高二数学导数 平均变化率与瞬时变化率知识精讲 试题

阳芡明

高二数学导数 平均变化率与瞬时变化率知识精讲

单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明

一. 本周教学内容：

二. 本周教学目的：

1、理解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵． 2、通过函数图象直观理解导数的几何意义．

三. 本周知识要点： 〔一〕平均变化率

1、情境：观察某某天的气温变化图

导数——平均变化率与瞬时变化率

T (℃) 30 20 10 A (1, 3.5) 2 0 2 10 20 C (34, 33.4) B (32, 18.6) 30 34 t(d)

2、一般地,函数f〔x〕在区间[x1，x2]上的平均变化率

f(x2)f(x1)

x2x1平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化〞，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化〞．

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〔二〕瞬时变化率——导数

1、曲线的切线

如图，设曲线c是函数yf(x)的图象，点P(x0,y0)是曲线 c 上一点作割线PQ，当点Q

沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线 yy=f(x)QyPOxMx

割线PQ的斜率为kPQ趋近于点P的斜率．

f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)，即当x0时，无限

xx2、瞬时速度与瞬时加速度

1〕瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻〔某一位置〕的速度，叫做瞬时速度. 2〕确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：

要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.

当位移足够小时，物体在这段时间是内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度．

我们如今已经理解了一些关于瞬时速度的知识，如今已经知道物体做直线运动时，它的运

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动规律用函数表示为s＝s〔t〕，也叫做物体的运动方程或者位移公式，如今有两个时刻t0，t0+Δt，如今问从t0到t0+Δt这段时间是内，物体的位移、平均速度各是：

位移为Δs＝s〔t0+Δt〕－s〔t0〕〔Δt称时间是增量〕

平均速度vss(t0t)s(t0) tt根据对瞬时速度的直观描绘，当位移足够小，如今位移由时间是t来表示，也就是说时间是足够短时，平均速度就等于瞬时速度.

如今是从t0到t0+Δt，这段时间是是Δt. 时间是Δt足够短，就是Δt无限趋近于0．当

Δt→0时，位移的平均变化率

在t＝ t0的瞬时速度 s(t0t)s(t0)无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体

t同样，计算运动物体速度的平均变化率

v(t0t)v(t0)，当Δt→0时，平均速度

tv(t0t)v(t0)无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t＝ t0时的瞬时加速度．

t3、导数

设函数yf(x)在〔a,b〕上有定义，x0(a,b)．假设x无限趋近于0时，比值

yf(x0x)f(x0)无限趋近于一个常数A，那么称f〔x〕在x＝x0处可导，并称该常数xx'A为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)．

几何意义是曲线yf(x)上点〔x0,f(x0)〕处的切线的斜率．

导函数〔导数〕：假如函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个

x(a,b)，都对应着一个确定的导数f'(x)，从而构成了一个新的函数f'(x)，称这个函数f'(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y'．

例1、水经过虹吸管沉着器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)520.1t〔单位：

cm3〕，计算第一个10s内V的平均变化率．

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解：在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为

V(10)V(0)1002.550.25cm3 103即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为0.25cm．

例2、函数f(x)2x1，g(x)2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数f(x)及

g(x)的平均变化率．

解：函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为

f(1)f(3)2

(1)(3)g(x)在[－3,－1]上的平均变化率为 g(1)g(3)2

(1)(3)函数f(x)在[0，5]上的平均变化率为

f(5)f(0)2

50g(x)在[0，5]上的平均变化率为

g(5)g(0)2

50

例3、函数f(x)x，分别计算函数f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]

2单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：

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上的平均变化率．

解：函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为

f(3)f(1)4

31函数f(x)在[1，2]上的平均变化率为

f(2)f(1)3

21函数f(x)在[1，1.1]上的平均变化率为

f(1.1)f(1)2.1

1.11函数f(x)在[1，1.001]上的平均变化率为

f(1.001)f(1)2.001

1.0011

例4、物体自由落体的运动方程s＝s〔t〕＝

12

gt，其中位移单位m，时间是单位s，g＝9.8 2m/s. 求t＝3这一时段的速度.

2

解：取一小段时间是［3，3+Δt］，位置改变量Δs＝

11gg〔3+Δt〕2－g·32＝〔6+Δ222t〕Δt，平均速度vs1g〔6+Δt〕 t2当Δt无限趋于0时，v无限趋于3g＝29.4 m/s．

例5、质点M按规律s＝2t+3做直线运动〔位移单位：cm，时间是单位：s〕，

2

〔1〕当t＝2，Δt＝0.01时，求

s. ts. t〔2〕当t＝2，Δt＝0.001时，求

〔3〕求质点M在t＝2时的瞬时速度.

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分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间是的改变量，

s即平均速度，当Δt越小，求出t的

s越接近某时刻的速度. tss(tt)s(t)2(tt)23(2t23)解：∵＝4t+2Δt ttt∴〔1〕当t＝2，Δt＝0.01时，

s＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s． t〔2〕当t＝2，Δt＝0.001时，

s＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s． t〔3〕 Δt0， 〔4t+2Δt〕＝4t＝4×2＝8 cm/s

例6、曲线的方程为y＝x+1，那么求此曲线在点P〔1，2〕处的切线的斜率，以及切线的方程．

解：设Q〔1+x，2+x〕，那么割线PQ的斜率为：

2

f(1x)f(1)(1x)21(121)

xx(x)22xx2

xx0,斜率为2

∴切线的斜率为2．

切线的方程为y－2＝2〔x－1〕，即y＝2x．

【模拟试题】

1、假设函数f〔x〕＝2x+1，图象上P〔1,3〕及邻近点Q〔1+Δx,3+Δy〕， 那么A. 4 B. 4Δx C. 4+2Δx D. 2Δx

2

y＝〔 〕 x单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：

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2、一直线运动的物体，从时间是t到tt时，物体的位移为s，那么t0时，s为

t〔 〕

A. 从时间是t到tt时，物体的平均速度； B. 在t时刻时该物体的瞬时速度； C. 当时间是为t时物体的速度； D. 从时间是t到tt时物体的平均速度 3、曲线y＝2x上一点A〔1，2〕，求〔1〕点A处的切线的斜率.〔2〕点A处的切线方程. 4、求曲线y＝x+1在点P〔－2，5〕处的切线方程． 5、求y＝2x+4x在点x＝3处的导数．

6、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s＝s〔t〕＝t〔位移单位：m，时间是单位：s〕，求小球在t＝5时的瞬时速度 2

2

2

2

7、质点M按规律s＝2t+3做直线运动〔位移单位：cm，时间是单位：s〕，求质点M在t＝2时的瞬时速度．

2

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[参考答案]

1、B 2、B

f(1x)f(1)2(1x)22123、解：〔1〕x0时，k＝

xx4x2(x)2(42x)4

x∴点A处的切线的斜率为4.

〔2〕点A处的切线方程是y－2＝4〔x－1〕即y＝4x－2

f(2x)f(2)(2x)21(2)214、解：x0时，k＝

xx4x(x)2(4x)4

x∴切线方程是y－5＝－4〔x+2〕，即y＝－4x－3.

5、解：Δy＝2〔3+Δx〕+4〔3+Δx〕－〔2×3+4×3〕＝2〔Δx〕+16Δx，222

y＝2Δx+16 x∴x0时，y′|x＝3＝16

22s(5t)s(5)(5t)5〔10+Δt〕＝10 m/s. 6、解：t0时，瞬时速度v＝

tt∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.

s(2t)s(2)2(2t)23(2223)7、解：t0时，瞬时速度v＝＝〔8+2Δt〕＝tt8cm/s

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