应用数值分析(第四版)课后习题答案第3章

第三章习题解答

1.试讨论a取什么值时，下列线性方程组有解，并求出解 。

ax1x2x31(1)x1ax2x31xxax1231ax1x2x31(2)x1ax2x3a2x1x2ax3a

a1111001/(a2)0101/(a2)A1a1111a1 经初等行变换化为0011/(a2) 解：(1)

当a2时，方程组有解，解为

x(111T,,).a2a2a2

(a1)/(a2)a111100010A1a1a1/(a2)2211aa 经初等行变换化为001(a2a1)/(a2) (2)

a11a22a1Tx(,,).a2a2a2当a2时，方程组有解，解为

2.证明下列方程组Ax=b 3x12x2x34x4b1x1x23x3x4b22x1x23x3b3x8x5xb3442

TTb(10,4,16,3).b(2,3,1,3).时有无穷多组解。 当（1）时无解；（2）

Tb(10,4,16,3).时无解； 解：(1) r(A)=3r(A,b)=4 当

T(2) r(A)=3,r(A,b)=3 当b(2,3,1,3).时有无穷多组解。

3.用列主元高斯消元法求解Ax=b 22331231,b1234,b1(1)A477(2)A2457 3462

(1)x=(2,-2,1)T (2)x=(0,-7,5)T

4.证明上（下）三角方阵的逆矩阵任是上（下）三角方阵。

证明：设

Aaij是上（下）三角方阵，即aij0,ij

设A的逆为

Bbij,bijAjiA,其中

Aji为

aji的代数余子式，

由于

Aaij是上三角方阵，所以AbijAjiA0,ij0,ij

当ij时，所以B为上三角方阵。

5.用Gauss-Jordan法求解下列矩阵的逆矩阵。

1 2 0 (1)A2 1 -1 3 1 1 

解(1)

1 2 0 1 0 01 0 0 -0.25 0.25 0.25002 1 -1 0 1 00 1 0 0.625 -0.125 -0.12503 1 1 0 0 10 0 1 0.125 -0.625 0.3750 -0.25 0.25 0.2500A1 0.625 -0.125 -0.1250 0.125 -0.625 0.3750

126251561546，试对A进行cholesky分解A=L1L1T,并利用分解因子阵6.以已知矩阵A=L1求A的逆矩阵A-1=(L-1)T(L-1).

126l1102515l21l2261546l31l32=解: A=00l33l11l120l2200l13l23l33

j=1时,l11=1,l21=2, l 31=6

j=2时, l 22=a22L221=1, l 32=(a32- l 31 l 21)/ l 32=3;

j=3时, l 33=2a33L2L3132=1

100100210210631 L-1=031 L=5201201210301321001 031=031 A-1=(L-1)T(L-1)=7.已知线性方程组

210x13x3(1)12120121 x35 -4 1 0x12-4 6 -4 1x12(2)1 -4 6 -4x310 1 -4 5x42

AL1LT1试用Cholesky分解求解问题（1），用对称分解

ALDLT求解问题（2）。

解:

2101.4142 0 0121-0.7071 1.2247 0 (8) A=012= 0 -0.8165 1.15471.4142 -0.7071 0 0 1.2247 -0.8165 0 0 1.1547=LLT

解Ly=b, 得 y=[2.1213,-1.2247,-0.0000]T

解LTx=y 得 x=[1,-1,0] T

（2）

5 -4 1 01.0000 0 0 0-4 6 -4 1-0.8000 1.0000 0 01 -4 6 -40.2000 -1.1429 1.0000 00 1 -4 5= 0 0.3571 -1.3333 1.0000 A=5.0003 0 0 0 0 2.8001 0 0 0 0 2.1430 0 0 0 0 0.83341.0000 -0.8000 0.2000 0 0 1.0000 -1.1429 0.3571 0 0 1.0000 -1.3333 0 0 0 1.0000=LDLT

解Lz=b, 得 z=[ 2.0000,0.6000,-0.7143, 0.8334]T

解Dy=z, 得 y=[ 0.4000,0.2143,-0.3333,0.9999] T

解LTx=y 得 x=[1,1,1,1] T

8．设A是对称正定阵，试证明不选主元的Cholesky分解稳定的。

AL1LT1的计算过程是数值

证明：

于是有l2jkajj，j2,3,...,n;k1,2,...,j.j1,l11a11,li1ai1/l11,i2,3,...,n

综合以上得到结论：在Cholesky分解中，不选主元的计算分解式的元素

ljk(j2,3,...,n;k1,2,...,j)的数量级不会增长，能得到控制，且ljj(j2,3,...,n)恒正，因此，这

是一个节省储存且计算过程是数值稳定的方法。

9. 求解以下三对角方程组

2 -1 0 0x11-1 2 -1 0x22(1)0 -1 2 -1x320 0 -1 2x41 2 -1 0 0x11-1 2 -1 0x22(2)0 0 2 -1x320 0 -1 2x41

(1)

2 -1 0 0 1 0 0 0-1 2 -1 0-0.5 1 0 00 -1 2 -1 0 -0.6667 1 0 0 0 -0.75 10 0 -1 2解: A==

2 -1 0 00 1.4999 -1 00 0 1.3333 -10 0 0 1.25=LU

解Ly=b, 得 y=[1.0000，2.4999，-0.3333，-1.2500]T

解Ux=y 得 x=[1,1，-1,-1] T

(2)

2 -1 0 0 1 0 0 0-1 2 -1 0-0.5 1 0 00 0 2 -1 0 0 1 0 0 0 -0.5 10 0 -1 2解: A==

2 -1 0 00 1.5 -1 00 0 2 -10 0 0 1.5=LU

解Ly=b, 得 y=[1，2.5，-2，-2]T

解Ux=y 得 x=[0.7778，0.5556，-1.6667，-1.3333] T

B1A2已知A为块三对角阵,A非奇异，A=10.

C1B2C2Am，Cm1Bm

其中Bi均为方阵(i1,2,B1A2C1B2C2,m),设A有分块LU分解式L2R3RmIU1IU2LmUm1I

AmL1R2Cm1Bm试证明：（1）RiAi(i2,3,...,m)1（2）L1B1U1L1C1（3）LiBiAiUi1(i2,3,...,m)1（4）UiLiCi(i2,3,...,m)

证：

B1L1,A2R2,C1L1U1,BiRiUi1Li,AiRi,CiLiUi,1L1B1U1L1C1RiAi(i2,3,...,m)LiBiAU(i2,3,...,m)ii11UiLiCi(i2,3,...,m)

2 -1 0 2x11-1 2 -1 0x220 -1 2 -1x32 2 0 -1 2x4111．试求解周期三对角方程组

TTU(2,0,0,2),V(1,0,0,1)解：

4 -1 0 0-1 2 -1 0A0 -1 2 -10 0 -1 4

解AW=d=(1,2,-2,1)T得W=(0.4545 0.8182 -0.8182 -0.4545)T

解AZ=U=(-2,0,0,2)T得Z=(-0.5455 -0.1818 0.1818 0.5455)T

VTWTxWZ(-5.0000 -1.0000 1.0000 5.0000)T1(VZ)

12已知A,34试计算cond(A)1,cond(A)2,cond(A) 12．

解：cond(A)121,cond(A)214.9330,cond(A)21

11,n已知An1111An,cond(An),limcond(An).nn13．为正整数，求

 -n+1 n1解：An, n -ncond(An)4n,limcond(An)n

110510511，b=1 14. 设方程组Ax=b，其中A=① 计算cond(A)，判断方程组是否病态。

② 用全主元消元法求解，结果如何？

③ 用105除第一个方程所得方程组是否病态？

解：

① A105+1 又

1A11051110511

A111051105

(1105)2110555=（1+105）110=110〉〉1

cond(A)=

1AA该方程组是病态

1051x210511x1=1 ② 用全主元消元法求解。(1105)25cond(A)=110〉〉1

出现大数吃小数的现象，结果失真。

105111 ③ 用105除第一个方程得：A1=A12,A11421051，cond(A)=1051

方程组是良态的。

1115．设n阶对角矩阵Adiag(1,10,,10),试计算det(A)和 cond(A)2结果说明什么。

解：

det(A)10n1,cond(A)21

行列式小并不能说明矩阵是病态的。

*Txx16. 已知（2.0，0.1）是以下方程组的计算解，=（1.0，1.0）T是精确解，

3x13x264x15x29r1xx*1 求剩余r，cond(A)，

b1，

x*1并分析此结果。

3320解：（1） rbAx(6,9)T45T10(0.3,0.5)

（2）

A15/314/31 A1541333

A18

cond(A)11A1A18324

（3）

r0.30.5 r10.8 b115 r1.8b01150.053

（4）

xx*2.00.1T1.01.0T1.00.9T xx*11.9x*12xx*11.9x*20.951

由计算可知道，该方程组是病态的，相对剩余量为0.053，相对误差为0.95。由于相对误差很大，所以相对剩余量虽小，并不能 反映近似解x的近似程度。

2 -1 710,b 7A=0 3 100 4 5 1 17．有线性方程组Ax=b，其中试对A作QR分解（不限方法），并利用A的QR分解求解此方程组。

解:

1 0 0,Q=0 -0.6 -0.80 -0.8 0.62 -1 7R0 -5 -100 0 -5

解Qy=b, 得 y=[ 10 -5 -5]T

解Rx=y 得 x=[ 1 -1 1] T

18. 设ARnn非奇异，有扰动A使AAA，若x是方程组Axb的解，x是方程组

xxxcond(A)AAAxb的解，，试证明：

证明：

Axb(AA)xb(AA)xAx0AxbAxbAxAxAxA(xx)Ax(xx)A1(Ax)xxA1AxxxxA1AA1AAAcond(A)AA

 1 -0.5 -0.5 2 -1 0,A -3 3 -1A1 -0.5 1 -0.52 -0.5 -0.5 1 0 -1 2 19．设方程组的系数矩阵分别为

考察求解此方程组的 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。

 0 -0.5 -0.5,(B)1,(1)BJ -0.5 0 -0.5J -0.5 -0.5 0解：Jacobi迭代不收敛。

 0 -0.5 -0.5,(B)0.3536,BG 0 0.25 -0.25G 0 0.125 0.375 Gauss-Seidel迭代收敛。

 0 0.5 0,(B)0.8165,(2)BJ 1 0 0.3333J 0 0.5 0Jacobi迭代收敛。

 0 0.5 0,(B)0.6667,BG 0 0.5 0.3333G 0 0.25 0.1667 Gauss-Seidel迭代收敛。

20． 设方程组

3x110x279x14x25

① 若用Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法求解方程组是否收敛？

② 若将方程组交换方程次序如何？

解：

3103000010ADLU04900094 ①

用Jacobi迭代法：

010/39/40-1 B=D（L+U）=J

10/3det(IBJ)215/29/4

1,215/2

(BJ)max15/21

所以Jacobi迭代法发散。

GaussSeidel迭代法：

010/3015/2-1 BG=（D-L）U=det(IBG)10/3(15/2)015/210,215/2(BG)max15/21

所以GaussSeidel迭代法发散。

②交换次序，则

04009490ADUL310 010 用Jacobi迭代法：

B04/9J=D-1（L+U）=3/100 det(IB)14/93/102J2/15

1,22/15

(BJ)max2/151

所以Jacobi迭代法收敛。

GaussSeidel迭代法：

04/9BG=（D-L）-1U=02/15 00 30

4/9det(IBG)(2/15)02/1510,22/15(BG)max2/151

所以GaussSeidel迭代法收敛。

21. 已知方程组

20x12x23x324x18x2x3122x3x15x30231

若用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，取初值x次上述两种方法的误差小于10。

6(0)(0,0,0)T，需要迭代多少

解：

 0 -0.1 -0.150BJ -0.1250 0 -0.125 -0.1333 0.2 0ln(k1Bx(1)x(0))11.3865lnB

Jacobi迭代至少需要迭代12次。

 0 -0.1000 -0.1500,BG 0 0.0125 -0.1063 0 0.0158 -0.0013ln(k1Bx(1)x(0))9.3629lnB Gauss-Seidel迭代至少需要

迭代10次。

22 .根据Gauss-Seidel迭代格式用松弛因子加速收敛的方法，同样对 Jacobi

迭代法也用松弛因子加速，给出迭代计算的分量形式和矩阵表达式。

解：(1)用Jacobi迭代法计算x(k1)

a1n(k)b1a12(k)a13(k)(k1)xxxx1a112a113a11na11(k1)a2n(k)b2a21(k)a23(k)xxxxn213a22a22a22a22an1(k)an2(k)ann1(k)bn(k1)xxxx12n1naaaannnnnnnn

(2)引入松弛因子，x(k1)ixi(k1)(1)xi(k),i1,2,...,n

整理得分量形式

xi(k1)xi(k)（biaijx(jk)),aiij1ni1,2,,n

矩阵形式

x(k1)Bx(k)g迭代矩阵BD1(DA)右端向量gD1b

1aA2a1试分别导出求解Axb的Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法收敛23. 已知

的充要条件。

解：

01a1000aADLU012a0002a1   

用Jacobi迭代法：

a02a0-1 BJ=D（L+U）=adet(IBJ)22a22a

1,22a

时方程组收敛，条件是：2/2a2/2

(BJ)max2a1GaussSeidel迭代法：

0a02a2-1 BG=（D-L）U=det(IBG)a02a2(2a2)10,22a2(BG)max2a21

时方程组收敛，条件是：2/2a2/2

24. 设A为对称正定阵，其特征值12n0，试证明：当满足02/1时，

(k1)(k)(k)xx(bAx)，迭代格式（k0,1,2,）是收敛的？

证明：

x(k1)x(k)(bAx(k))x(k1)(IA)x(k)b

由于1,2,,n是A的特征值，则IA的特征值为11,12,,1n

当(B)maxmax1i1时收敛， 此时则有：01202/1

323(k1)(k)(k)已知A，b,用迭代公式xx(Axb),(k0,1,...)12125．求解Axb。问取什么实数可使迭代收敛，且为何值时，收敛最快。

解：

(1)IA312254(1)(4)2

A的特征值为11,24,迭代矩阵BIA的特征值为11,214,1111120,1411141当10,210时，迭代格式收敛。22,5(2)114(1)1452当2时，收敛最快。5

26.设AR是严格对角占优阵，试证明用SOR方法求解Ax=b，取01时是收敛

nn的。

证明：

SOR迭代法的迭代矩阵为B(DL)1(U(1)D)

反证,设B有特征值1,由Bxx,方程组(IB)x0有非零解,于是有det(IB)det[I(DL)1(U(1)D)]0

上式可改写为det(DL)1det((DL)U(1D))0已知A严格对角占优,A的对角元非零,故det(DL)10，只有det((DL)U(1D))0

det((1)DLU)0det(DLU)011

abi,1,a2b21设

a2b21a2b2a2b2a22a12a(1)

(a2b2)(21)2a(1)(1)22(a2b2)a2b22a(1)(1)2(a1)2b22(a2b2)122(a1)b

1即 1

111又

由A严格对角占优可推出(DLU)也严格对角占优,11是非奇异阵,应有det(DLU)0，与所设矛盾,11故B的特征值1,即(B)1,

所以SOR法当01时是收敛的。

 3 2 0 x14.5 2 3 -1x52 0 -1 2x30.5 27.设有方程组

（1）写出用SOR方法求解的分量计算式；

（2）求出最佳松弛因子

opt2/(112(BJ))；并用

opt(0)Tx(0,0,0)计算两步，取。

(k1)(k)(k)(k)xx(4.53x2x)11123(k1)(k)(k1)(k)(k)x2(52x13x2x3)x23(k1)(k)(k)(k)xx(0.5x22x3)332解：（1）SOR法

（2）

(BJ)0.7817,opt2/(112(BJ))1.6970

x(1)2.54550.8295,x(2)2.1411-0.05150.38051.9757

213A,b115 28.用共轭斜量法求解，其中

解：

x(0)00T

k0,r(0)bAx(0)31,P(0)r(0)31TT0(r(0),r(0))/(AP(0),P(0))x(1)x(0)0P(0)100.34482910TT311.0345, 0.344829

k1,r(1)r(0)0AP(0)(0.5862, -1.7586)T0(r(1),r(1))/(r(0),r(0))0.3436P(1)r(1)0P(0)(1.6171,-1.4150)T1(r(1),r(1))/(AP(1),P(1))0.3222x(2)x(1)1P(1)(1.5556, -0.1111)T

(k1)(k)(r,r)0 29．试证明对于最速下降法，相邻两次的搜索方向是正交的，即

证明：

r(k1)bAx(k1)bA(x(k)kr(k))bAx(k)kAr(k)r(k)kAr(k)(r(k),r(k))k(Ar(k),r(k))(r(k1),r(k))(r(k),r(k))k(Ar(k),r(k))0

(1)T(2)T(3)Tu(-1,1,1),u(1,0,-1),u(0,1,1)30.已知一组线性无关向量,由此向量组，按

Schmidt正交化方法，求一组对应的A-共轭向量组，其中

310A131013

v1u1(1,1,1)T,v2u2v1,确定使(Av2,v1)0,解：

=-(Au2,v1)(Au2,v1),v2u2-v1(0.3333 0.6667 -0.3333)T(Av1,v1)(Av1,v1)令v3u31v12v2,确定1，2使(Av3,v1)0,(Av3,v2)0,v3u3(Au3,v1)(Au3,v2)v1v2(1.5000 -1.0000 1.5000)T(Av1,v1)(Av2,v2)