课后习题答案

转矩阵．

解:坐标系{B}相对自身坐标系（动系)的当前坐标系旋转两次,为相对变换，齐次变换顺

序为依次右乘。

AB对P描述有 APABTP ;

其中 BTRot(z,)Rot(x,) .

A９。 图２—10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2—10b所示位置。

（1)用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。

(２）作图说明每个从右至左的变换序列。 (3）作图说明每个从左至右的变换序列。

解:(1)方法1:如图建立两个坐标系{o1x1y1z1}、{o2x2y2z2}，与2个楔块相固联。

图1:楔块坐标系建立(方法1）

对楔块１进行的变换矩阵为:T1Rot(y,90)Rot(z,90) ；

对楔块2进行的变换矩阵为：

ooT2Trans(3,0,4)Rot(z,90o)02TRot(x,90)Rot(z,180) ;

100其中 2T00000105 ; 010001010001100000 ；T201010000100020 4101所以 ：T100方法２:如图建立两个坐标系{o1x1y1z1}、{o2x2y2z2}与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。

图１：楔块坐标系建立（方法2）

对楔块１进行的变换矩阵为：T1Rot(y,90)Rot(z,90) ； 对楔块2进行的变换矩阵为:

T2Trans(2,0,9)Trans(4,0,0)Rot(y,90o)Rot(x,180o)Rot(z,90o) ;

01所以 :T100010001100000 ;T201010000100020 。 91备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同．

(２）、(３)略。

2. 图３—11 给出一个3自由度机械手的机构。轴1和轴２垂直．试求其运动方程式。 解：方法1建模：

如图3建立各连杆的坐标系．

图3:机械手的坐标系建立

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数,见表１。

表1:机械手的连杆参数

连杆 i 90o ai di i 1 2 L1 L2 0 0 1 2 3 0 3 0 0 0 该3自由度机械手的变换矩阵: 0T3A1A2A3 ;

c1sA1100c3sA3300010s100c3000c1L1c1c2sL1s1 ; A2200100000 ； 1001c1c2s3c1s2c3s1c2s3s1s2c3s2s3c2c30s2c2000L2c20L2s2 ; 1001s3c1c2c3c1s2s3sccsss1230T3123s2c3c2s30s1c100L1c1L2c1c2L1s1L2s1c2L2s21

方法二进行建模：

坐标系的建立如图4所示。

图4：机械手的坐标系建立

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数,见表2。

表2:机械手的连杆参数

连杆 i1 0 90o ai1 di i 1 2 0 L1 0 0 1 2 3 3

c1sA1100c3sA33000 L2 0 s100c20c100 ; A2s20100010s3c3000L200; 1001c1c2s3c1s2c3s1c2s3s1s2c3s2s3c2c30s20c20L110 ； 00010c1c2c3c1s2s3sccsss1230T3123s2c3c2s30s1c100L1c1L2c1c2L1s1L2s1c2

L2s213。 图3-１2 所示3 自由度机械手，其关节1与关节2相交,而关节2与关节3平行.图中所示关节均处于零位。各关节转角的正向均由箭头示出.指定本机械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵0T1，1T2和2T3。

解:对于末端执行器而言,因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。 方法1建模:

按照方法1进行各连杆的坐标系建立,建立方法见图5。

图５:机械手的坐标系建立

连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合.机械手的D—H参数值见表３.

表3:机械手的连杆参数

连杆 i 90o ai di i 1 2 0 L3 L1L2 1 2 3 0 0 3 末端执行器 0 0 L4 0 0 0 4 注:关节变量 12340 。

将表３中的参数带入得到各变换矩阵分别为:

100T10010010;1T2010L1L2001000L410100; 3T末0010001000000L3100; 010001000100 010001102T300方法2建模:

按照方法２进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图６.

图6：机械手的坐标系建立

3自由度机械手的Ｄ-H参数值见表4。

表4:机械手的连杆参数

连杆 i1 0 90o ai1 di i 1 2 0 0 L3 L1L2 1 2 3 0 3 末端执行器 0 0 0 0 L4 4 注:关节变量 12340 .

将表４中的参数带入得到各变换矩阵分别为：

100T100101001； T2001L1L200100000010; 10000100102T30000L310011003; T末00010001000L400 1001001. 已知坐标系{C}对基座标系的变换为:C10104013；对于基座标系的微分平000001移分量分别为沿X轴移动0。5，沿Y轴移动0,沿Z轴移动1;微分旋转分量分别为0。1,0。２和０.

（1） 求相应的微分变换；

（2） 求对应于坐标系{C}的等效微分平移与旋转。 解：(1）对基座标系的微分平移：d[0.5,0,1]T;

对基座标系的微分旋转： [0.1,0.2,0]T;

00.20.50000.10； 0.20.1010000000.50.20.1000 相应的微分变换：dcc00.20.10.50000 （2)由相对变换C可知n、o、a、p,

cdxn((p)d)0.5；cdyo((p)d)0.5;cdza((p)d)0

cxn0;cyo0.1;cza0.2

对应于坐标系{C}的等效微分平移：cd[0.5;0.5;0];微分旋转：c[0;0.1;0.2]。 2. 试求图３.１１所示的三自由度机械手的雅可比矩阵,所用坐标系位于夹手末端上，其姿态与第三关节的姿态一样． 解:设第３个连杆长度为L3。

1)使用方法1建模,末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合,使用微分变换法。

图7：机械手的坐标系建立

表5:D—H参数表

连杆 i 90o ai di i 1 2 L1 L2 L3 0 0 1 2 3 0 3 末端执行器 0 0 0 0 0 0 c1c(23)c1s(23)s1sc()ss()c12310T末123s(23)c(23)0000c(23)s(23)s()c()231T末230000L1c1L2c1c2L3c1c(23)L1s1L2s1c2L3s1c(23);

L2s2L3s(23)10L2c2L3c(23)0L2s2L3s(23);

1001c3s2T末300s3c3000L3c30L3s3;3T末TE；

末10末01由上式求得在末端执行器坐标系{末}下的雅可比矩阵:

L2s3LcL3230末J0010L30001000000； 000011因为末端执行器的坐标系位姿与第三关节的姿态一样，所以{末}与{3}的关节变量qqq0,真正作用的关节变量为1、2、3,所以在末J中第四列对计算结果无影响，可去掉.

2)使用方法2建模,使用微分变换法。

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图８:机械手的坐标系建立

表6：Ｄ-H参数表

连杆 i1 ai1 di i 1 2 0 90o 0 L1 L2 L3 0 0 0 1 2 3 3 末端执行器 0 0 0 0 c1c(23)c1s(23)s1sc()ss()c12310T末123s(23)c(23)0000L1c1L2c1c2L3c1c(23)L1s1L2s1c2L3s1c(23)；

L2s2L3s(23)1c(23)s(23)0L1L2c2L3c(23)00101; T末s(23)c(23)0L2s2L3s(23)0001c3s2T末300s3c3000L2L3c3100L3s33;T末01001000L3100;末TE;

末010001由上式求得在末端执行器坐标系{末}下的雅可比矩阵：

0L2s30L2c3L3LL2c2L3c(23)0末J1s(23)0c(23)0010L30001000;001

因为末端执行器的坐标系位姿与第三关节的姿态一样,所以{末}与{3}的关节变量qqq0,真正作用的关节变量为1、2、3,所以在末J中第四列对计算结果无影响,可去掉。

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