带电粒子在磁场中运动之多解与周期运动问题

考点4.7 周期性与多解问题

1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．

如图6甲所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b.

2．磁场方向不确定形成多解：有些题目只已知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．

如图乙所示，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b.

3．临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图丙所示．

4．运动的周期性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图丁所示．

一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，其中M板带正电荷，N板带等量负电荷.质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P处由静止释放，经N板的小孔S以速度v沿半径SO方向射入磁场中.粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S孔射出.设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：

(1) M、N间电场强度E的大小； (2) 圆筒的半径R.

(3) 保持M、N间电场强度E不变，仅将M板向上平移，粒子仍从M板边缘的P处由

静止释放粒子自进入圆筒至从S孔射出期间，与圆筒的碰撞次数n。

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1. 如图所示，在纸面内有磁感应强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，虚线等边三角形

ABC为两磁场的理想边界。已知三角形ABC边长为L，虚线三角形内为方向垂直纸面向外

的匀强磁场，三角形外部的足够大空间为方向垂直纸面向里的匀强磁场。一电量为+q、质量为m的带正电粒子从AB边中点P垂直AB边射入三角形外部磁场，不计粒子的重力和一切阻力，试求：

(1) 要使粒子从P点射出后在最快时间内通过B点，则从P点射出时的速度v0为多大？

(2) 满足（1）问的粒子通过B后第三次通过磁场边界时到B的距离是多少？

(3) 满足（1）问的粒子从P点射入外部磁场到再次返回到P点的最短时间为多少？画出粒子的轨迹并计算。

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2. 如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、

与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B．折线的顶角A90，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力。 （1） 若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，

（2）（3）

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能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，求其电场强度。

撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线

的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？

求第（2）中微粒从P点到达Q点所用时间的最小值． 实用标准文档

3. 如图所示，在xOy平面内存在I、II、III、IV四个场区，y轴右侧存在匀强磁场I，y轴左侧与虚线MN之间存在方向相反的两个匀强电场，II区电场方向竖直向下，III区电场方向竖直向上，P点是MN与x轴的交点。有一质量为m，带电荷量+q的带电粒子由原点O，以速度v0沿x轴正方向水平射入磁场I，已知匀强磁场I的磁感应强度垂直纸面向里，大小为B0，匀强电场II和匀强电场III的电场强度大小均为EB0v0，如图所示，IV区的磁场4垂直纸面向外，大小为

8mv0B0，OP之间的距离为，已知粒子最后能回到O点。

qB02（1） 带电粒子从O点飞出后，第一次回到x轴时的位置和时间； （2） 根据题给条件画出粒子运动的轨迹；

（3） 带电粒子从O点飞出后到再次回到O点的时间。

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4. 如图所示，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°的有界匀强电场，电场强度大小未

知；MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B.今从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R.若该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN，而第五次经过直线

MN时恰好又通过O点．不计粒子的重力．求：

(1) 电场强度E的大小；

(2) 该粒子第五次从O点进入磁场后，运动轨道的半径。

(3) 该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间。

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5. 在如图所示，xOy坐标系第一象限的三角形区域（坐标如图中所标注）内有垂直于纸面向

外的匀强磁场，在x 轴下方有沿＋y方向的匀强电场，电场强度为E。将一个质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）从P（0，－a）点由静止释放。由于x轴上存在一种特殊物质，使粒子每经过一次x轴速度大小变为穿过前的

2倍。 2应强度B0最小是多少？

（1） 欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感

（2） 在磁感应强度等于第（1）问中B0的情况

下，求粒子在磁场中的运动时间；

（3） 若磁场的磁感应强度变为第（1）问中B0

的2倍，求粒子运动的总路程。

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6. 如图所示，在xOy平面的第一象限内，分布有沿x轴负方向的场强E=

44

×10N/C的匀强3电场，第四象限内分布有垂直纸面向里的磁感应强度B1=0.2 T的匀强磁场，第二、三象限内分布有垂直纸面向里的磁感应强度B2的匀强磁场。在x轴上有一个垂直于y轴的平板OM，平板上开有一个小孔P，P处连接有一段长度d=lcm内径不计的准直管，管内由于静电屏蔽没有电场。y轴负方向上距O点3cm的粒子源S可以向第四象限平面内各个方向发射a粒子，假设发射的a粒子速度大小v均为2×10m/s，此时有粒子通过准直管进入电场, 打到平板和准直管管壁上的a粒子均被吸收。已知a粒子带正电，比荷为

5

q7

=5×l0C/kg，m重力不计，求：

(1) a粒子在第四象限的磁场中运动时的轨道半径和粒子从S到达P孔的时间；

(2) 除了通过准直管的a粒子外，为使其余a粒子都不能进入电场，平板OM的长度至少是多长？

(3) 经过准直管进入电场中运动的a粒子，第一次到达y轴的位置与O点的距离； (4) 要使离开电场的a粒子能回到粒子源S处，磁感应强度B2应为多大？

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7. 如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平

直径。两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。一质量为m、电量为＋

dq的粒子由小孔下方处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由H点紧

2

靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。

⑴求极板间电场强度的大小；

⑵粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；

2mv4mv⑶Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为、，粒子运动一段时间后再次经过H点，求这

qDqD段时间粒子运动的路程。

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8. 如图，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向外。P是y轴上距原点为h的一点，N0为x轴上距原点为a的一点。A是一块平行于x轴的挡板，与x轴的距离为

h2，A的中点在y轴上，长度略小于a2。带点粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，

y方向的分速度反向、大小不变。质量为m，电

荷量为q（q>0）的粒子从P点瞄准N0点入射，最后又通过P点。不计重力。求粒子入射速度的所有可能值。

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9. 如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，

同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，

KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h。质量为

m、带电量为+q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，

在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g。 （1） 求该电场强度的大小和方向。

（2） 要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最

小值。

（3） 若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。

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