知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以
是
为二次根式的前提条件，如
，
，
等是二次根式，而
，
等
都不是二次根式。
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、11、x（x>0）、0、42、-2、、
xyx． xy（x≥0，y•≥0）
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“知识点二：取值范围
”；第二，被开方数是正数或0．
1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，
有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
有意义，是二次根式，所以要使二次根式
2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
例2．当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？
例3．当x是多少时，2x3+知识点三：二次根式
（
（
1在实数范围内有意义？ x1）的非负性
（
）是一个非负数，即
）表示a的算术平方根，也就是说，
0（）。
注：因为二次根式数（
（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负
0（
），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、
，则a=0,b=0；若
，则a=0,b=0；若
）的算术平方根是非负数，即
偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若
，则a=0,b=0。
例4(1)已知y=2x+x2+5，求
x的值．(2)若a1+b1=0，求a2004+b2004的值 y1
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，
则，如：，.
例1 计算 1．（325272
） 2．（35）2 3．（） 4．（）262例2在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，
即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
例1 化简
22 （1）9 （2）(4) （3）25 （4）(3) 例2 填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，•并根据这一性质回答下列问题． （1）若a2=a，则a可以是什么数？（2）若a2=-a，则a是什么数？ （3）a2>a，则a是什么数？
2
例3当x>2，化简(x2)2-(12x)2．
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，
中
，而
表示一个正数a的算术平方根的平方，而中a可以是正实数，0，负实数。但
与
表示一个实数a都是非负数，
的平方的算术平方根；在
即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即知识点七：二次根式的乘除
时，=；时，无意义，而.
1、 乘法a·b＝ab（a≥0，b≥0） 反过来：ab=a·b（a≥0，b≥0）
aaaa2、除法b=b（a≥0，b>0） 反过来，b=b（a≥0，b>0）
（思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0） 例1．计算
（1）45×7 （2） 例2 化简
（1）916 （2）1681 （3）9x2y2 （4）54 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(4)(9)49 （2）411×9 （3）9×27 （4）×6 32121212×25=4××25=4×25=412=83 25252531111264 （2） （3） （4） 2841683 例4．计算：（1） 例5．化简：
364b29x5x （1） （2） （3） （4） 22264169y64y9ax25x49x9x例6．已知，且x为偶数，求（1+x）的值． 2x1x6x6
3
3、最简二次根式应满足的条件：
（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； （2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式
（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）
例1．把下列二次根式化为最简二次根式(1) 35; (2) 12x2y4x4y2; (3) 8x2y3 4、化简最简二次根式的方法：
(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式； (2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化； (3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）
5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①③
与
与
； ②
； ④
与
与
； ．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如8与18 知识点八：二次根式的加减
1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 例1．计算（1）8+18 （2）16x+64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52 （2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x 例2．计算 （1）348-91+312（2）（48+20）+（12-5） 3例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（
2x9x+y231yx2）-（x-5x）的值． 3xxy2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减 3、二次根式的比较：（1）若
，则有
；（2）若
，则有
．
（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小 例4．比较312与45的大小
4
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