初中几何常用辅助线专题

初中几何常见辅助线做法

一、三角形常见辅助线做法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍；

含有中点的题目，常常做三角形的中位线，把结论恰当的转移 例1、如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

【分析】：要证AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，那么AE＝2AD

BADC∵AD为△ABC的中线 〔〕 ∴BD＝CD 〔中线定义〕 在△ACD和△EBD中

BDCD(已证)ADCEDB(对顶角相等) ADED(辅助线的作法)E图51∴△ACD≌△EBD 〔SAS〕 ∴BE＝CA〔全等三角形对应边相等〕

∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE〔三角形两边之和大于第三边〕 ∴AB＋AC＞2AD。

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例2、如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF 证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在△BDE和△CDM中，

BDCD(中点的定义)∵1CDM(对顶角相等) EDMD(辅助线的作法)AEF2341DCB∴△BDE≌△CDM 〔SAS〕

图41M 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 〔〕 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°〔平角的定义〕 ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90° ∴∠FDM＝∠EDF ＝90° 在△EDF和△MDF中

EDMD(辅助线的作法)∵EDFFDM(已证) DFDF(公共边)∴△EDF≌△MDF 〔SAS〕

∴EF＝MF 〔全等三角形对应边相等〕

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF〔三角形两边之和大于第三边〕 ∴BE＋CF＞EF

【备注】：上题也可加倍FD，证法同上。当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

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例3、如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF， ∵ME是ΔBCD的中位线， ∴ME

CD，∴∠MEF=∠CHE，

∵MF是ΔABD的中位线， ∴MF

AB，∴∠MFE=∠BGE，

∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE， 从而∠BGE=∠CHE。

方法2：含有角平分线的题目，利用角平分线的性质做垂线，或构造出全等三角形 例4、如图2-1，AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

BDEFA

例5、：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。 求证：DH=

1〔AB-AC〕 2C图2-1A【分析】：延长CD交AB于点E，那么可得全等三角形。问题可证。

EBDHC图示3-1jz*

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例6、：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE. 求证：BD=2CE。

AF【分析】：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

方法3 ：证明两条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法

BDE图3-2C例7、如图2-2，在△ABC中，∠A=90 °，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求证：BC=AB+AD

【分析】：截长法：在BC上取BE=AB,连接DE,证明△ABD≌△EBD， 那么AD=DE=CE,结论可证

补短法：延长BA到F，使BF=BC,连接DF,证明△BCD≌△BFDB ， ∠F=∠C=45°，AF=AD,结论可证

例8：如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为

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A D

C

A21NPD图61CBM. .

AD上任一点。

求证：AB－AC＞PB－PC。

【分析】：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再连接PN，那么PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。 证明：〔截长法〕

在AB上截取AN＝AC连接PN , 在△APN和△APC中

ANAC(辅助线的作法)∵ 12(已知)APAP(公共边)∴△APN≌△APC 〔SAS〕

∴PC＝PN 〔全等三角形对应边相等〕

∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN 〔三角形两边之差小于第三边〕 ∴BP－PC＜AB－AC

证明：〔补短法〕 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM， 在△ABP和△AMP中

ABAM(辅助线的作法)∵ 12(已知)APAP(公共边)∴△ABP≌△AMP 〔SAS〕

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∴PB＝PM 〔全等三角形对应边相等〕

又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB－AC＞PB－PC。 二、梯形常用辅助线做法

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的根本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和条件。常见的几种辅助线的作法如下：

作法 平移腰，转化为三角形、平行四边形。 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 延长两腰，转化为三角形。 BCBCE图形 ADCBE AD EAD 作高，转化为直角三角形和矩形。 BADCEF A中位线与腰中点连线。 DEBCF jz*

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例1. 如下列图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.

解：过点D作DE∥BC交AB于点E. 又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形. 所以DE＝BC＝17，CD＝BE. 在Rt△DAE中，由勾股定理，得 AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64. 所以AE＝8.

所以BE＝AB－AE＝16－8＝8. 即CD＝8.

例2、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

AEBABDCDC

解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得 ∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90° 那么△EGH是直角三角形

因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点

11所以EFGH(BCBGCH)

2211(BCAEDE)[BC(AEDE)]2211(BCAD)(31)122 例3、：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．

解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点． ∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形

A

D jz*

B

H

C

E

. .

∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4 ∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5 ∴∠BDE=90°．

作DH⊥BC于H，那么DHBDED12 BE5S梯形ABCD(ADBC)DH251256． 2例4、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

解：延长BA、CD交于点E。 在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。

所以∠E=50°，从而BC=EC=5，同理可得AD=ED=2 所以CD=EC－ED=5－2=3

例5、如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。 证：过点D作DG⊥AB于点G，

那么易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。 因为AB=2DC，所以AG=GB。 从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。 又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。

例6、如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。 证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，那么易知AE=DF。 在Rt△ABE和Rt△DCF中，

因为AB>CD，AE=DF。

所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。 在Rt△BDF和Rt△CAE中 由勾股定理得BD>AC

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. .

例7、如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。

证：取AD的中点E，连接OE，那么易知OE是梯形ABCD的中位线，

1 从而OE=〔AB＋CD〕①

2在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE 所以OE1AD② 2由①、②得AB＋CD=AD。

例8、在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE， 求证：∠AEB=2∠CBE。

解：分别延长AE与BC ，并交于F点

∵∠BAD=900且AD∥BC ∴∠FBA=1800－∠BAD=900 又∵AD∥BC ∴∠DAE=∠F

∵∠AED=∠FEC ，DE=EC ∴△ADE≌△FCE 〔AAS〕 ∴ AE=FE

在△ABF中∠FBA=900 ∴ BE=FE

∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB ∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE 练习

1、如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。

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B

E

C

D

A 且AE=FE

. .

AD2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠EBAE. ABCBDEC

D

AD3、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，C过点E，求证;AB＝AC+BD

BE

C4、如下列图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E， 求DE的长.

5、如下列图，梯形ABCD中，AD∥BC，〔1〕假设E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，那么DE与CE有何位置关系？〔2〕E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，那么DE与CE有何位置关系？

BECADjz*

. .

6、：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系

A

D

jz*

E B C

F