初三数学中考复习专题2_方程与不等式

方程与不等式

2一元一次方程

（一）方程与方程组 3一元二次方程 4方程组 5分式方程

6应用

1、 概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解 2、 一元一次方程：

解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）

例题：.解方程：

（1） x1x1x2x1 （2）2x 3332

（3） 关于x的方程mx＋4＝3x＋5的解是x＝1，则m＝ ______________． 解：

3、一元二次方程：

（1） 一般形式：axbxc0a0

2（2） 解法：

直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法

bb24ac2b4ac0 求根公式axbxc0a0 x2a2例题：

①、解下列方程：

（1）x2－2x＝0； （2）45－x2＝0；

（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0． （5）（t－2）（t＋1）＝0； （6）x2＋8x－2＝0

(7 )2x2－6x－3＝0； （8）3（x－5）2＝2（5－x） 解：

② 填空：

- 2 -

（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；

（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；

3（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2

2（3）判别式△＝b²－4ac的三种情况与根的关系

当0时 有两个不相等的实数根 ，

当0时 有两个相等的实数根 当0时 没有实数根．

当△≥0时

有两个实数根

例题．①．（无锡市）若关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k

满足 （ ）

A.k＞1 B.k≥1 C.k＝1 D.k＜1

②（常州市）关于x的一元二次方程x2(2k1)xk10根的情况是（ ）

（A）有两个不相等实数根 （B）有两个相等实数根 （C）没有实数根 （D）根的情况无法判定 2x③．（浙江富阳市）已知方程2pxq0有两个不相等的实数根，

则p、q满足的关系式是（ ）

222pq0p4q0pA、 B、 C、4q0 D、

p2q0

（4）根与系数的关系：x1＋x2＝bc，x1x2＝

aa例题： （浙江富阳市）已知方程3x22x110的两根分别为x1、x2，则

的值是（ ） A、

4、 方程组：

2 1111 x1x2 B、11 C、22 11 D、11

2代入消元代入消元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 加减消元加减消元二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元

例题：解方程组xy7,

2xy8.- 3 -

解 解方程组解

x2y0

3x2y8xy11解方程组：2 33x2y10解

xy1解方程组：

2xy8解

x＋y＝9

解方程组：

3（x＋y）＋2x＝33

解

5、分式方程：

分式方程的解法步骤：

（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验 （2） 换元法 例题：①、解方程：

411的解为____________ 2x2x4x240根为____________ 2x5x6x2x)2()30时，若设x1x1②、【北京市海淀区】当使用换元法解方程(yx，则原方程可变形为（ ） x1

A．y2＋2y＋3＝0 B．y2－2y＋3＝0 C．y2＋2y－3＝0 D．y2－2y－3＝0

34时，设yx23x，则原方程可化为（3）、用换元法解方程x23x2x3x（ ）

- 4 -

（A）y340 y（B）y340 y140 3y（C）y1403y （D）y6、应用： （1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题） （2）一元二次方程（增长率、面积问题） （3）方程组实际中的运用 例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度） 解：

②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10 千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度 解

③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解

④已知等式 (2A－7B) x＋(3A－8B)＝8x＋10对一切实数x都成立，求A、B的值

解

⑤某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：

捐款（元） 人 数

1 6 2 3 4 7 - 5 -

表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．

若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组

xy27xy27A、 B、

2x3y1002x3y66解

xy27xy27C、 D、

3x2y1003x2y66⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．

解

⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相

等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长． 解：

1几个概念 （二）不等式与不等式组 2不等式

3不等式（组）

1、几个概念：不等式（组）、不等式（组）的解集、解不等式（组） 2、不等式：

（1）怎样列不等式：

1．掌握表示不等关系的记号

- 6 -

2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子． （1）和、差、积、商、幂、倍、分等运算．

（2）“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语． 例题：用不等式表示：

①a为非负数，a为正数，a不是正数 解： ②

（2）8与y的2倍的和是正数； （3）x与5的和不小于0；

（5）x的4倍大于x的3倍与7的差；

解

（2）不等式的三个基本性质

不等式的性质1：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c

推论：如果a＋c＞b，那么a＞b－c．

不等式的性质2：如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc． 不等式的性质3：如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc．

（3） 解不等式的过程，就是要将不等式变形成x＞a或x＜a的形式

步骤：（与解一元一次方程类似）

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一

（注：系数化一时，系数为正不等号方向不变；系数为负方向改变）

13(2x1)例题：①解不等式 （1－2x）＞

32解：

②一本有300页的书，计划10天内读完，前五天因各种原因只读完100页.问从

第六天起，每天至少读多少页？ 解：

（4） 在数轴上表示解集：“大右小左”“” （5） 写出下图所表示的不等式的解集

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________________________________

______________________

__

3、不等式组：求解集口诀：同大取大，同小取小，交叉中间，分开两边

例题：① 不等式组 x2,x2,  x3,x3,x2, x3,x2, x3,数轴表示 解集 ②

例题：如果a＞b，比较下列各式大小

11（1）a3___b3，（2）a____b，（3）2a___2b

33（4）2a1___2b1，（5）a1___b1 ③

3x1x38不等式组2x11x的解集应为（ ）

123 A、x2 B、2x④求不等式组

2 C、2x1 D、x2或x≥1 72≤3x－7＜8的整数解．

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解

课后练习：

1、下面方程或不等式的解法对不对？ （1） 由－x＝5，得x＝－5；（ ） （2） 由－x＞5，得x＞－5；（ ） （3） 由2x＞4，得x＜－2；（ ） （4） 由－≤3，得x≥－6．（ ） 2、判断下列不等式的变形是否正确： （1） 由a＜b，得ac＜bc；（ ） （2） 由x＞y，且m0，得－

xy＜；（ ） mm12（3） 由x＞y，得xz2 ＞ yz2；（ ） （4） 由xz2 ＞ yz2，得x＞y；（ ）

3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果不足3个，问有几个孩子？有多少只苹果？