥0，|φ|＜π）的图象与直线y＝c（＜c＜）的三个相邻交点的横坐标为2，6，18，若a＝f（lg），b＝f（lg2），则以下关系式正确的是（ ） A. a+b＝0 【答案】C 【解析】 【分析】
根据正弦函数的性质得出函数f（x）的周期及对称轴，解出f（x）的解析式，利用正弦函数的奇偶性，结合lg与lg2的关系即可判断．
【详解】由正弦函数的性质可知f（x）的周期T＝18﹣2＝16，∴ω＝轴为x＝
＝4．且f（4）＝
+．∵lg＝﹣lg2．∴a＝sin（
，f（x）的对称
B. a﹣b＝0
C. a+b＝1
D. a﹣b＝1
，因为|φ|＜π，φ＝0． ）+，b＝sin（﹣
）+＝﹣sin
∴f（x）＝sin（
）+，∴a+b＝1．
故选：C．
【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质，对数的运算性质，函数奇偶性的应用，属于中档题．
12.已知函数f（x）＝（kx+）ex﹣2x，若f（x）＜0的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为 （ ）
A. [C. [
，） ）
B. （D. [
，] ）
【答案】A 【解析】 【分析】
把f（x）＜0转化为（kx+）e＜2x，即kx+＜ ，令g（x）＝，利用导数研究g（x）的单调性，数形结合得答案．
【详解】由f（x）＜0，得（kx+）ex＜2x，即kx+＜
，令g（x）＝
，则g′（x）＝
x
，当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜
0．∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．作出函数g（x）与y＝kx+的图象如图：y＝kx+的图象过定点P（0，），A（1，），B（2，），∵
，
．∴实数k的取值范围为[
故选：A．
，）．
【点睛】本题考查函数零点的判定，利用导数研究其单调性与最值，考查转化思想和数形结合的方法，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.
的展开式中，
的系数为__________．
【答案】60 【解析】 【分析】
利用二项式展开式通项确定满足条件的系数．
【详解】二项式（2x+y）6的展开式中，展开式的含x2y4的项为的项的系数是60. 故答案为：60．
【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，属于基础题． 14.设
满足约束条件
则
的最大值为__________．
，所以含x2y4
【答案】7 【解析】 【分析】
作出可行域，由目标函数变型得y＝﹣2x+z，根据可行域找出最大值即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域如图所示：
由目标函数z＝2x+y得y＝﹣2x+z，
由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，截距最大，即z最大． 解方程组
得x＝3，y＝1，即B（3，1）．
∴z的最大值为2×3+1＝7． 故答案为：7．
【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查数形结合思想，属于中档题． 15.已知三棱锥P﹣ABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为
，以顶点P为球心,以2为
半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于_____
【答案】【解析】 【分析】
根据数形结合和弧长公式求解即可. 【详解】如图所示，
，
为等腰直角三角形，且的
分别交于，
＝
.以顶点P为=，所以
球心,以2为半径作一个球与
，∴
×
，同理
,得AN＝1， .
是以顶点P为圆心,以2
为半径的圆周长的 ,所以和等于故答案为：
．
．
，球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之
【点睛】本题考查球面距离及相关计算、正方体的几何性质，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于中档题． 16.已知为抛物线：
的焦点，曲线是以为圆心，为半径的圆，直线
，则
___．
与曲线，从左至右依次相交于
【答案】【解析】 【分析】 由直线
过焦点F，得|RS|＝|SF|﹣＝+﹣＝+，|PQ|＝|PF|﹣＝+
﹣＝+ ，求出S，P的纵坐标代入即可. 【详解】
从左至右依次相交于
，所以
，
，因为直线 .由直线
与曲线，过抛物线：
的焦点F，所以|RS|＝|SF|﹣＝+﹣＝+，|PQ|＝|PF|﹣＝+﹣＝
+， = .
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分 17.
的内角
的对边分别为
，已知
.
（1）求； （2）若在边【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由正弦定理和辅助角公式化简求解即可； （2）由正弦定理和三角形的面积求得【详解】（1）在所以又所以
，所以
中，因为
. ，
， 的a，b，c，在
，
中，由余弦定理得
.
上，且；（2）
，.
，
，求
.
则即因为因为（2）因为所以所以因为即在所以
，
，，所以，所以，所以
.
，即
.
，
.
，不妨设
，
，
.
，所以
，，解得
. ，
，因为，所以，. ，
中，由余弦定理得
.
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，也考查了三角形的面积公式和辅助角公式的化简，属于中档题. 18.已知五面体二面角
中，四边形
的大小为
.
为矩形，
，
，且
（1）证明：（2）求二面角
平面； 的余弦值.
.
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）先证定定理得
平面平面
，由线面平行的性质定理得，从而得A
平面
；
，所以由线面垂直的判
（2）以为坐标原点，以所在的直线为轴，过平行于的直线为轴，所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系，
【详解】（1）在五面体因为因为为因为
（2）过点作
平面平面，
，
中，四边形平面
，所以平面，所以平面
，又
，
为矩形，所以平面，所以
，
，又
，.
，平面，，所以
，故.因
，所以平面.
的
，垂足为，以为坐标原点，以所在的直线为轴，过平行于
，平面
直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面的法向量，利用向量法求解即可.
则，，
，，，
，
，
，则
即
设平面的一个法向量为
，
不妨令设平面不妨令由图知二面角
，则的一个法向量为，则
.
，则
，则
为锐角，所以二面角
即
.
的余弦值为
.
【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和线面垂直的判定定理，利用向量法解二面角的问题，属于中档题. 19.已知点
，
都在椭圆：
上.
（1）求椭圆的方程； （2）过点
的直线与椭圆交于不同的两点，（异于顶点），记椭圆与轴的两个交
与
交于点，证明：点恒在直线
上.
点分别为，，若直线
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）把点
，
；（2）见解析.
代入椭圆方程，得即可；
（2）设直线
，的方程，得
，联立得，，联立直线和
，把韦达定理代入化简即可.
【详解】（1）由题意得，得，故椭圆的方程为.
（2）由题意可设直线的方程为联立
整理得
，
.
，.
所以则
由题意不妨设直线
的方程为
，.① ，
，
，则直线.
的方程为，
联立整理得，
所以
把①代入上式，得当意.
综上，故点恒在直线
上.
时，可得
，当
.
时，易求
，即
， 不符合题
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，也考查了韦达定理的应用，属于中档题.
20.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了
驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表： 考试情况 第1次考科目二人数 第1次通过科目二人数 第1次未通过科目二人数
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望. 【答案】（1）【解析】 【分析】
事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中
）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；
（2）补考费用之和为元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望．
【详解】事件表示男学员在第次考科目二通过， 事件表示女学员在第次考科目二通过（其中
（1）事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
）.
；（2）见解析.
男学员 1200 960 240 女学员 800 600 200
.
（2）的可能取值为400，600，800，1000，1200.
，
.
则的分布列为： 故
(元).
400 600 800 1000 1200 ，
，
，
【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题. 21.已知函数（1）讨论（2）当
的单调性； 时，.
【答案】（1）单调递减区间为【解析】 【分析】
（1）利用导数求函数的单调性即可； （2）对
求导，得
，因为
，所以
，令
，求
，单调递增区间为
；（2）见解析.
，记函数
在
上的最大值为，证明：
.
导得在上单调递增， ，使得，进而得，令
在上单调递增，在 ，求导得
在
上单调递减；所以
上单调递增，进而求得m的范围.
【详解】（1）因为
时，
故
的单调递减区间为
时，
，
，单调递增区间为
， ，
时，
，令，所以
在
， 上单调递增， ，所以
，当时，；当
.
（2）当则当则
因为，，
所以存在故当当即则
在
，使得时，时，
，此时，此时
，即
； .
，即.
上单调递增，在上单调递减.
.
令，，则.
所以故
在上单调递增，所以成立.
，.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系
中，曲线的参数方程为
（为参数），已知点
，
点是曲线上任意一点，点为标系.
的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐
（1）求点的轨迹的极坐标方程； （2）已知直线：【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）设
，
，且
，由M为
的中点，得x=
，y=
，整理得
与曲线交于
；（2）
两点，若
.
，求的值.
，化为极坐标即可；
（2）把直线：即
， 联立
，
化成极坐标方程为
，设，得.且点
，，代入，由点为
的中点，所以，因为
，得
即可.
，
【详解】（1）设
整理得.即，
化为极坐标方程为（2）设直线：即联立
.
整理得的极坐标方程为
.
.设
，
，因为
，所以
，
.
则解得.
所以，则.
【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹的方法，极坐标方程的应用，属于中档题. 23.已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|． （1）当a＝2时，解不等式f（x）＞4．
（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值． 【答案】（1）{x|x＜﹣，或 x＞0}；（2）【解析】
.
【分析】
（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．
（2）由题意可得，x＝2是方程f（x）＝3x+4的解，即|2﹣a|+6＝6+4，求得a＝6，或 a＝﹣2．检验可得结论．
【详解】（1）当a＝2时，不等式f（x）＞4，即|x﹣2|+2|x+1|＞4， ∴①
，或 ②
，或 ③
．
解①求得x＜﹣，解②求得x＞0，解③求得x≥2， 故原不等式的解集为{x|x＜﹣，或 x＞0}．
（2）不等式f（x）＜3x+4，即|x﹣a|+2|x+1|＜3x+4，
∵不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，故x＝2是方程f（x）＝3x+4的解， 即|2﹣a|+6＝6+4，求得a＝6，或 a＝﹣2．
当a＝6时，求得f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，满足题意；
当a＝﹣2时，求得f（x）＜3x+4的解集不是{x|x＞2}，不满足题意，故a＝﹣2应该舍去． 综上可得，a＝6．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．
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